2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题
1．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知随机变量X满足，P（X＝1）＝a，，下列说法中正确的是（　　）
A．E（X）随着a的增大而增大
B．E（X2）随着a的增大而增大
C．D（X）随着a的增大而增大
D．D（X）随着a的增大而减小
4．（5分）已知P是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点，F1，F2分别是C的左、右焦点，O是坐标原点，若|+|＝2||且∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y与x的回归直线方程是y＝﹣3.2x+a，相关系数|r|＝0.986，则下列说法错误的是（　　）
A．变量x，y线性负相关且相关性较强
B．
C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D．相应于点（10.5，6）的残差为0.4．
7．（5分）若（1+x）20＝a0+a1x+…+a19x19+a20x20，则a0+a1+…+a9+a10的值为（　　）
A．219 B．219﹣C
C．219+C D．219+C
8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
（多选）9．（5分）某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（　　）

A．a＝0.008
B．该校学生数学竞赛成绩落在[60，70）内的考生人数为24
C．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[70，80）内
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．已知事件A，B，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.9，P（AB）＝0
B．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
C．一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为0.81
D．已知随机变量，若使P（X＝k）的值最大，则k等于7或8
（多选）11．（5分）某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占50%．则下列说法中正确的是（　　）
参考数据：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
A．若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是
B．以下列联表中x的值为70；

男生
女生
合计
未购买过该款盲盒

x

购买过该款盲盒



合计



C．由上述数据可知，可以在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“购买该款盲盒与性别有关”
D．由上述数据可知，有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是（　　）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹为圆
B．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
C．若D1N与AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线
D．若MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆
三、填空题
13．（5分）在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为 　 　．
14．（5分）空间四点A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（3，1，0），则点D到平面ABC的距离是 　 　．
15．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是　 　．
四、双空题
16．（5分）某高中食堂鲜奶站提供A、B两种鲜奶，他们经过统计分析发现：第一次购买的人购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率为，而前一次购买A种鲜奶的人下一次来购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率为，前一次购买B种鲜奶的人下一次来购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A种鲜奶的概率为Pn．则P2＝　 　；经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备A种鲜奶 　 　份．
五、解答题
17．（10分）已知条件p：“曲线C1：表示焦点在x轴上的椭圆”，条件q：“曲线C2：表示双曲线”，其中m，t∈R．
（1）若条件p成立，求m的取值范围；
（2）若条件p，q都成立且p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是长方形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA＝AD＝2，AB＝3，E为PD中点，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

19．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F．
（1）直线l：y＝2x﹣1与抛物线C交于A，B两点，求△FAB的面积．
（2）已知圆M：（x﹣3）2+y2＝4，过抛物线上的点P（4，4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D（x1，y1），E（x2，y2），求y1+y2的值．
20．（12分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径X（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布N（68，36）．
（1）一顾客随机购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的“糖心苹果”的概率；
参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974；0.977220≈0.6305，0.998720≈0.9743）
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2011年至2020年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2021年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式可求得y与x的线性回归方程：＝2.50x﹣2.50；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近，对投资金额x做交换，令t＝lnx，则y＝b⋅t+a，且有＝22.00，＝230，＝569.00，＝50.92．
根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；然后根据下列表格中的数据，比较两种模型的R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
回归模型
模型①
模型②
回归方程
＝2.50x﹣2.50
＝blnx+a

102.28
36.19
参考公式及数据：样本（ti，yi）（i＝1，2，⋯，n）的最小二乘估计公式为：，；R2＝1﹣；ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
22．（12分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：
教师评分
11
10
9
各分数所占比例



某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）．
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X的分布列及数学期望E（X）；
（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”．
①记乙同学6个题得分为xi（x1＜x2＜x3＜x4＜x5）的题目个数为ai，，计算事件“a2+a3＝3”的概率．
②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的认识．

2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有种，其中2本数学书相邻的情况有种，以此可解决此题．
【解答】解：将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行的情况共有＝6种，其中2本数学书相邻的情况有＝4种，则2本数学书相邻的概率为＝．
故选：D．
【点评】本题考查排列数应用及古典概型，考查数学运算能力，属于基础题．
2．（5分）若事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，则P（A∪B）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由事件A与B相互独立，得到P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）．
【解答】解：∵事件A与B相互独立，P（A）＝，P（B）＝，
∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）
＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）已知随机变量X满足，P（X＝1）＝a，，下列说法中正确的是（　　）
A．E（X）随着a的增大而增大
B．E（X2）随着a的增大而增大
C．D（X）随着a的增大而增大
D．D（X）随着a的增大而减小
【分析】由已知条件求出E（X），E（X2），D（X），然后利用函数的性质判断即可．
【解答】解：因为，P（X＝1）＝a，，
所以，
所以E（X）随着a的增大而减小，所以A错误，
，所以E（X2）随着a的增大而减小，所以B错误，
＝＝，
因为，
所以D（X）随着a的增大而减小，所以C错误，D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查转化能力，属于中档题．
4．（5分）已知P是椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的点，F1，F2分别是C的左、右焦点，O是坐标原点，若|+|＝2||且∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设椭圆的半焦距为c，运用向量的加减运算可得||＝2||＝2c，结合条件推得△PF1F2为等边三角形，确定P为椭圆与y轴的交点，可得2c＝a，由离心率公式计算可得所求值．
【解答】解：设椭圆的半焦距为c，
可得|+|＝|﹣|＝||＝2||＝2c，
又∠F1PF2＝60°，|F1F2|＝2c，
可得△PF1F2为等边三角形，
即有|PF2|＝2c，则P为椭圆与y轴的交点，
可得|PF2|＝＝a，
所以2c＝a，
即椭圆的离心率e＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及等边三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件概率公式求解即可．
【解答】解：设甲获胜为事件A，比赛进行3局为事件B，
则P（A）＝+＝，
P（AB）＝＝，
P（B|A）＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查条件概率公式的应用，是基础题．
6．（5分）某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y与x的回归直线方程是y＝﹣3.2x+a，相关系数|r|＝0.986，则下列说法错误的是（　　）
A．变量x，y线性负相关且相关性较强
B．
C．当x＝8.5时，y的估计值为12.8
D．相应于点（10.5，6）的残差为0.4．
【分析】对于A，结合直线方程中k的值，以及相关系数，即可求解，对于B，结合回归直线方程恒过样本中心，即可求解，对于C，将x＝8.5代入线性回归方程中，即可求解，对于D，结合残差公式，即可求解．
【解答】解：对于A，由表可知，y随x的增大而变小，且相关系数|r|＝0.986，与1较接近，
故变量x，y线性负相关且相关性较强，故A正确，
对于B，，，
∵y与x的回归直线方程y＝﹣3.2x+a，恒过定点（10，8），
∴，解得，故B正确，
对于C，当x＝8.5时，，故C正确，
对于D，相应于点（10.5，6）的残差＝6﹣（﹣3.2×10.5+40）＝﹣0.4，故D错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差公式，属于中档题．
7．（5分）若（1+x）20＝a0+a1x+…+a19x19+a20x20，则a0+a1+…+a9+a10的值为（　　）
A．219 B．219﹣C
C．219+C D．219+C
【分析】先令x＝1，可得a0+a1+…+a9+a10+…+a20＝220；再结合a0+a1+…+a9＝a11+a12+…+a19+a20；即可求得结论．
【解答】解：因为（1+x）20＝a0+a1x+…+a19x19+a20x20，
令x＝1可得：a0+a1+…+a9+a10+…+a20＝220；
∵a0+a1+…+a9＝a11+a12+…+a19+a20；
a10＝；
∴a0+a1+…+a9＝＝219﹣
∴a0+a1+…+a9+a10＝+219﹣＝219+；
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．
8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】画出图形，延长F2A交PF1于点Q．推出|PQ|＝|PF2|．结合双曲线的定义转化求解|OA|＝a．在△F1OA中，由余弦定理可知，，当P的横坐标趋近于+∞时，直线PF1的斜率趋近，然后推出离心率的范围．
【解答】解：如图，F1，F2是双曲线的左、右焦点，延长F2A交PF1于点Q．
因为PA是∠F1PF2的角平分线，所以|PQ|＝|PF2|．
因为点P在双曲线上，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，|PF1|﹣|PQ|＝|QF1|＝2a．
因为O是F1F2中点，A是F2Q的中点，OA是△F1F2Q的中位线，
所以|QF1|＝2a＝2|OA|，所以|OA|＝a．
在△F1OA中，由余弦定理可知，
，
当P的横坐标趋近于+∞时，直线PF1的斜率趋近，
故，
得．

故选：B．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
二、多选题
（多选）9．（5分）某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计，分成[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]五组，得到如图所示频率分布直方图，则下列说法正确的是（　　）

A．a＝0.008
B．该校学生数学竞赛成绩落在[60，70）内的考生人数为24
C．该校学生数学竞赛成绩的中位数大于80
D．估计该校学生数学竞赛成绩的平均数落在[70，80）内
【分析】对于A，由频率分布直方图性质列出方程，由此能求出a；对于B，由频率分布直方图得成绩落在[60，70）的概率为0.2，由此能求出结果；对于C，由频率分布直方图得：[50，70）的频率为0.3，由此能求出结[70，80）的频率为0.35，从而求出成绩的中位数位于[70，80）内；对于D，由频率分布直方图的性质能估计成绩的平均数．
【解答】解：对于A，由频率分布直方图性质得：（a+0.02+0.035+0.025+a）×10＝1，
解得a＝0.01，故A错误；
对于B，由频率分布直方图得成绩落在[60，70）的概率为0.2，
∴该校学生数学竞赛成绩落在[60，70）内的考生人数为0.2×120＝24，故B正确；
对于C，由频率分布直方图得：[50，70）的频率为（0.01+0.02）×10＝0.3，
[70，80）的频率为0.035×10＝0.35，∴成绩的中位数位于[70，80）内，故C错误；
对于D，估计成绩的平均数为：
＝55×0.01×10+65×0.02×10+75×0.035×10+85×0.025×10+95×0.01×10＝75.5，
∴成绩的平均数落在[70，80）内，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）下列说法中正确的是（　　）
A．已知事件A，B，且P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，如果A与B互斥，那么P（A∪B）＝0.9，P（AB）＝0
B．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为
C．一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为0.81
D．已知随机变量，若使P（X＝k）的值最大，则k等于7或8
【分析】选项A，根据A与B互斥，结合条件可求出P（AB），P（A∪B）从而可判断，
选项B，由题意可得，，，解出P（A），即可求解，
选项C，检验为合格品分为：产品为合格品，检验员抽检时不出错和产品为不合格品，检验员抽检时出现错误，求出概率可判断，
选项D，结合二项分布的概率公式，即可求解．
【解答】解：对于A，A与B互斥，
则P（AB）＝0，
又P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，
则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.9，故A正确，
对于B，由题意可得，，，
设P（A）＝x，P（B）＝y，
则，解得x＝，即，故B正确，
选项C．检验为合格品分为：产品为合格品，检验员抽检时不出错和产品为不合格品，检验员抽检时出现错误，
则检验为合格品的概率为0.9×0.9+0.1×0.1＝0.82，故C错误，
对于D，随机变量，
则＝＝，解得k＜6，
当k＜6时，P（X＝k+1）＞P（X＝k），
当k＝6时，P（X＝7）＝P（X＝6），
当k＞6时，P（X＝k+1）＜P（X＝k），
故P（X＝6）和P（X＝7）的值最大，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查二项分布的概率公式，考查转化能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A、B、C三种样式，且每个盲盒只装一个玩偶．某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回．经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占；而在未购买者当中，男生女生各占50%．则下列说法中正确的是（　　）
参考数据：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考公式：，其中n＝a+b+c+d．
A．若每个盲盒装有A、B、C三种样式玩偶的概率相同．某同学已经有了A样式的玩偶，若他再购买两个这款盲盒，恰好能收集齐这三种样式的概率是
B．以下列联表中x的值为70；

男生
女生
合计
未购买过该款盲盒

x

购买过该款盲盒



合计



C．由上述数据可知，可以在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“购买该款盲盒与性别有关”
D．由上述数据可知，有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”
【分析】选项A．求出总的基本事件数，得出恰好能收集齐这三种样式的基本事件数，然后可得其概率；选项B．根据题意求出未购买过该款盲盒的人数，由题意可判断；由独立性检验求出K2的值，对照临界值表，可判断选项C，D选项．
【解答】解：选项A，该同学再购买两个这款盲盒，基本事件有：（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），
能收集齐这三种样式的基本事件有（B，C），（C，B），
所以恰好能收集齐这三种样式的概率是，故选项A正确．
选项B，购买了该款盲盒的人有60人，由在这些购买者当中，女生占，
所以购买了该款盲盒的人中男生有20人，女生40人，
有140人没有购买，其中男生70人，女生70人，
所以列联表中x的值为70，故选项B正确．
选项C，，
所以在犯错误概率不超过0.025的前提下不能认为“购买该款盲盒与性别有关”，故选项C不正确．
选项D，由C可知K2≈4.714＞3.841，
所以有95%把握认为“购买该款盲盒与性别有关”，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的是（　　）
A．若MN＝2，则MN的中点的轨迹为圆
B．若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线
C．若D1N与AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线
D．若MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆
【分析】对于A，设P为MN的中点，连接ND，DP，由直角三角形的性质可得，从而可得结论；
对于B，由正方体的性质可得NB是点N到直线BB1的距离，然后由抛物线的定义可得结论；
对于C，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设N（x，y，0），利用空间向量求解即可；
对于D，由条件可得，从而可得N的轨迹是以D为圆心，为半径的圆周．
【解答】解：对于A，如图所示，设P为MN的中点，连接ND，DP，
由正方体的性质可知为△MDN直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，
因为M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，所以点P轨迹为圆，所以A正确；
对于B，由正方体的性质可知，BB1⊥平面ABCD，而NB⊂平面ABCD，
所以BB1⊥NB，即NB是点N到直线BB1的距离，
在平面ABCD中，点N到定点B的距离与到定直线CD的距离相等，所以点N的轨迹是以点B为焦点，直线CD为准线的抛物线，所以B正确；

对于C，如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D1（0，0，2）A（0，2，0），B（2，2，0），
设N（x，y，0），则，，，
化简整理得3y2﹣x2＝4，即，
所以N的轨迹为双曲线，所以C正确；

对于D，由正方体的性质可知，MN与平面ABCD所成的角为∠MND，即，
在直角△MND中，，即N的轨迹是以D为圆心，为半径的圆周，所以D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）在10个排球中有6个正品，4个次品．从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为 　　．
【分析】正品数比次品数少包括：4个全为次品，1个正品3个次品，分别求出其概率，由概率的加法可得答案．
【解答】解：正品数比次品数少包括：4个全为次品，1个正品3个次品，
若全为次品的概率为：，
若为1个正品3个次品的概率是：，
所以正品数比次品数少的概率为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．
14．（5分）空间四点A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（3，1，0），则点D到平面ABC的距离是 　　．
【分析】求出平面ABC的一个法向量，再求出在这个法向量方向上的投影，投影的绝对值为所求距离．
【解答】解：由已知，，，
设是平面ABC的一个法向量，则，取x＝3，则z＝﹣2，y＝2，
即，在方向上的投影为．∴点D到平面ABC的距离．
故答案为：．
【点评】本题考查用向量法求点到平面的距离，属于基础题．．
15．（5分）抛物线y2＝8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是　　．
【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，可得＝，求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．
【解答】解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|＝|PM|，
∵抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），点A（﹣2，0）
∴＝，
设过A抛物线的切线方程为y＝k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2﹣8）x+4k2＝0，
∴Δ＝（4k2﹣8））2﹣16k4＝0，
∴k＝±1
∴∈[．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
四、双空题
16．（5分）某高中食堂鲜奶站提供A、B两种鲜奶，他们经过统计分析发现：第一次购买的人购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率为，而前一次购买A种鲜奶的人下一次来购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率为，前一次购买B种鲜奶的人下一次来购买A种鲜奶的概率为、购买B种鲜奶的概率也是，如此往复．记某人第n次来购买A种鲜奶的概率为Pn．则P2＝　　；经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，那么公司每天应至少准备A种鲜奶 　320　份．
【分析】根据独立事件的概率的乘法公式易得，Pn满足递推公式，进而得是等比数列，公比为，首项为，故，再结合题意即可求解．
【解答】解：根据题意，，所以，
由题知，，
所以，
所以是等比数列，公比为，首项为，
所以，即，
因为假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶，
所以当n→+∞时，，
所以公司每天应该准备A种鲜奶份．
故答案为：；320．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的数学期望，属于中档题．
五、解答题
17．（10分）已知条件p：“曲线C1：表示焦点在x轴上的椭圆”，条件q：“曲线C2：表示双曲线”，其中m，t∈R．
（1）若条件p成立，求m的取值范围；
（2）若条件p，q都成立且p是q的必要不充分条件，求t的取值范围．
【分析】（1）由于曲线表示焦点在x轴上的椭圆，所以m﹣1＞5﹣m＞0，可求出m的取值范围；
（2）由曲线C2表示双曲线，可得（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，从而求出m的取值范围，再由p是q的必要不充分条件，可得{m|t＜m＜t+1}⇐{m|3＜m＜5}，从而可求出t的取值范围．
【解答】解：（1）若条件p成立，则m﹣1＞5﹣m＞0，
解得3＜m＜5，即m的取值范围（3，5）；
（2）若条件q成立，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，解得t＜m＜t+1，
由p是q的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⇐{m|3＜m＜5}，
即，且等号不同时成立，解得3≤t≤4，
即t的取值范围为[3，4]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件以及平面解析几何相关知识，属于基础题．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是长方形，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）若PA＝AD＝2，AB＝3，E为PD中点，求二面角A﹣BE﹣C的余弦值．

【分析】（1）证明AB⊥AD，通过平面PAD⊥平面ABCD，推出AB⊥平面PAD，得到AB⊥PA．证明AD⊥PA，然后证明PA⊥平面ABCD．
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量，平面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣BE﹣C的余弦值即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为长方形，∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD
∴AB⊥平面PAD
∵PA⊂平面PAD，∴AB⊥PA．
同理AD⊥PA，
又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD
∴PA⊥平面ABCD．
（2）证明：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（3，0，0），D（0，2，0），C（3，2，0），E（0，1，1），P（0，0，2），
设＝（x，y，z），
为平面ABE的法向量，
∵，∴，令y＝1，则z＝﹣1，
∴平面ABE的一个法向量＝（0，1，﹣1）．
同理可求得平面BCE的一个法向量＝（1，0，3），
∴cos＝＝﹣．
.
∵二面角A﹣BE﹣C的大小为钝角
∴二面角A﹣BE﹣C的余弦值为﹣．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力，是中档题．
19．（12分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F．
（1）直线l：y＝2x﹣1与抛物线C交于A，B两点，求△FAB的面积．
（2）已知圆M：（x﹣3）2+y2＝4，过抛物线上的点P（4，4）作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点分别为D（x1，y1），E（x2，y2），求y1+y2的值．
【分析】（1）联立方程，结合韦达定理及面积公式即可求解；
（2）设过点P的直线方程为x＝t（y﹣4）+4，由直线与圆M相切得，化简结合韦达定理求得两根之和，两根之积，联立直线与抛物线方程得y1，y2，即可得出答案．
【解答】解：（1）抛物线的焦点为F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），把y＝2x﹣1方程代入抛物线y2＝4x，
可得4x2﹣8x+1＝0，∴x1+x2＝2，，
∴，点F到直线l的距离，
∴．
（2）设过点P的直线方程为x＝t（y﹣4）+4，
由直线与圆M相切得，可得12t2﹣8t﹣3＝0，则，，
把x＝t（y﹣4）+4代入抛物线方程可得y2﹣4ty+16t﹣16＝0，
则4，y1是方程y2﹣4ty+16t﹣16＝0的两根，可得y1＝4t1﹣4，同理y2＝4t2﹣4．
则有．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合计算，属于较难题．
20．（12分）某果园种植“糖心苹果”已有十余年，根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果园的单个“糖心苹果”的果径X（最大横切面直径，单位：mm）在正常环境下服从正态分布N（68，36）．
（1）一顾客随机购买了20个该果园的“糖心苹果”，求会买到果径小于56mm的“糖心苹果”的概率；
参考数据：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）＝0.9974；0.977220≈0.6305，0.998720≈0.9743）
（2）为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进．如图是2011年至2020年，该果园每年的投资金额x（单位：万元）与年利润增量y（单位：万元）的散点图：

该果园为了预测2021年投资金额为20万元时的年利润增量，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式可求得y与x的线性回归方程：＝2.50x﹣2.50；
模型②：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y＝blnx+a的附近，对投资金额x做交换，令t＝lnx，则y＝b⋅t+a，且有＝22.00，＝230，＝569.00，＝50.92．
根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；然后根据下列表格中的数据，比较两种模型的R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为20万元时的年利润增量（结果保留两位小数）．
回归模型
模型①
模型②
回归方程
＝2.50x﹣2.50
＝blnx+a

102.28
36.19
参考公式及数据：样本（ti，yi）（i＝1，2，⋯，n）的最小二乘估计公式为：，；R2＝1﹣；ln2≈0.6931，ln5≈1.6094．
【分析】（1）写出μ，σ的值，结合正态分布的对称性，可得单个“糖心苹果”的果径小于56mm的概率，再由二项分布的概率公式进行运算，即可；
（2）由最小二乘法求得模型②中y关于x的回归方程，先比较两种模型的相关系数的平方，即可确定拟合程度更好的模型，再把x＝20代入模型②的回归方程中进行计算，求得预测值，即可．
【解答】解：（1）由已知，单个“糖心苹果”的果径X～N（μ，σ2），且μ＝68，σ＝6，
由正态分布的对称性可知，P（X＜56）＝[1﹣P（68﹣12≤X≤68+12）]＝[1﹣P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）]＝×（1﹣0.9544）＝0.0228，
设一顾客购买了20个该果园的“糖心苹果”，其中果径小于56mm的有Y个，则Y～B（20，0.0228），
所以P（Y≥1）＝1﹣P（Y＝0）＝1﹣（1﹣0.0228）20＝1﹣0.977220≈1﹣0.6305＝0.3695，
所以这名顾客购买的20个“糖心苹果”中有果径小于56mm的苹果的概率为0.3695．
（2）由，，可得，，
所以＝，
，
所以模型②中y关于x的回归方程为，
由表格中的数据知，102.28＞36.19，即，
所以模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
当x＝20时，模型②的年利润增量的预测值为≈25×（2×0.6931+1.6094）﹣32＝42.89（万元）．
【点评】本题考查线性回归方程的求法与应用，相关系数的含义，正态分布的性质，具有一定的综合性，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，点（，）在椭圆C上．A、B分别为椭圆C的上、下顶点，动直线l交椭圆C于P、Q两点，满足AP⊥AQ，AH⊥PQ，垂足为H．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求△ABH面积的最大值．
【分析】（1）由题意可知，解得即可求出；
（2）设直线PQ方程为y＝kx+m，根据韦达定理，以及AP⊥AQ，可求出m＝﹣，再根据△ABH的几何意义，根据面积公式即可求出．
【解答】解：（1）由题意可知，解得a＝，b＝2，c＝，
所以椭圆C的标准方程为+＝1；
（2）由题意知PQ的斜率存在，设直线PQ方程为y＝kx+m，其中m≠2，
由，消y得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵AP⊥AQ，
∴•＝x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）＝x1x2+（kx1+m﹣2）（kx2+m﹣2）＝（k2+1）x1x2+k（m﹣2）（x1+x2）+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）•﹣k（m﹣2）•+（m﹣2）2＝0，
即（k2+1）（3m+6）﹣6k2m+（m﹣2）（3k2+2）＝0，
∵m≠2，
∴（k2+1）（3m2﹣12）﹣6k2m（m﹣2）+（m﹣2）2（3k2+2）＝0，
∴3k2m+6k2+3m+6﹣6k2m+3k2m+2m﹣6k2﹣4＝0，
∴m＝﹣，满足Δ＞0，
设PQ所过定点D，∵AH⊥PQ，
∴点H在以AD为直径的圆上，
∴△ABH面积的最大值S＝|AB|×＝×4×＝．
【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、点在椭圆上与点的坐标与椭圆的方程得关系基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．
22．（12分）学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“B类解答”．为评估此类解答导致的失分情况，某市考试院做了项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目，扫描后由近千名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如下表所示：
教师评分
11
10
9
各分数所占比例



某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分．（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响；考生最终所得到的实际分数按照上述规则所得分数计入，不做四舍五入处理）．
（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“B类解答”，求甲同学此题最终所得到的实际分数X的分布列及数学期望E（X）；
（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分12分，同学乙6个题的解答均为“B类解答”．
①记乙同学6个题得分为xi（x1＜x2＜x3＜x4＜x5）的题目个数为ai，，计算事件“a2+a3＝3”的概率．
②同学丙的前四题均为满分，第5题为“B类解答”，第6题得6分．以乙、丙两位同学解答题总分均值为依据，谈谈你对“B类解答”的认识．
【分析】（1）由题意得随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11，利用表格中的概率值，求出各种情况下的概率，即可得到分布列，以及数学期望；
（2）①事件A发生的次数Y～B（6，），“a2+a3＝3”相当于事件A恰好发生3次，那么就可以求出其概率；
②分别求出乙，丙同学的均值，比较大小即可．
【解答】解：（1）根据题意，随机变量X的取值为9，9.5，10，10.5，11．
设一评、二评、仲裁所打的分数分别是x，y，z，
P（X＝9）＝P（x＝9，y＝9）+P（x＝9，y＝11，z＝9）+P（x＝11，y＝9，z＝9）＝，，，P（X＝11）＝P（x＝11，y＝11）+P（x＝9，y＝11，z＝11）+P（x＝11，y＝9，z＝11）＝，
故X的分布列为：
X
9
9.5
10
10.5
11
P





．
（2）记“X＝9.5或X＝10”为事件A，6次实验中，事件A发生的次数Y～B（6，），“a2+a3＝3”相当于事件A恰好发生3次，
故概率为：．
②由题意可知：乙同学得分的均值为，丙同学得分的均值为：．
显然，丙同学得分均值更高，所以“会而不对”和不会做一样都会丢分，在做题过程中要规范作答，尽量避免“B类解答”的出现．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
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