2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（a卷）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（a卷），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（A卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线y＝﹣x+5的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）椭圆的一个焦点坐标为，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．（5分）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a5+a7+a9＝（　　）
A．21 B．42 C．63 D．84
4．（5分）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点（﹣5，2）在抛物线上，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝﹣2x B．y2＝﹣4x
C．y2＝2x D．y2＝﹣4x或y2＝﹣36x
5．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，有下列四个等式，甲：a1＝1；乙：S3＝9；丙：S6＝36；丁：a4＝6．如果只有一个等式不成立，则该等式为（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1＝4，且a1，a7，a10成等比数列，则其前n项和Sn取得最大值时，n的值为（　　）
A．12 B．13 C．12或13 D．13或14
7．（5分）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（　　）个奇数
A．1012 B．1346 C．1348 D．1350
8．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 （　　）
A． B．2 C．3 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有（　　）
A．若a2021＞0，则a1a2＞0
B．若a1a2＞0，则a2a3＞0
C．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2
D．若a1a2＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＜0
（多选）10．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：mx+x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（　　）
A．直线l恒过定点（﹣1，1）
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．直线l与圆C有一个交点
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
（多选）11．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筀宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线x＝0，y＝4，y＝﹣2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（　　）

A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
（多选）12．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1，n∈N*，则（　　）
A．是等比数列 B．
C．{an}是递增数列 D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程是 　 　．
14．（5分）写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝　 　．
15．（5分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的右顶点为P，右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合．若C1与C2相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为　 　．
16．（5分）作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为a1，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为an，则a6＝　 　，现有1个半径为a1的圆，2个半径为a2的圆，…，n﹣1个半径为an﹣1的圆，n个半径为an的圆，则所有这些圆的面积之和为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）有三个条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，a1＝2，且数列{an2﹣an}为常数列，②Sn＝），③a1＝2，a3＝2，Sn+1＝Sn﹣1+1（n≥2，n∈N*）中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题．
已知数列{an}的前n项和为Sn，_____，求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn．
18．（12分）在一次重大军事联合演习中，以点E为中心的5海里以内海域被设为警戒区域，任何船只不得经过该区域．已知点E正北方向海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°，且与点A相距100海里的位置B，经过4小时又测得该船已行驶到位于点A北偏东60°，且与点A相距海里的位置C．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）该船能否不改变方向继续直线航行？请说明理由．
19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为﹣．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝）与椭圆C相交于A，B两点，|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
20．（12分）已知数列{an}，a1＝1，an+1≠0，且anan+1+1＝μ（a1+a2+⋯+an），其中μ为常数．
（1）证明：an+2﹣an＝μ；
（2）是否存在μ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
21．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）直线x＝my+3与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为（﹣3，0），记直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，则+﹣2m2是否为定值，若是求出，不是说明理由．
22．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．

2021-2022学年湖北省武汉市部分重点中学高二（上）期末数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线y＝﹣x+5的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系的应用求出结果．
【解答】解：根据直线y＝﹣x+5，故tanα＝﹣，
由于0≤α＜π，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的倾斜角和斜率的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．（5分）椭圆的一个焦点坐标为，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．
【解答】解：因为椭圆的一个焦点坐标为，
所以，解得p＝8．
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
3．（5分）已知等比数列{an}满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，则a5+a7+a9＝（　　）
A．21 B．42 C．63 D．84
【分析】首先利用关系式的变换求出公比，进一步求出结果．
【解答】解：设公比为q的等比数列，满足a1＝3，a1+a3+a5＝21，
所以3+3q2+3q4＝21，整理得q4+q2＝6，
解得q2＝2或﹣3（负值舍去），
故＝84．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的通项公式的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
4．（5分）抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点（﹣5，2）在抛物线上，则抛物线的方程为（　　）
A．y2＝﹣2x B．y2＝﹣4x
C．y2＝2x D．y2＝﹣4x或y2＝﹣36x
【分析】根据题意，设要求抛物线的方程为y2＝mx，将点（﹣5，2）代入方程，计算可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
设其方程为y2＝mx，
又由抛物线经过点（﹣5，2），则有（2）2＝m×（﹣5），解可得m＝﹣4，
则抛物线的方程为y2＝﹣4x；
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意分析抛物线的开口方向，基础题．
5．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，有下列四个等式，甲：a1＝1；乙：S3＝9；丙：S6＝36；丁：a4＝6．如果只有一个等式不成立，则该等式为（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式分别进行检验各情况即可判断．
【解答】解：甲：a1＝1①；
乙：由S3＝3a1+3d＝9，得a1+d＝3②；
丙：由S6＝6a1+15d＝36，得2a1+5d＝12③；
丁：由a4＝a1+3d＝6④；
若甲不成立，联立②③④此时无解；
若乙不成立，联立①③④此时无解；
若丙不成立，联立①②④此时无解；
若丁不成立，联立②③④得a1＝1，d＝2，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．
6．（5分）已知公差不为0的等差数列{an}中，a1＝4，且a1，a7，a10成等比数列，则其前n项和Sn取得最大值时，n的值为（　　）
A．12 B．13 C．12或13 D．13或14
【分析】设{an}的公差为d，利用通项公式表达出a7，a9，因为a1，a7，a10成等比数列，利用等比中项可求出公差d的取值，进而可求出前n项和Sn的表达式，结合二次函数的图象与性质即可判断．
【解答】解：因为{an}是公差不为0的等差数列，a1＝4，
所以设{an}的公差为d，则an＝4+（n﹣1）d，
所以a7＝4+（7﹣1）d＝6d+4，a10＝4+（10﹣1）d＝9d+4，
又a1，a7，a10成等比数列，所以有，即（6d+4）2＝4（9d+4），
解得d＝0（舍）或，
所以前n项和＝＝（n∈N*），
所以当n＝12或13时，Sn取得最大值，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中有（　　）个奇数
A．1012 B．1346 C．1348 D．1350
【分析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，可得：每三个数中有有一个偶数，即可得出结论．
【解答】解：从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，
可得：每三个数中有一个偶数（并且是最后一个）二个奇数，又2022＝674×3，可得：有×2022＝1348．
故选：C．
【点评】本题主要考查归纳定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是 （　　）
A． B．2 C．3 D．3
【分析】作出图象，由图象可得当PC与直线垂直时S取最小值，结合点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：如图，设PC＝d，
则由圆的知识和勾股定理可得PB＝PA＝，
∴四边形PACB面积S＝2××PA×BC＝，
当d取最小值时S取最小值，
由点P在直线上运动可知当PC与直线垂直时d取最小值，
此时d恰为点C到已知直线的距离，
由点到直线的距离公式可得d＝，
∴四边形PACB面积S的最小值为2．
故选：A．

【点评】本题考查圆的切线问题，涉及函数的最值，转化为点到直线的距离是解决问题的关键，属中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知数列{an}是等比数列，下列结论正确的有（　　）
A．若a2021＞0，则a1a2＞0
B．若a1a2＞0，则a2a3＞0
C．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2
D．若a1a2＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＜0
【分析】直接利用等比数列的通项公式和等比数列的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：数列{an}是等比数列，设首项为a1，公比为q，
则对于A：当，所以a1＞0，q 的符号不确定，故不一定为正数，故A错误；
对于B：由于，所以q＞0，故，故B正确；
对于C：若a2＞a1＞0，所以q＞1，则；2a2＝2a1q，由于1+q2＞2q，故a1+a3＞2a2，成立，故C正确；
对于D：若a1a2＜0，则，故q＜0则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＝，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识要点：等比数列的性质，等比数列的通项公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：mx+x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（　　）
A．直线l恒过定点（﹣1，1）
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1
C．直线l与圆C有一个交点
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
【分析】对于A，将直线l变形，即可求得定点，对于B，结合点到直线的距离公式，即可求解，对于C，判断定点在圆内，即可求解，对于D，结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．
【解答】解：对于A，∵直线l：mx+x+2y﹣1+m＝0（m∈R），
∴m（x+1）+x+2y﹣1＝0，令，解得，
故直线l恒过定点A（﹣1，1），故A正确，
对于B，当m＝0时，
直线l：x+2y﹣1＝0，
则圆心C（﹣2，0）到直线l的距离d＝，故B错误，
对于C，∵＝2，
∴定点A（﹣1，1）在圆内，
故直线l与圆C相交，有两个交点，故C错误，
对于D，∵圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0，
∴（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a，
∵圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，
∴＝，解得a＝8，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图为陕西博物馆收藏的国宝一一唐金筀宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作的典范．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与直线x＝0，y＝4，y＝﹣2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线C与坐标轴交于D，E，则（　　）

A．双曲线C的方程为
B．双曲线与双曲线C共渐近线
C．存在一点，使过该点的任意直线与双曲线C有两个交点
D．存在无数个点，使它与D，E两点的连线的斜率之积为3
【分析】由题意可得双曲线在x轴上，且可得过两点的坐标，设双曲线的方程，将两点的坐标代入可得参数的值，求出双曲线的方程，判断出A正确；再求出该双曲线的渐近线的方程，求出双曲线的渐近线的方程可得两个双曲线的方程的渐近线方程相同，判断B正确；过一点斜率与渐近线的斜率相等时与双曲线只有一个交点，判断出C 不正确；设双曲线上的点的坐标，求出直线PD，PE的斜率之积为定值3，则存在无数多个点满足条件，判断出D正确．
【解答】解：由题意上口外直径为，下底外直径为，可得焦点在x轴上，设双曲线mx2+ny2＝1，mn＜0，
因为双曲线过点（，4），（，﹣2），
将这两个点的坐标代入双曲线的方程可得：，解得m＝，n＝﹣，
所以该双曲线的方程为：﹣＝1；所以A正确；
该双曲线的渐近线的方程为：y＝±x，而﹣x2＝1的渐近线的方程为y＝±x，所以B正确；
C中，当过这个点的直线的斜率与渐近线的方程平行时，则直线与双曲线只有一个交点，所以C不正确；
D中，由双曲线的方程可得与坐标轴的交点为（±，0），即D，E的坐标分别为（﹣，0），（，0），
设双曲线上的点为P（x，y），则﹣＝1，可得y2＝9（）＝3（x2﹣3），所以kPD•kPE＝•＝＝＝3，
所以双曲线上除了D，E以外，任意一点与D，E的斜率之积都为3，所以D正确；
故选：ABD．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法及性质的应用，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1，n∈N*，则（　　）
A．是等比数列 B．
C．{an}是递增数列 D．
【分析】把已知的递推关系式变形整理即可判断A，进而求出通项公式判断B，C，再对通项公式进行放缩，即可判断D．
【解答】解：∵数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1，n∈N*，
∴an+1+＝3（an+），
又a1+＝，
∴数列{an+}是以为首项，3为公比的等比数列，
∴an+＝×3n﹣1⇒an＝，故A，C对，B错，
∵当n≥1时，3n﹣1≥2•3n﹣1，
∴＝≤＝，
∴+......+≤1+++......+＝＝（1﹣），故D对，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用以及等比数列的证明，属于中档题目．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程是 　2x﹣y﹣3＝0　．
【分析】设过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程为：2x﹣y+c＝0，把P（2，1）代入，能求出结果．
【解答】解：设过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程为：
2x﹣y+c＝0，
把P（2，1）代入，得：4﹣1+c＝0，
解得c＝﹣3．
∴过点P（2，1）与直线2x﹣y+1＝0平行的直线的方程为2x﹣y﹣3＝0．
故答案为：2x﹣y﹣3＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（5分）写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝　•3n﹣1（答案不唯一）　．
【分析】根据等比数列的通项公式即可求出．
【解答】解：根据题意可得等比数列an＝•3n﹣1（答案不唯一）．
故答案为：•3n﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
15．（5分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的右顶点为P，右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C2的顶点与C1的中心O重合．若C1与C2相交于点A，B，且四边形OAPB为菱形，则C1的离心率为　　．
【分析】由题意设抛物线的方程，可得抛物线的p与c的关系，由菱形可得AB，OP互相垂直平分，可得A的横坐标与P的坐标关系，代入抛物线中可得A的纵坐标，将A的坐标代入椭圆的方程可得a，c的关系，求出椭圆的离心率的值．
【解答】解由题意设抛物线的方程为y2＝2px，焦点F坐标（，0），
由题意可得＝c，
由四边形OAPB为菱形可得AB与OP互相垂直平分，设A在x轴上方，
所以可得A（，），即（，），
代入椭圆的方程为：+＝1，而b2＝a2﹣c2，
整理可得：3e2+8e﹣3＝0，解得e＝，
故答案为：．

【点评】本题考查抛物线与椭圆的综合，及菱形的性质，属于中档题．
16．（5分）作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为a1，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为an，则a6＝　　，现有1个半径为a1的圆，2个半径为a2的圆，…，n﹣1个半径为an﹣1的圆，n个半径为an的圆，则所有这些圆的面积之和为 　（4﹣）　．
【分析】根据内切圆的性质可得an+1＝an，即可求出an＝（）n﹣1，根据错位相减法可求第二空的结果．
【解答】解：（1）用an表示第n个内切圆的半径，则an+1为第n+1个内切圆的半径，如图，an+1＝an，
∴{an}是公比为的等比数列，
∵a1＝×6×＝，
∴an＝（）n﹣1，所以a6＝（）6﹣1＝，
每个内切圆的面积为πan2＝π，
所以所有这些圆的面积之和S＝1×3π+2×π+⋯⋯+n×π，
S＝1×π+2×π+⋯⋯+（n﹣1）×π+n×π，
所以S＝1×3π+1×π+⋯⋯+1×π﹣n×π，
所以S＝（4﹣），
故答案为：；（4﹣）．

【点评】本题考查了等比数列的定义，通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）有三个条件：①数列{an}的任意相邻两项均不相等，a1＝2，且数列{an2﹣an}为常数列，②Sn＝），③a1＝2，a3＝2，Sn+1＝Sn﹣1+1（n≥2，n∈N*）中，从中任选一个，补充在下面横线上，并回答问题．
已知数列{an}的前n项和为Sn，_____，求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn．
【分析】选①：由题意，，所以an＝2或an＝﹣1，又因为数列{an}的任意相邻两项均不相等，且a1＝2，所以数列{an}为2、﹣1，2，﹣1，2，﹣1⋯⋯，即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），构造等比数列 即可求解；
选②：由，两式相减可得an＝﹣an﹣1+1（n≥2），以下过程与①相同；
选③：由，可得，又a3＝2，n＝2时，a3+a2＝1，所以a2＝﹣1，因为a1＝2，所以a2+a1＝1也满足上式，所以，即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），以下过程与①相同．
然后由分组求和法可得前n项和Sn．
【解答】解：选①：因为a1＝2，数列为常数列，
所以，
解得an＝2或an＝﹣1，
又因为数列{an}的任意相邻两项均不相等，且a1＝2，
所以数列{an}为2，﹣1，2，﹣1，2，﹣1……，
所以，
即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），
所以，
又，
所以是以为首项，公比为﹣1的等比数列，
所以，
即；
选②：因为，
所以两式相减可得，
即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），
所以，
又，
所以是以为首项，公比为﹣1的等比数列，
所以，
即；
选③：由，
可得，
又a3＝2，n＝2时，a3+a2＝1，所以a2＝﹣1，
因为a1＝2，所以a2+a1＝1也满足上式，
所以，
即an＝﹣an﹣1+1（n≥2），
所以，
又，
所以是以为首项，公比为﹣1的等比数列，
所以，
即；
所以 ．
【点评】本题考查了数列的递推式以及数列的求和，属于中档题．
18．（12分）在一次重大军事联合演习中，以点E为中心的5海里以内海域被设为警戒区域，任何船只不得经过该区域．已知点E正北方向海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东30°，且与点A相距100海里的位置B，经过4小时又测得该船已行驶到位于点A北偏东60°，且与点A相距海里的位置C．
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）该船能否不改变方向继续直线航行？请说明理由．
【分析】（1）以点A为原点，正东方向为x轴正半轴建系如图，得出点B，C的坐标，再利用两点距离公式得BC，从而求得船行驶的速度；
（2）求出BC所在直线方程，比较圆心E到直线BC的距离与5的大小即可．
【解答】解：（1）以A为坐标原点，A的正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立平面直角坐标系，以1海里为1个单位长度，
由|AB|＝100，则B（50，50），|AC|＝20，则C（30，10），
由两点间的距离公式可得|BC|＝＝20，
该船的行驶速度为20÷4＝5，
（2）该船要改变方向，否则会进入演习区域．
理由：直线BC的斜率为＝2，
所以直线BC的方程为y﹣10＝2（x﹣30），即2x﹣y﹣50＝0，
点E（0，﹣40）到直线2x﹣y﹣50＝0的距离d＝＝＝＜5，
故该船要改变方向，否则会进入演习区域．
答：该船行驶的速度为5海里/小时，若该船不改变航行方向则会进入演习水域．

【点评】本题考查已三角函数模型的应用，选择正确的坐标系是解题的关键，考查计算能力．
19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为﹣．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若直线y＝）与椭圆C相交于A，B两点，|AB|＝，求椭圆C的标准方程．
【分析】（1）由题意确定a，b，c的比例关系即可确定椭圆的离心率；
（2）联立直线方程与椭圆方程，结合弦长公式求得a的值即可确定椭圆方程．
【解答】解：（1）由题意，椭圆上顶点的坐标为（0，b），左右顶点的坐标分别为（﹣a，0），（a，0），
∴，即a2＝4b2，则a＝2b．
又a2＝b2+c2，∴，
所以椭圆的离心率．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得2x2+2x+1﹣4b2＝0，
∴，
∴，
解得，∴b2＝1，满足Δ＞0，∴a2＝4，∴椭圆C的方程为．
【点评】本题主要考查椭圆离心率的求解，椭圆方程的求解，椭圆的弦长公式等知识，属于中等题．
20．（12分）已知数列{an}，a1＝1，an+1≠0，且anan+1+1＝μ（a1+a2+⋯+an），其中μ为常数．
（1）证明：an+2﹣an＝μ；
（2）是否存在μ，使得{an}为等差数列？并说明理由．
【分析】（1）由anan+1+1＝μ（a1+a2+⋯+an），其中μ为常数，可得an+1an+2+1＝μ（a1+a2+⋯+an+an+1），相减化简即可证明结论．
（2）由（1）可得：公差d＝，由anan+1＝μSn﹣1，令n＝1，解得μ能求出结果．
【解答】解：（1）证明：∵anan+1+1＝μ（a1+a2+⋯+an），其中μ为常数，
∴an+1an+2+1＝μ（a1+a2+⋯+an+an+1），
相减可得：an+1an+2﹣anan+1＝μan+1，an+1≠0，
∴an+2﹣an＝μ；
（2）若{an}为等差数列，由（1）可得：公差d＝．
由anan+1+1＝μ（a1+a2+⋯+an），其中μ为常数，
令n＝1，则1×a2＝μ×1﹣1，∴1+＝μ﹣1，解得μ＝4．
∴存在μ＝4，使得{an}为等差数列．
【点评】本题考查数列的前的证明，考查等差数列的判断与求法，考查等差数列等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）设点，动圆P经过点F且和直线相切，记动圆的圆心P的轨迹为曲线W．
（1）求曲线W的方程；
（2）直线x＝my+3与曲线W交于A、B两点，其中O为坐标原点，已知点T的坐标为（﹣3，0），记直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，则+﹣2m2是否为定值，若是求出，不是说明理由．
【分析】（1）由抛物线定义，得P点轨迹W是以F为焦点以x＝﹣为准线的抛物线，由此能求出曲线W的方程．
（2）由直线l的方程为x＝my+3，联立，得y2﹣my﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由T（﹣3，0），直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，得k1＝，k2＝，进一步证明+﹣2m2为定值．
【解答】解：（1）设动圆圆心P（x，y），
由抛物线定义，得P点轨迹W是以F为焦点以x＝﹣为准线的抛物线，
设其方程为y2＝2px，（p＞0），由＝，解得p＝，
∴曲线W的方程为y2＝x．
（2）由直线l的方程为x＝my+3，
联立，得y2﹣my﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则由韦达定理，得y1+y2＝m，y1y2＝﹣3；
由T（﹣3，0），直线TA，TB的斜率分别为k1，k2，得k1＝，k2＝，
∴+﹣2m2＝+﹣2m2，＝+﹣2m2，
＝y12+y22++12﹣2m2，＝m2+6++12﹣2m2，
＝2m2+24﹣2m2＝24，为定值．
故+﹣2m2为定值24．得证．
【点评】本题考查曲线方程的求法，考查定值问题的证明，解题时要注意韦达定理的运用，注意函数与方程思想的合理运用，属于中档题．
22．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点N（4，0），且∠ONP＝∠ONQ，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．
【分析】（1）由M满足的条件及左、右焦点的坐标可得M在双曲线的左支上，且可知a，c的值，进而求出b的值，求出M的轨迹方程；
（2）由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程，设P，B的坐标，可得Q的坐标，与双曲线的方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线QB的方程，点N在直线BQ上，将点N的坐标代入，可得P，B的坐标的关系，将两根之和及两根之积代入可得参数的关系，进而求出直线PB恒过定点．
【解答】解：（1）动点M满足|MF2|﹣|MF1|＝2＜|F1F2|，
所以动点M的轨迹为双曲线的左支，且2a＝2，c＝，
所以可得a＝1，b2＝c2﹣a2＝10﹣1＝9，
所以双曲线的方程为：x2﹣＝1（x≤﹣1）；
（2）证明：由题意可得P，Q关于x轴对称，设直线PB的方程为：y＝kx+t，设P（x1，y1），B（x2，y2），则Q（x1，﹣y1），
联立，整理可得：（9﹣k2）x2﹣2ktx﹣t2﹣9＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，
则直线BQ的方程为：y＝（x﹣x2）+y2，因为直线过N（4，0）点，
所以0＝（4﹣x2）+y2，整理可得：（x2﹣4）（y2+y1）＝y2（x2﹣x1），即2kx1x2+（t﹣4k）（x1+x2）﹣8t＝0，
所以+﹣8t＝0，整理可得：﹣2kt2﹣18k+2kt2﹣8k2t﹣72t+8tk2＝0，
即k＝﹣4t，
所以直线PB的方程为：y＝﹣4tx+t＝﹣4t（x﹣），
可证得：直线PB恒过定点（，0）
【点评】本题考查轨迹方程的求法及直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
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