2020-2021学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2≤x＜6，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．{3} B．{3，4} C．{4，5} D．{3，4，5}
2．（5分）已知，则复数z在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（5分）函数在上的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（5分）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，则x0＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．（5分）已知，，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）若过第一象限的点（a，b）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则（　　）
A．lnb＜a B．lnb＞a C．b＜lna D．b＞lna
8．（5分）下列给出的命题中，错误的命题有（　　）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
②事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大；
③若P（A）＞0，P（B）＞0，则事件A，B相互独立与A，B互斥可以同时成立；
④对于事件A，B，C，若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）成立，则A，B，C两两独立
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中正确的是（　　）
A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少
B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上
C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍
D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍
（多选）10．（5分）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在直线AB上，且 ，则P的坐标为
B．已知O是△ABC的外接圆圆心，，，R为圆的半径，则在上的投影为
C．若，且，则
D．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则P是△ABC的垂心
（多选）11．（5分）已知函数，e是自然对数的底数，则（　　）
A．f（2）＞f（3）
B．若x1lnx2＝x2lnx1，则x1+x2＝2e
C．f（x）的最大值为
D．若关于x的不等式有正整数解，则λ≥6
（多选）12．（5分）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球O的球面上．关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（　　）

A．FI∥平面ABE
B．BE与平面EIJ所成的角的余弦值为
C．该多面体的外接球的表面积为4π
D．该多面体的体积为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（9x+）6展开式的常数项为　 　．
14．（5分）y＝e1﹣x在点处的切线方程是 　 　．
15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足|PF2|＝|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2＝a2有公共点，则双曲线的离心率的最大值是 　 　．
16．（5分）如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作．反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记n次操作后的曲线为Tn，周长为∁n．设原正三角形T0的边长为1，C0＝3即对应图1，则进行二次操作后，曲线T2（对应图3）的顶点数为 　 　；若进行n次操作后，则＝　 　．


四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若，b＝5，求c的值．
18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝3，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设cn＝an+n，求数列{cn}的前2021项和T2021．
19．（12分）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品．已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率为，且专家之间鉴定是否通过相互独立．
（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；
（2）若一件手工艺品质量分别为一、二、三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为Y元，求Y的分布列与及1000件产品的平均利润．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，．
（1）求证：平面PBO⊥平面ABCD；
（2）求二面角O﹣PB﹣A的平面角的余弦值．

21．（12分）已知椭圆Γ：的离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）A，B为椭圆的短轴顶点，点P是直线y＝2（x≠0）上动点，若直线PA与Γ的另一个交点为C、PB与Γ的另一个交点为D，证明：直线CD过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2e﹣x）lnx，其中e＝2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x1，x2∈（0，1），且x2lnx1﹣x1lnx2＝2ex1x2（lnx1﹣lnx2），证明：．

2020-2021学年湖北省武汉市江岸区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）设集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2≤x＜6，x∈Z}，则A∩B＝（　　）
A．{3} B．{3，4} C．{4，5} D．{3，4，5}
【分析】先求出集合B，再利用集合的交集运算求解．
【解答】解：B＝{x|2≤x＜6，x∈Z}＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4，5}，
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合间的基本运算，是基础题．
2．（5分）已知，则复数z在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴＝＝，
∴z＝2+i，
∴复数z在复平面上对应的点（2，1），位于第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）若一个圆锥的表面积为3π，侧面展开图是半圆，则此圆锥的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，列方程组求得r、l和h的值．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
则πr2+πrl＝3π，…①
又2πr＝πl，…②
由①②解得l＝2，r＝1，
∴高h＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图应用问题，是基础题．
4．（5分）函数在上的零点个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，令f（x）＝0，可得x＝+，k∈Z，结合x的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
若f（x）＝0，必有2x﹣＝kπ，（k∈Z），
解可得x＝+，k∈Z
又由x∈，则有x＝﹣，，，
故函数f（x）在上有3个零点，
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的图象，涉及函数零点的判断，属于基础题．
5．（5分）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，则x0＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
【解答】解：抛物线C：y2＝x的焦点为F，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF＝|x0|，x0＞0．
∴＝x0+，
解得x0＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义、焦点弦长公式，属于基础题．
6．（5分）已知，，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用平方差公式进行化简，利用两角和差的余弦公式进行转化求解即可．
【解答】解：∵，，
∴（sin²α+cos²α）（sin²α﹣cos²α）＝﹣cos2α＝﹣，
则cos2α＝，
则2α∈（0，π），则sin2α＝，
则＝cos2α﹣sin2α＝﹣＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据两角和差的余弦公式进行转化是解决本题的关键，是基础题．
7．（5分）若过第一象限的点（a，b）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则（　　）
A．lnb＜a B．lnb＞a C．b＜lna D．b＞lna
【分析】设过点（a，b）的切线横坐标为t，求出切线方程，代入（a，b），设f（t）＝+lnt﹣1，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后推出b的范围即可．
【解答】解：由y＝lnx，得y′＝，
设切点横坐标为t（t＞0），则，
切线方程为y﹣lnt＝（x﹣t）＝﹣1，把（a，b）代入，
可得b＝+lnt﹣1，令f（t）＝+lnt﹣1，
则f′（t）＝﹣+＝，
当t∈（0，a）时，f′（t）＜0，当t∈（a，+∞）时，f′（t）＞0，
∴f（t）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
则f（t）的最小值为f（a）＝lna，
∴要使过点（a，b）可以作曲线y＝lnx的两条切线，则lna＜b．
故选：D．
【点评】本题考查曲线与方程的应用，函数的单调性以及切线的关系，考查数形结合思想，是中档题．
8．（5分）下列给出的命题中，错误的命题有（　　）个
①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件；
②事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大；
③若P（A）＞0，P（B）＞0，则事件A，B相互独立与A，B互斥可以同时成立；
④对于事件A，B，C，若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）成立，则A，B，C两两独立
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用互斥事件和对立事件的关系，互斥事件和相互独立事件的关系判断①②③④的结论．
【解答】解：对于①互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故①正确；
对于②当事件A与事件B为对立事件时，事件A和事件B中至少有一个发生的概率与事件A和事件B恰有一个发生的概率相等，故②错误；
对于③若P（A）＞0，P（B）＞0，若事件A和B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B），故事件A和B不互斥，若事件A和B互斥，则P（AB）＝0，P（AB）≠P（A）P（B），故事件A，B不独立，故③错误；
④对于事件A：投掷第一个骰子的点数为奇数，对于事件B：投掷第二个骰子的点数为奇数，对于事件C：投掷两个骰子的点数的和为奇数，故P（A）＝P（B）＝P（C）＝，故P（AB）＝P（BC）＝P（AC）＝，P（ABC）＝0，
故P（A）P（B）P（C）≠P（ABC）．故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：互斥事件和对立事件的关系，互斥事件和相互独立事件的关系，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．（5分）为响应国家号召，打赢脱贫致富攻坚战，某贫困村主要产业是种植蜜柚，由于销售渠道单一，导致蜜柚滞销或低价出售．其定点扶贫单位为帮助该村真正脱贫，为该村建立多种销售渠道，一年后该村的蜜柚销售收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该村的蜜柚销售收入变化情况，统计了该村扶贫前后的蜜柚销售收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中正确的是（　　）
A．扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入减少
B．扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上
C．扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍
D．扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的四倍
【分析】根据统计图表中的信息，设扶贫前销售收入为a，扶贫后销售收入为2a，对四个选项逐一计算判断即可．
【解答】解：设扶贫前销售收入为a，扶贫后销售收入为2a，
对于A，扶贫前该村的城乡集贸市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，
扶贫后该村的城乡集贸市场销售渠道的收入2a×20%＝0.4a，
所以扶贫后，该村的城乡集贸市场销售渠道的收入增加，故选项A错误；
对于B，扶贫前该村的自媒体销售渠道的收入为a×5%＝0.05a，
扶贫后该村的自媒体销售渠道的收入为2a×10%＝0.2a，
所以扶贫后，该村的自媒体销售渠道的收入增加了一倍以上，故选项B正确；
对于C，扶贫前该村的农产品批发市场销售渠道的收入为a×30%＝0.3a，
扶贫后该村的农产品批发市场销售渠道的收入2a×30%＝0.6a，
所以扶贫后，该村的农产品批发市场销售渠道的收入增加了一倍，故选项C正确；
对于D，扶贫前该村的农产品电商销售渠道收入为a×5%＝0.05a，
扶贫后该村的农产品电商销售渠道收入2a×20%＝0.4a，
所以扶贫后，该村的农产品电商销售渠道收入是扶贫前的八倍，故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了统计图表的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．
（多选）10．（5分）下列关于平面向量的说法中正确的是（　　）
A．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在直线AB上，且 ，则P的坐标为
B．已知O是△ABC的外接圆圆心，，，R为圆的半径，则在上的投影为
C．若，且，则
D．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则P是△ABC的垂心
【分析】利用平面向量平行的坐标表示判断A，利用投影向量的应用判断B，利用向量的垂直判断C，利用三角形的垂心判断D．
【解答】解：A：设P（x，y），因为A（2，3），B（4，﹣3），
所以＝（x﹣2，y﹣3），＝（4﹣x，﹣3﹣y），
又因为点P在直线AB上，所以，共线，
则（x﹣2）（﹣3﹣y）﹣（4﹣x）（y﹣3）＝0，
整理得3x+y﹣9＝0①
又 ，所以4[（x﹣2）2+（y﹣3）2]＝9[（4﹣x）2+（﹣3﹣y）2]，
整理得5x2+5y2﹣56x+78y+173＝0②
联立①②解得，或．所以点P的坐标（，﹣）或（8，﹣15），∴A错误，
B：如图所示：

因为△ABC的外接圆的圆心为O，满足，∴四边形ABOC为平行四边形，
∵OB＝OC，∴四边形ABOC为菱形，
∵，∴∠ABO＝60°，∴BE＝R，
∴在上的投影为BE＝R，∴B正确，
C：当⊥，⊥时，则•（﹣ ）＝•﹣•＝0，满足，但与不一定相等，∴C错误，
D：∵，∴•﹣•＝0，∴•（﹣）＝0，∴•＝0，∴⊥，同理⊥，∴则P是△ABC的垂心，∴D正确，
故选：BD．

【点评】本题考查了平面向量平行的坐标表示，投影向量的应用，向量的垂直，三角形的垂心，属于中档题．
（多选）11．（5分）已知函数，e是自然对数的底数，则（　　）
A．f（2）＞f（3）
B．若x1lnx2＝x2lnx1，则x1+x2＝2e
C．f（x）的最大值为
D．若关于x的不等式有正整数解，则λ≥6
【分析】首先求函数的导数，判断函数的单调性和函数的最大值，判断AC，由特殊值判断B，不等式变形为，λ＞0时，变形为，结合前面函数的判断，不等式有整数解，列式求λ的取值范围．
【解答】解：，f'（x）＝0⇒x＝e，
当0＜x＜e时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞e时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∵e＜3＜4，∴f（3）＞f（4），
∵，∴f（2）＜f（3），故A错误；
若x1lnx2＝x2lnx1，则，即f（x1）＝f（x2），
由f（2）＝f（4）可知，2+4≠2e，故B错误；
由以上证明可知，当x＝e时，函数取得最大值，故C正确；
不等式，
当λ＞0时，，若不等式存在整数解，则，得λ≥6，
当λ＜0时，时，必有0＜x＜1，所以不存在整数解，故不成立，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值，利用导数研究不等式等知识，属于中等题．
（多选）12．（5分）如图所示，该多面体是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体，所有棱长均为1，所有顶点均在球O的球面上．关于这个多面体给出以下结论，其中正确的有（　　）

A．FI∥平面ABE
B．BE与平面EIJ所成的角的余弦值为
C．该多面体的外接球的表面积为4π
D．该多面体的体积为
【分析】将题目中的十四面体放入一个正方体中，对于A，结合线面平行的判定定理即可判断，对于B，利用向量法求解，即可判断，对于C，求出其外接球的半径结合球的表面积公式即可判断，对于D，利用割补法求解体积即可判断．
【解答】解：对于A，如图所示，连接FI，由正方体的性质可知，IJ∥AB，
因为AB⊂平面ABE，IJ⊄平面ABE，所以IJ∥平面ABE，
同理可证JF∥平面ABE，又IJ∩FJ＝J，IJ，FJ⊂平面JIF，
所以平面JIF∥平面ABE，又FI⊂平面JIF，
所以FI∥平面ABE，故选项A正确；
对于B，建立空间直角坐标系如图所示，图中正方体的棱长为，
则，，
所以，，
设平面EIJ的法向量为，
则，即，
令a＝1，则b＝﹣1，z＝1，则，
所以＝＝，
所以BE与平面EIJ所成的角的余弦值为，故选项B错误；
对于C，该多面体的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合，
该多面体的外接球的半径OE为正方体面对角线长度的一半，
所以多面体的外接球的半径r等于该十四面体的棱长1，
故该多面体外接球的表面积为4πr2＝4π，故选项C正确；
对于D，图中正方体的棱长为，
则正方体体积，
对于8个体积相同的三棱锥体积，
所以该多面体的体积为，故选项D正确．
故选：ACD．

【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角以及空间几何体体积的计算等知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）（9x+）6展开式的常数项为　15　．
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：通项公式Tr+1＝（9x）6﹣r＝312﹣3r，
令6﹣＝0，交点r＝4．
∴常数项＝＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）y＝e1﹣x在点处的切线方程是 　x+ey﹣3＝0　．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由y＝e1﹣x，得y′＝﹣e1﹣x，
∴，
则y＝e1﹣x在点处的切线方程是y，
即x+ey﹣3＝0．
故答案为：x+ey﹣3＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，满足|PF2|＝|F1F2|，直线PF1与圆x2+y2＝a2有公共点，则双曲线的离心率的最大值是 　　．
【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到e，即可得出结论．
【解答】解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，
则|OM|＝a，OM⊥PF1，
取PF1的中点N，连接NF2，
由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，
由|NF2|＝2|OM|＝2a，
则|NP|＝2b，
即有|PF1|＝4b，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，
即4b﹣2c＝2a，即2b＝c+a，
4b2＝（c+a）2，即4（c2﹣a2）＝（c+a）2，
4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，
则e＝，
∵直线PF1与圆x2+y2＝a2有公共点，
∴1＜e≤，
故答案为：．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．
16．（5分）如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图案的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，这样的过程称为一次操作．反复进行这种操作过程，就得到一条“雪花”状的曲线，并记n次操作后的曲线为Tn，周长为∁n．设原正三角形T0的边长为1，C0＝3即对应图1，则进行二次操作后，曲线T2（对应图3）的顶点数为 　48　；若进行n次操作后，则＝　　．


【分析】观察所给的图形，得到图2的顶点数和图1的顶点数和边数的关系，以及图3的顶点数与图2的顶点数和边数的关系，判断图2的顶点数，再由图形之间边长的关系，得到数列{Cn﹣1}是首项为3，公差为的等比数列，再按照等比数列求和．
【解答】解：T0有3个顶点，3条边，T1的顶点数是3+3×3＝12个，有4×3＝12条边，
T2的顶点数是 12+12×3＝48个，
由图形观察可知，，
所以数列{Cn﹣1}是首项为3，公差为的等比数列，．
答案为：．
【点评】本题考查归纳推理，考查学生的分析能力，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若，b＝5，求c的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，结合范围，可求A的值．
（Ⅱ）由余弦定理可得c2﹣5c+4＝0，解得c的值．
【解答】（本题满分为13分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，……（2分）
得asinB＝bsinA．
又，得．……（4分）
由于，
所以．……（6分）
（Ⅱ） ，b＝5，，
在△ABC中，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，……（7分）
得，即c2﹣5c+4＝0，
解得c＝1，或c＝4．……（11分）
当c＝1时，．
此时，△ABC为钝角三角形，舍去．
经检验，c＝4满足题意．……（13分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）已知数列{an}满足：a1＝3，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设cn＝an+n，求数列{cn}的前2021项和T2021．
【分析】（1）设 ，证明为常数即可；（2）先求出{cn}的通项公式，再由错位相差减求解即可；
【解答】解：（1）证明：设 ，则 ，
所以 ，
又 ，所以 {bn} 是以4为首项，2为公比的等比数列，
即数列 是以 4 为首项，2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，
，
，
相减得，，
所以 ，
所以 ．
【点评】本题考查了等比数列的定义、用错位相减求前n的和，难点在于用错位相减求和，属于中档题．
19．（12分）为巩固拓展脱贫攻坚成果，某地区对地方特色手工艺品的质量实行专家鉴定制度：若一件手工艺品被3位专家都鉴定通过，则该手工艺品被评为一级品；若一件手工艺品仅有两位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为二级品；若一件手工艺品仅有一位专家鉴定通过，则该手工艺品被评为三级品；若一件手工艺品没有得到三位专家的鉴定通过，则相应的被评为四级品．已知每一件手工艺品被一位专家鉴定通过的概率为，且专家之间鉴定是否通过相互独立．
（1）求一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率；
（2）若一件手工艺品质量分别为一、二、三级均可出厂，且利润分别为100元，70元，20元，质量为四级品不能出厂，亏损10元，记一件手工艺品的利润为Y元，求Y的分布列与及1000件产品的平均利润．
【分析】（1）根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
（2）由题意可知，Y的所有可能取值为100，70，20，﹣10，分别求出对应的概率，即可得Y的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）一件手工艺品被专家鉴定为二级品的概率为．
（2）由题意可知，Y的所有可能取值为100，70，20，﹣10，
P（Y＝100）＝，P（Y＝70）＝，
P（Y＝20）＝，P（Y＝﹣10）＝，
故Y的分布列为：
Y
100
70
20
﹣10
P




故E（X）＝＝，
故1000件产品的平均利润为1000E（X）＝．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于基础题．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°，．
（1）求证：平面PBO⊥平面ABCD；
（2）求二面角O﹣PB﹣A的平面角的余弦值．

【分析】（1）只要证明直线OP垂直于平面ABCD即可；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接OP、OB、DB，
因为侧面PAD为等边三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD，
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以BD＝AB＝AD，所以AD⊥OB，
因为OP＝OB＝ABsin60°＝，又因为PB＝，所以PB²＝OP²+OB²，
所以PO⊥OB，又因为OB∩AD＝O，所以OP⊥平面ABCD，
因为OP⊂平面PBO，所以平面PBO⊥平面ABCD．
（2）解：由（1）知OB、OD、OP两两垂直，建系如图，
A（0，﹣1，0），B（，0，0），P（0，0，），
＝（，1，0），＝（0，1，），令＝（1，﹣，1），
因为•＝0，•＝0，所以是平面PAB的法向量，
＝（0，1，0）是平面PBO的法向量，
因为二面角O﹣PB﹣A是锐角，所以二面角O﹣PB﹣A的平面角的余弦值为＝＝．

【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
21．（12分）已知椭圆Γ：的离心率为，长轴长为4．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）A，B为椭圆的短轴顶点，点P是直线y＝2（x≠0）上动点，若直线PA与Γ的另一个交点为C、PB与Γ的另一个交点为D，证明：直线CD过定点．
【分析】（1）首先根据条件列出关于a，c的方程，即可得到椭圆方程；
（2）首先利用坐标得到直线PA和PB的直线方程，并与椭圆方程联立，得到点C，D的坐标，表示出直线CD方程，即可得到直线所过定点的坐标．
【解答】解：（1）由条件可知，解得，
所以b2＝a2﹣c2＝1，所以椭圆Γ的方程是 ．
（2）证明：设A（0，1），B（0，﹣1），P（m，2），C（x1，y1），D（x2，y2），
则直线PA的方程为y＝+1，直线PB的方程为，
由 得，，
即，代入 得，，
由 得，，
即，代入 得，，
从而，直线CD的斜率为 ，
直线CD方程为，
令x＝0，则y＝×+＝+＝＝，
所以直线CD过定点 ．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，属于中档题．
22．（12分）已知函数f（x）＝（2e﹣x）lnx，其中e＝2.71828⋅⋅⋅为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若x1，x2∈（0，1），且x2lnx1﹣x1lnx2＝2ex1x2（lnx1﹣lnx2），证明：．
【分析】（1）对f（x）求导，利用导数与函数单调性的关系求解即可；
（2）首先方程变形为（2e﹣）ln＝（2e﹣）ln，设＝a1，＝a2，通过构造函数F（x）＝f（x）﹣f（2e﹣x），1＜x＜e，利用导数证明a1+a2＞2e，再分a2＜e+1和e+1≤a2＜2e时，证明a1+a2＜2e+1即可．
【解答】（1）解：f′（x）＝﹣（1+lnx），y＝是减函数，y＝1+lnx是增函数，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f′（e）＝0，
所以x∈（0，e）时，f′（x）＞f′（e）＝0，f（x）单调递增，x∈（e，+∞）时，f′（x）＜f′（e）＝0，f（x）单调递减．
（2）证明：由题意，﹣＝2elnx1﹣2elnx2，
即（2e﹣）lnx1＝（2e﹣）lnx2，（2e﹣）ln＝（2e﹣）ln，
设＝a1，＝a2，则由x1，x2∈（0，1），得a1，a2∈（1，+∞），且f（a1）＝f（a2），
不妨设a1＜a2，则即证2e＜a1+a2＜2e+1，
由f（2e）＝0及f（x）的单调性知，1＜a1＜e＜a2＜2e，
令F（x）＝f（x）﹣f（2e﹣x），1＜x＜e，
则F′（x）＝f′（x）+f′（2e﹣x）＝﹣2﹣ln[x（2e﹣x）]，
因为x（2e﹣x）≤e2，所以F′（x）＞﹣2﹣lne2＝0，所以F（x）在（1，e）上单调递增，则F（x）＜F（e）＝0，
所以f（x）＜f（2e﹣x），取x＝a1，则f（a1）＜f（2e﹣a1），
又f（a1）＝f（a2），则f（a2）＜f（2e﹣a1），
又2e﹣a1＞e，a2＞e，且f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以a2＞2e﹣a1，即a1+a2＞2e．
下证a1+a2＜2e+1，
①当a2＜e+1时，由a1＜e得a1+a2＜2e+1，
②当e+1≤a2＜2e时，令G（x）＝f（x）﹣f（2e+1﹣x），e+1＜x＜2e，
则G′（x）＝f（′x）+f′（2e+1﹣x）＝﹣1﹣lnx+﹣1﹣ln（2e+1﹣x）＝﹣2﹣ln[﹣x2+（2e+1）x]，
记t＝﹣x2+（2e+1）x，e+1≤x＜2e，
又t＝﹣x2+（2e+1）x在[e+1，2e）上为减函数，所以t∈（2e，e2+1]，
﹣2在（2e，e2+1）单调递减，lnt在（2e，e2+1）单调递增，所以﹣2﹣lnt单调递减，
从而G′（x）在[e+1，2e）上单调递增，
又G′（2e）＝﹣2﹣ln2e（2e+1﹣2e）＝2e﹣1﹣ln2e，lnx≤x+1，
所以G′（2e）＞0，
又G′（e+1）＝﹣2﹣ln（e+1）（2e+1﹣e﹣1）＝﹣ln（e+1）＜0，
从而由零点存在定理得，存在唯一x0∈（e+1，2e），使得G′（x0）＝0，
当x∈[e+1，x0）时，G′（x）＜G′（x0）＝0⇒G（x）单调递减；
当x∈（x0，2e）时，G′（x）＞G′（x0）＝0⇒G（x）单调递增；
所以G（x）≤max{G（e+1），G（2e）}，
又G（e+1）＝f（e+1）﹣f（2e+1﹣e﹣1）＝f（e+1）﹣f（e）＝（e﹣1）ln（e+1）﹣e，
≤⇒lnx≤⇒ln（e+1）≤，
所以G（e+1）＜（e﹣1）﹣e＝﹣＜0，
显然，G（2e）＝f（2e）﹣f（2e+1﹣2e）＝0﹣0＝0，
所以G（x）＜0，即f（x）﹣f（2e+1﹣x）＜0，
取x＝a2∈[e+1，2e），则f（a2）＜f（2e+1﹣a2），
又f（a1）＝f（a2），则f（a1）＜f（2e+1﹣a2），
结合2e+1﹣a2＜2e+1﹣（e+1）＝e，a1＜e，以及f（x）在（0，e）单调递增，得到a1＜2e+1﹣a2，
所以a1+a2＜2e+1．
综上可得，．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
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