2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的线性回归方程，则（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A．， B．，
C．， D．，
2．（3分）设命题p：∃x∈N，x2＞2x；命题q：当x∈R时，解集为[﹣2，4]，下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
3．（3分）从编号为1，2，…，128的128件产品中采用系统抽样的方法抽取一个容量为16的样本．按编号平均分成16组（1～8，9～16，…，121～128），若第12组抽取的编号为95，则第4组中抽出的编号为（　　）
A．23 B．26 C．30 D．31
4．（3分）已知直线l1：2x﹣my+1＝0，l2：（m﹣1）x﹣y+m＝0，则m＝﹣1是l1∥l2的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3分）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、华、一”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“华”“一”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第四次停止的概率．利用计算机随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“美、丽、华、一”这四个字，以每四个随机数为一组，表示取球四次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
2323 3211 2303 1233 0211 1322 2201 2213 0012 1231
2312 1300 2331 0312 1223 1031 3020 3223 3301 3212
由此可以估计，恰好第四次就停止的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若双曲线C：mx2﹣ny2＝1（mn＞0）与直线交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，准线交x轴于点P，过F的直线l交抛物线于M、N两点，若PM⊥PN，则|MN|＝（　　）
A．8 B． C．16 D．
8．（3分）已知抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线的一个焦点重合，且与双曲线在第一象限交于点P，若|PF|＝5，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）过点P（2，0）作直线l：3x+（n﹣2）y﹣6n＝0的垂线，垂足为Q，则点Q到直线x﹣3y﹣8＝0的距离最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（3分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为M、N，若△MNF1的面积为（其中），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
12．（3分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：
13．（3分）方程化简后的曲线方程为　 　．
14．（3分）已知样本2，x，y，4，6的平均数为4，则标准差的最小值为　 　．
15．（3分）在学校组织的英语单词背诵比赛中，5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示（分数为整数，且满分100分），若甲同学所得评分的中位数为87，乙同学所得评分的唯一众数为86，则甲同学所得评分的平均数不小于乙同学所得评分的平均数的概率为 　 　．

16．（3分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，以F2为圆心，|F2A|为半径的圆交双曲线右支于M、N两点，且线段AM的垂直平分线过点N，则a＝　 　．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（4，2）、N（﹣2，2）、P（1，﹣7）三点．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（﹣5，0）做一条直线l交圆C于A、B两点，若A、B两点关于直线对称，则求此时的弦长|AB|．
18．武汉市政府为了给“世界军运会”营造良好交通环境，特招聘了一批交通协管员，这些协管员的年龄都在[50，55]之间，按年龄情况对他们进行统计得到的频率分布直方图如下，其中年龄在[30，35）岁的有10人，[45，50）岁的有45人．
（1）补全频率分布直方图，并估计协管员的年龄中位数；
（2）为感谢年长的协管员的支持，利用分层抽样的方法从年龄在[45，55]的协管员中抽取5人，并从这5人中再抽取3人，各赠送一份礼品，求仅有一人年龄在[50，55]的概率．

19．设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的最大面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1的直线l与椭圆交于M、N两点，连接MF2、NF2，若△MNF2的内切圆面积为，则求直线l方程．
20．近期流感来袭，各个医院的就诊量暴增，患者就诊困难．某医院为了以后患者能尽快就诊，决定组织调查小组来调查昼夜温差与就诊量的关系，以便以后遇到类似情况提前做好应对措施，经调查，12月21日到26日的昼夜温差x与流感就诊的人数y有如下数据：
昼夜温差（x℃）
9
10
11
12
13
14
就座人数（y人）
20
24
26
31
33
36
调查小组通过散点图发现昼夜温差与就诊人数存在线性相关关系，决定先从这6组数据中选取5组数据求线性回归方程，再用剩下的1组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程估计昼夜温差所对应的就诊人数，再求与实际就诊人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）若选取的是前面5组数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；
（3）为了使就诊等待的时间缩短，医院决定在就诊人数达到30人时增开诊室．那么利用回归方程估计昼夜温差为多少时医院会增开诊室．（温差精确到1℃）
附：参考公式，．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，且当直线斜率为2时，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（1，﹣2）作抛物线C的两条弦MP与MQ，问在x轴上是否存在一定点N，使得直线PQ过点N时，kMP+kMQ为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．设Q是圆E：（x+1）2+y2＝16上的一动点，点A（m，n）在直线y＝x﹣1上线段AQ的垂直平分线交直线EQ于点P．
（1）若点P的轨迹为椭圆，则求m的取值范围；
（2）设m＝1时对应的椭圆为C1，B为椭圆的右顶点，直线l与C1交于M、N两点，若，求△OMN面积的最大值．

2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）已知两个随机变量x，y的取值如表，若x，y呈线性相关，且得到的线性回归方程，则（　　）
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
A．， B．，
C．， D．，
【分析】由图表直接得到＞0，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可得答案．
【解答】解：由y随着x的增大而增大，可得＞0，
又，，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
2．（3分）设命题p：∃x∈N，x2＞2x；命题q：当x∈R时，解集为[﹣2，4]，下列命题为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∨q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【分析】根据题意，分析可得命题p、q的真假，进而由复合命题真假的判断方法分析可得答案．
【解答】解：根据题意，命题p：∃x∈N，x2＞2x；当x＝3时，有32＞23，p为真题，
命题q：当x∈R时，，必有0＜x2﹣2x≤8，解可得：﹣2≤x＜0或2＜x≤4，则q为假命题，
则p∧￢q为真命题；p∧q、￢p∧q、￢p∧￢q都是假命题，
故选：C．
【点评】本题考查复合命题真假的判断，涉及不等式的解法，属于基础题．
3．（3分）从编号为1，2，…，128的128件产品中采用系统抽样的方法抽取一个容量为16的样本．按编号平均分成16组（1～8，9～16，…，121～128），若第12组抽取的编号为95，则第4组中抽出的编号为（　　）
A．23 B．26 C．30 D．31
【分析】由总体容量及组数求出间隔号，即可求出第4组中抽出的编号．
【解答】解：总体为128个个体，依编号顺序平均分成16个小组，则间隔号为8，
所以在第4组中抽取的号码为95﹣（12﹣4）×8＝31．
故选：D．
【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．
4．（3分）已知直线l1：2x﹣my+1＝0，l2：（m﹣1）x﹣y+m＝0，则m＝﹣1是l1∥l2的（　　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据直线平行的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若m＝﹣1，
则直线l1方程为2x+y+1＝0，
直线l2方程为2x+y+1＝0，
所以直线l1与直线l2重合．
所以m＝﹣1是l1∥l2的不充分条件．
若直线1∥l2，
则2×（﹣1）﹣（﹣m）×（m﹣1）＝0且，2×m﹣1×（m﹣1）≠0
解得m＝2，
所以m＝﹣1是l1∥l2的不必要条件．
所以m＝﹣1是l1∥l2的不充分不必要条件．
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及直线平行的关系是解决本题的关键．
5．（3分）袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、华、一”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“华”“一”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第四次停止的概率．利用计算机随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“美、丽、华、一”这四个字，以每四个随机数为一组，表示取球四次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：
2323 3211 2303 1233 0211 1322 2201 2213 0012 1231
2312 1300 2331 0312 1223 1031 3020 3223 3301 3212
由此可以估计，恰好第四次就停止的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用列举法求出其中恰好第四次就停止的随机数有3个，由此可以估计，恰好第四次就停止的概率．
【解答】解：经随机模拟产生了以下20组随机数：
2323 3211 2303 1233 0211 1322 2201 2213 0012 1231
2312 1300 2331 0312 1223 1031 3020 3223 3301 3212，
其中恰好第四次就停止的随机数有：2213，0312，1223，共3个，
由此可以估计，恰好第四次就停止的概率为p＝．
故选：B．
【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（3分）若双曲线C：mx2﹣ny2＝1（mn＞0）与直线交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】联立解方程组，线段AB中点的横坐标为，结合韦达定理求出斜率OM，再根据点差法求出即可．
【解答】解：设A、B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），
由，
得：（m﹣2n）x2+2nx﹣n﹣1＝0，
则有：x1+x2＝，
线段AB中点的横坐标为，
得＝4，
故2（m﹣2n）＝﹣n，2m﹣4n＝﹣n，2m＝3n，
所以＝，
故选：C．
【点评】考查直线和双曲线的位置关系，点差法的应用，中档题．
7．（3分）已知抛物线y2＝16x的焦点为F，准线交x轴于点P，过F的直线l交抛物线于M、N两点，若PM⊥PN，则|MN|＝（　　）
A．8 B． C．16 D．
【分析】设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由若PM⊥PN，可得数量积为0，进而求出m的值，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得：|MN|的值．
【解答】解：由题意可得抛物线的焦点F（4，0），准线方程为x＝﹣4，P的坐标（﹣4，0），
由题意设直线l的方程：x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线与抛物线联立可得：y2﹣16my﹣64＝0，可得y1+y2＝16m，y1y2＝﹣64，
所以x1+x2＝m（y1+y2）+8＝16m2+8，x1x2＝＝16，
由PM⊥PN，可得＝0，
即（x1+4，y1）（x2+4，y2）＝x1x2+4（x1+x2）+16+y1y2＝0，
即16+4（16m2+8）+16﹣64＝0，解得m2＝0，
所以x1+x2＝8，
由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离可得：
|MN|＝x1+x2+p＝8+8＝16，
故选：C．
【点评】考查抛物线的性质，属于基础题．
8．（3分）已知抛物线y2＝8x的焦点F与双曲线的一个焦点重合，且与双曲线在第一象限交于点P，若|PF|＝5，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设P（m，n），（m＞0，n＞0），由抛物线的定义可得P的坐标，再由双曲线的定义计算可得双曲线的a，由a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线的方程．
【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F为（2，0），可得双曲线的两个焦点为（﹣2，0），（2，0），
又抛物线的准线方程为x＝﹣2，设P（m，n），（m＞0，n＞0），
由抛物线的定义可得|PF|＝m+2＝5，可得m＝3，n＝2，
由双曲线的定义可得2a＝﹣＝7﹣5＝2，
解得a＝1，则b＝＝＝，
则双曲线的方程为x2﹣＝1．
故选：B．
【点评】本题考查抛物线与双曲线的综合，考查圆锥曲线的定义和性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．
9．（3分）过点P（2，0）作直线l：3x+（n﹣2）y﹣6n＝0的垂线，垂足为Q，则点Q到直线x﹣3y﹣8＝0的距离最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，由直线l的方程分析可得直线l恒过点（4，6），设C（4，6），分析可得Q在以PC为直径的圆上，分析该圆的圆心以及半径，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l：3x+（n﹣2）y﹣6n＝0，即3x﹣2y+n（y﹣6）＝0，
分析可得直线l恒过点（4，6），设C（4，6），PC的中点为M，
点P（2，0）作直线l：3x+（n﹣2）y﹣6n＝0的垂线，垂足为Q，则Q在以PC为直径的圆上，
则该圆的圆心为M，其坐标为（3，3），半径r＝|PC|＝，
则点M到直线x﹣3y﹣8＝0的距离d＝＝，
点Q到直线x﹣3y﹣8＝0的距离最小值即圆M上任意一点到直线x﹣3y﹣8＝0的距离最小值，
则其最小值为d﹣r＝﹣＝；
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意分析Q的轨迹，属于基础题．
10．（3分）甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠，甲停靠的时间为4小时，乙停靠的时间为6小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先确定概率类型是几何概型中的面积类型，再设甲到x点，乙到y点，建立甲先到，乙先到满足的条件，画出并求解0＜x＜24，0＜y＜24可行域面积，求出满足条件的可行域面积，由概率公式求解．
【解答】解：设甲x点停靠泊位，乙y点停靠泊位，若甲先到乙不需要等待需满足x+4＜y，
若乙先到甲不需要等待需满足y+6＜x．
满足0＜x＜24，0＜y＜24可行域面积S＝576，
满足x+4＜y，y+6＜x的面积为×20×20+×18×18＝362，
∴这两艘船停靠泊位时都不需要等待的概率为＝，
故选：C．

【点评】本题考查几何概型，考查建模，解模能力，考查可行域的画法及其面积的求法，属于中档题．
11．（3分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限与第四象限的交点分别为M、N，若△MNF1的面积为（其中），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．y＝±3x
【分析】本题运用根据圆和双曲线的对称性可画出图象，然后结合图象可将△MNF1的转化为△OMF1和△ONF1两个三角形的面积来计算，再通过联立圆与双曲线的方程计算出yM的值，根据△MNF1的面积为可计算出的值，即可求得双曲线的渐近线方程．
【解答】解：由题意，可得圆的方程为x2+y2＝c2．
根据圆和双曲线的对称性，可画出图象如下：

结合题意及图象，可知MN经过原点，且关于原点对称．
设M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，消去x，解得yM＝．
∴＝+
＝•|OF1|•yM+•|OF1|•|yN|
＝|OF1|•yM
＝c•
＝b2．
根据题意，b2＝＝（a2+b2），
可得＝，即＝．
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的基础知识，直线与双曲线的综合问题，考查了转化思想，方程思想的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属中档题．
12．（3分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为，则椭圆离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设|PF1|＝m，|PF2|＝n，通过椭圆的定义m+n＝2a，以及三角形的解法求出直角三角形的边长关系，利用勾股定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
作ON⊥PF1，F2M⊥PF1，
由题意可得|ON|＝a，|F2M|＝a，∠F1PF2＝60°，
即有|PM|＝a，|PF2|＝，由m+n＝2a，
可得|MF1|＝a，a2+（）2＝4c2，
可得e＝＝．
故选：D．

【点评】本题考查椭圆的定义和性质，考查三角形的解法，考查化简运算能力，属于中档题．
二、填空题：
13．（3分）方程化简后的曲线方程为　﹣＝1（y≤﹣3）　．
【分析】方程表示点M（x，y）与定点（0，5），（0，﹣5）的距离的差为6，利用双曲线的定义，即可得到结论．
【解答】解：∵方程，表示点M（x，y）与定点（0，5），（0，﹣5）的距离的差为6，
∵6＜10，
∴点M（x，y）的轨迹是以两定点为焦点的双曲线的下支，
∵2a＝6，c＝5，
，b＝4，
∴点M的轨迹方程为 ﹣＝1（y≤﹣3），
故答案为：﹣＝1（y≤﹣3）．
【点评】本题考查双曲线的轨迹方程，解题的关键是掌握双曲线的定义，属于基础题．
14．（3分）已知样本2，x，y，4，6的平均数为4，则标准差的最小值为　　．
【分析】根据题意，由平均数公式可得＝（2+x+y+4+6）＝4，变形可得x+y＝8，进而由方差公式可得s2＝（22+x2+y2+42+62﹣5×2）＝（x2+y2﹣24），结合基本不等式的性质分析可得方差的最小值，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，样本2，x，y，4，6的平均数为4，则有＝（2+x+y+4+6）＝4，变形可得x+y＝8，
则其方差s2＝（22+x2+y2+42+62﹣5×2）＝（x2+y2﹣24），
又由x+y＝8，则x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝64﹣2xy≥32，
则有s2＝（x2+y2﹣24）≥，即方差的最小值为，
则数据的标准差的最小值＝；
故答案为：．
【点评】本题考查样本的平均数、方差的计算，涉及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．
15．（3分）在学校组织的英语单词背诵比赛中，5位评委对甲、乙两名同学的评分如茎叶图所示（分数为整数，且满分100分），若甲同学所得评分的中位数为87，乙同学所得评分的唯一众数为86，则甲同学所得评分的平均数不小于乙同学所得评分的平均数的概率为 　　．

【分析】由题意求出x、y的可能取值，再根据题意，利用古典概型的概率公式计算对应的概率值．
【解答】解：由茎叶图可知，甲的评分得分为：75，80，87，80+x，93；
乙的评分得分为：75，86，86，80+y，89；
由甲同学所得评分的中位数是87，则87≤80+x≤89，即7≤x≤9，x∈N；
所以x的可能取值为7，8，9；
乙同学的得分唯一众数是86，所以0≤y≤8，y∈N；
所以y的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8；
则x、y的所有可能取值共有3×9＝27（种）；
又甲的平均分为×（75+80+87+80+x+93）＝83+x，
乙的平均分为×（75+86+86+80+y+89）＝83.2+y，
则甲同学所得评分的平均数小于乙同学所得评分的平均数时，
83+x＜83.2+y，
即x＜y+1，此时有（7，7），（7，8），（8，8）共3种；
所以甲同学所得评分的平均数不小于乙同学所得评分的平均数的概率为
P＝1﹣＝．
故答案为：
【点评】本题考查了利用茎叶图求中位数和众数、平均数的计算问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是中档题．
16．（3分）已知双曲线的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，以F2为圆心，|F2A|为半径的圆交双曲线右支于M、N两点，且线段AM的垂直平分线过点N，则a＝　3　．
【分析】由题意可得三角形AMN为等边三角形，由双曲线的定义可得，与右焦点有关的线段可以转化为与左焦点有关的线段，在三角形NF1F2中，由余弦定理可得a．c的关系，再由题意可得a的值．
【解答】解：由线段AM的垂直平分线过点N，可得AN＝MN，
而由题意可得AM＝AN，所以三角形AMN为等边三角形，M，N关于x轴对称，F2为三角形的外心，即是圆心，半径为a+c，
所以AM的中垂线过圆心F2，∠AF2N＝120°，即∠F1F2N＝120°，|AF2|＝|F2M|＝a+c，
N在双曲线上，所以|NF1|﹣|NF2|＝2a，则|NF1|＝2a+|NF2|＝3a+c，
在三角形NF1F2中，由余弦定理可得：|NF1|2＝|NF2|2+|F1F2|2﹣|2NF2||F1F2|•cos∠F1F2N，
即（3a+c）2＝（a+c）2+（2c）2﹣2（a+c）（2c）（﹣），
整理可得2（4a﹣3c）（a+c）＝0，所以可得4a＝3c，或a+c＝0（舍）
即4a＝3，解得a＝3，
故答案为：3．

【点评】考查双曲线的性质，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过M（4，2）、N（﹣2，2）、P（1，﹣7）三点．
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（﹣5，0）做一条直线l交圆C于A、B两点，若A、B两点关于直线对称，则求此时的弦长|AB|．
【分析】（1）设圆的一般方程，将点代入即可求出圆的方程；
（2）由题意若A、B两点关于直线对称可得直线过圆心，求出AB的斜率及直线方程，求出圆心到直线AB的距离，再由半个弦长和半径即圆心到直线的距离的关系求出弦长AB．
【解答】解：（1）设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
∵圆C过M（4，2）、N（﹣2，2）、P（1，﹣7）三点，
∴有，解得，
∴圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣20＝0．
（2）∵A、B关于直线对称，
则直线必过圆心（1，﹣2），且，
∴，kAB＝﹣2，
则直线AB方程为y＝﹣2（x+5）＝﹣2x﹣10，
圆心到直线距离，
∴弦长．
【点评】考查圆的方程的求法及直线与圆的位置关系，属于中档题．
18．武汉市政府为了给“世界军运会”营造良好交通环境，特招聘了一批交通协管员，这些协管员的年龄都在[50，55]之间，按年龄情况对他们进行统计得到的频率分布直方图如下，其中年龄在[30，35）岁的有10人，[45，50）岁的有45人．
（1）补全频率分布直方图，并估计协管员的年龄中位数；
（2）为感谢年长的协管员的支持，利用分层抽样的方法从年龄在[45，55]的协管员中抽取5人，并从这5人中再抽取3人，各赠送一份礼品，求仅有一人年龄在[50，55]的概率．

【分析】（1）由频率分布直方图求得[45，50）和[35，40）的频率与，
补全频率分布直方图，再利用中位数的两边频率相等，求出中位数的值；
（2）根据分层抽样原理，利用古典概型的概率公式计算所求的概率．
【解答】解：（1）由[30，35）的人数知总人数为n＝200，
所以[45，50）的频率为0.25，为0.045；
[35，40）的频率为1﹣（0.05+0.3+0.225+0.15）＝0.275，为0.055；
画出频率分布直方图如图所示：
[30，40）所占面积为0.01×5+0.055×5＝0.05+0.275＝0.325，
[40，45）所占面积为0.06×5＝0.3，
所以中位数x∈[40，45），且有，
解得x为．
（2）因为[45，50），[50，55]的人数分别为45人、30人，
所以分层抽样[45，50）中抽3人，[50，55]抽2人．
若在这5人中再抽3人，仅有一人年龄在[50，55]的概率为
P＝＝＝．

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．
19．设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，椭圆的离心率为，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的最大面积为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F1的直线l与椭圆交于M、N两点，连接MF2、NF2，若△MNF2的内切圆面积为，则求直线l方程．
【分析】（1）底边长为定值，则P点y值越大则面积越大，从而求解方程
（2）求出内切圆半径，已知以内切圆中心将三角形ABC分成三个三角形，设三个三角形的底边分别为a，b，c即三角形ABC三个边，高为内切圆半径r，则三个三角形面积和为三角形ABC的面积，将三角形分成上下两个三角形，可以求出y1﹣y2，联立直线方程x＝ty﹣2与椭圆方程，根据韦达定理，可以求出参数t，可得方程
【解答】解：（1）当P为上下顶点时，△PF1F2的面积最大，所以．
又∵，∴a＝4，b＝2，，椭圆方程为．
（2）∵△MNF2内切圆的面积为，∴内切圆的半径r为．
∵，∴．
设，则联立直线方程与椭圆方程，
得，
则，，
∴，
∴t2＝4或，则t＝±2或．
∴直线方程为或或或．
【点评】设出参数，联立方程利用韦达定理将含参等式解出参数，然后可以得出直线方程
20．近期流感来袭，各个医院的就诊量暴增，患者就诊困难．某医院为了以后患者能尽快就诊，决定组织调查小组来调查昼夜温差与就诊量的关系，以便以后遇到类似情况提前做好应对措施，经调查，12月21日到26日的昼夜温差x与流感就诊的人数y有如下数据：
昼夜温差（x℃）
9
10
11
12
13
14
就座人数（y人）
20
24
26
31
33
36
调查小组通过散点图发现昼夜温差与就诊人数存在线性相关关系，决定先从这6组数据中选取5组数据求线性回归方程，再用剩下的1组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程估计昼夜温差所对应的就诊人数，再求与实际就诊人数y的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．
（1）若选取的是前面5组数据，求y关于x的线性回归方程；
（2）判断（1）中的方程是否是“恰当回归方程”；
（3）为了使就诊等待的时间缩短，医院决定在就诊人数达到30人时增开诊室．那么利用回归方程估计昼夜温差为多少时医院会增开诊室．（温差精确到1℃）
附：参考公式，．
【分析】（1）由已知求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）在（1）中求得的回归方程中取x＝14求得y值，作差与1比较得结论；
（3）利用y＝30求得x值即可．
【解答】解：（1）由题知，前五组数据为：
x
9
10
11
12
13
y
20
24
26
31
33
则，，
，，
∴线性回归方程为．
（2）令x＝14，则，，
∴（1）中方程为“恰当回归方程”．
（3）令，则x≈12，∴当温差为12℃时增开诊室．
【点评】本题考查线性回归方程的求法，是基础的计算题．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，且当直线斜率为2时，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点M（1，﹣2）作抛物线C的两条弦MP与MQ，问在x轴上是否存在一定点N，使得直线PQ过点N时，kMP+kMQ为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为当直线斜率为2时，|AB|＝5，所以x1+x2+p＝5，①设直线AB方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可求出p的值，从而求出抛物线的方程；
（2）假设在x轴上存在点N，使得直线PQ过点N时，kMP+kMQ为定值，设N（n，0），P（x3，y3），Q（x4，y4），则，P、Q在抛物线上，则有，，所以，②设直线PQ方程x＝ty+n，与抛物线方程联立，结合韦达定理得．因为kMP+kMQ为定值，即n＝﹣1，且kMP+kMQ＝﹣2，所以存在定点N（﹣1，0），使得直线过点N时，kMP+kNP为定值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵当直线斜率为2时，|AB|＝5，∴x1+x2+p＝5，①
设直线AB方程为，
联立直线方程与抛物线方程，得4x2﹣6px+p2＝0，
∴，代入①式得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x；
（2）假设在x轴上存在点N，使得直线PQ过点N时，kMP+kMQ为定值，
设N（n，0），P（x3，y3），Q（x4，y4），则，P、Q在抛物线上，则有，，
∴，②
设直线PQ方程x＝ty+n，
联立直线方程与抛物线方程，得y2﹣4ty﹣4n＝0，
∴y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4n，代入②式得．
∵kMP+kMQ为定值，∴，即n＝﹣1，且kMP+kMQ＝﹣2，
∴存在定点N（﹣1，0），使得直线过点N时，kMP+kNP为定值．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．
22．设Q是圆E：（x+1）2+y2＝16上的一动点，点A（m，n）在直线y＝x﹣1上线段AQ的垂直平分线交直线EQ于点P．
（1）若点P的轨迹为椭圆，则求m的取值范围；
（2）设m＝1时对应的椭圆为C1，B为椭圆的右顶点，直线l与C1交于M、N两点，若，求△OMN面积的最大值．
【分析】（1）求得圆E的圆心和半径，运用垂直平分线的性质和两点的距离公式，结合直线方程，解不等式可得所求范围；
（2）由m＝1求得椭圆C1的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：x＝ty+s，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理可得s，进而得到直线MN恒过定点，再由三角形的面积公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．
【解答】解：（1）圆E：（x+1）2+y2＝16的圆心E（﹣1，0），半径r＝4，
若P的轨迹为椭圆，则A必在圆内，
此时AQ的垂直平分线交线段EQ于点P，|PA|+|PE|＝|PQ|+|PE|＝|EQ|＝r＝4＞|AE|，
∴（m+1）2+n2＜16，
∵A（m，n）在直线y＝x﹣1上，∴n＝m﹣1，
∴（m+1）2+（m﹣1）2＜16，则﹣＜m＜．
（2）当m＝1时，A为（1，0），此时|PA|+|PE|＝4＞2＝|AE|，
∴P的轨迹为以A、E为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，，
∴椭圆C1的方程为．
∵B为右顶点，∴B为（2，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：x＝ty+s，
∵，∴，即（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝0，①
∵M，N在直线x＝ty+s上，
∴①式变为，②
联立直线方程与椭圆方程，得（3t2+4）y2+6tsy+3s2﹣12＝0，
∴，，
代入②式得7s2﹣16s+4＝0，∴s＝2或，
当s＝2时，B、M或B、N重合，与、为非零向量矛盾，舍去．
∴，直线MN为，过定点，
此时＝，
令3t2+4＝p（p≥4），则，
∵，∴，即t＝0时，S△OMN有最大值，最大值为．

【点评】本题考查椭圆的定义和方程、性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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