2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高一（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，+∞）
2．（5分）已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（5分）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣1，2] B．[﹣1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）
6．（5分）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
7．（5分）已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
8．（5分）在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．（5分）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
10．（5分）已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
11．（5分）设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：
①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；
②f（x）在单调递增；
③ω的取值范围是
其中，所有正确结论的编号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x0）＞0，则实数m的值可能是（　　）
A．x0﹣2 B． C． D．x0+3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　 　．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为　 　．
15．（5分）已知函数在上是增函数，则ω的最大值是　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．

18．（12分）已知函数f（x）＝sinωxcosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
19．（12分）（1）求4cos50°﹣tan40°的值；
（2）已知，求的值．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最小值．
21．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程有解，求实数m的范围．
22．（12分）用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；
（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．

2019-2020学年湖北省武汉市武昌区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，1） C．（﹣2，+∞） D．（﹣1，+∞）
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，
∴A∩B＝（﹣1，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．
【解答】解：∵角α的终边经过点（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，
则cosα＝＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3．（5分）下列函数在（0，2）上是增函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据常见函数的单调性的性质分别判断即可．
【解答】解：对于A，函数y＝2﹣x递减，故y＝在（0，2）递减，不合题意；
对于B，函数y＝x﹣2递增，故函数y＝在（0，2）递减，不合题意；
对于C，函数y＝x﹣2递增，故y＝在（0，2）递减，不合题意；
对于D，函数y＝2﹣x递减，故函数y＝（2﹣x）在（0，2）递增，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了常见函数的单调性的性质，考查复合函数的单调性问题，是一道基础题．
4．（5分）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．
【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，
停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．
能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与指数函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）函数的定义域为（　　）
A．（﹣1，2] B．[﹣1，2） C．（﹣1，2） D．[﹣1，2）
【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得﹣1＜x＜2．
∴函数的定义域为（﹣1，2）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
6．（5分）若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】法1：利用诱导公式化sin2α＝cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法2：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1：∵cos（﹣α）＝，
∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，
法2：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，
∴（1+sin2α）＝，
∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．
7．（5分）已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：a＝log0.10.2∈（0，1），b＝log1.10.2＜0，c＝1.10.2＞1，
则a，b，c的大小关系为：c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据对数函数的指数函数的单调性分别进行讨论即可．
【解答】解：在对数中a＞0且a≠1，
对数函数的定义域为（，+∞），则②④不正确，
①中，对数函数为减函数，则0＜a＜1，此时函数y＝为增函数，故①正确，
③中，对数函数为增函数，则a＞1，此时函数y＝为减函数，故③正确，
故正确的有两个，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．
9．（5分）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：知函数＝，把图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）＝的图象，
由于x，
所以．
故．
所以函数的最小值为﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
10．（5分）已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
【分析】本题运用均值不等式和对数函数的性质分别得到m、n的取值范围，即可判断m，n之间的大小关系．
【解答】解：由题意，可知
m＝a++1≥2+1＝3，
当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立；
又x＞，根据对数函数性质，可得
n＝＜＝3，
∴m≥3＞n，即m＞n．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的值域，考查了均值不等式和对数函数的性质的应用．本题属基础题．
11．（5分）设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：
①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；
②f（x）在单调递增；
③ω的取值范围是
其中，所有正确结论的编号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】先通过f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，来确定a的取值范围，再由此判断其他问题的正误．
【解答】解：当x∈[0，2π]时，，
∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴即，所以③正确；
①当＜6π即时，函数y＝f（x）+1在（0，2π）上有3个零点，即①错误；
②当x∈时，，
若f（x）在单调递增，则即，
∵，∴符合题意，即②正确；
所以正确的有②③，
故选：C．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质，尤其是正弦函数的零点问题，还有三角函数的平移变换，解题的突破口是通过题干已知的零点个数来确定a的取值范围，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f（x0）＞0，则实数m的值可能是（　　）
A．x0﹣2 B． C． D．x0+3
【分析】由题意可得a＜b＜c，则a＜0，c＞0，依题意可得：﹣＜＜1，然后结合根的对称性分析得答案．
【解答】解：∵﹣1是函数f（x）＝ax2﹣bx+c的一个零点，
∴a+b+c＝0，
∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，
∵﹣1×m＝＜0，∴m＞0．
由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，
由①②得：﹣＜＜1．
函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜．
∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），
另一零点为m＞0，∴m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），
因为f（x0）＞0，所以x0∈（﹣1，m），
故0＜m﹣x0＜（2d）min，
∴x0＜m+x0，
综合四个选项，实数m的值可能是+x0．
故选：C．
【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查等价转化思想及分类讨论的数学思想，特别考查逻辑思维能力，是难题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　（﹣∞，2]　．
【分析】直接利用A⊆B即可求解．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，且A⊆B，
∴a≤2，
∴实数a的取值范围是：（﹣∞，2]，
故答案为：（﹣∞，2]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
14．（5分）函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为　4　．
【分析】化简函数为cosx的二次函数，根据cosx的范围求得f（x）的最大值．
【解答】解：∵f（x）＝3sin（x+）+cos2x
＝3cosx+2cos2x﹣1
＝2（cosx+）2﹣，
∵cosx∈[﹣1，1]，
∴在cosx＝1时，f（x）取得最大值为2×（1+）2﹣＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查三角函数恒等变换，二次函数最值问题，考查了函数思想，属于基础题．
15．（5分）已知函数在上是增函数，则ω的最大值是　2　．
【分析】结合正弦函数的性质先求出函数的单调递增区间，然后结合已知区间递增可建立不等式可求．
【解答】解：由ωx+可得，，
故函数的单调递增区间为（﹣，），
又f（x）在（0，）上单调递增，
故，
解可得，0＜ω≤2即ω的最大值为2．
故答案为：2
【点评】本题主要考查了正弦函数单调性的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．
16．（5分）已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是　（﹣∞，﹣1]　．
【分析】讨论当m≥0时，不等式显然不成立；当m＝﹣1时，恒成立；当m＜﹣1时，去绝对值，由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得恒成立；当﹣1＜m＜0时，不等式不恒成立．
【解答】解：由f（m+x）+mf（x）＜0得
（x+m）|x+m|+mx2＜0，x≥1，
当m≥0时，即有（x+m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．
当m＝﹣1时，即有（x﹣1）2﹣x2＝1﹣2x＜﹣1＜0恒成立；
当m＜﹣1时，﹣m＞1，当x≥﹣m＞1，
即有（x+m）2+mx2＝（1+m）x2+2mx+m2，
由1+m＜0，对称轴为x＝﹣＜1，则区间[﹣m，+∞）为减区间，
即有（1+m）x2+2mx+m2≤m3＜0恒成立；
当﹣1＜m＜0时，由x+m＞0，可得（x+m）2+mx2＜0不恒成立．
综上可得当m≤﹣1时，对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及转化思想，考查二次函数的图形和性质，去绝对值是解题的关键，属于难题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．

【分析】（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．函数M（x）的图象图2．
（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，解得x，即可得出．
【解答】解：（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）


图1 函数f（x），g（x）的图象 图2 函数M（x）的图象
（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，得x（x+1）＝0，解得x＝﹣1，或x＝0．
结合图2，得出函数M（x）＝．
【点评】本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知函数f（x）＝sinωxcosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
【分析】（1）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；
（2）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解函数的最值．
【解答】解：（1），
因为，所以ω＝1．（4分）
（2）由（1）知．
因为﹣π≤x≤0，所以．
当，即时，f（x）取得最小值．
所以f（x）的最小值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题．
19．（12分）（1）求4cos50°﹣tan40°的值；
（2）已知，求的值．
【分析】（1）利用同角基本关系及二倍角及和差角公式进行化简即可求；
（2）先由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．
【解答】解：（1）
＝，
＝．
（2）因为，所以tanα＝2或．
因为，
所以，分子分母同除以cos2α，得，
将tanα＝2或分别代入上式，得．
【点评】本题综合考查了同角基的本关系及二倍角公式，和差角公式综合应用，属于中档试题．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（x）的最小值．
【分析】本题第（1）题根据﹣x2+2x+3≥0即可解得函数f（x）的定义域；第（2）题对f（x）进行变形后运用三角换元法令，将一般函数转化为三角函数求最值问题．
【解答】解：（1）依题意，由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3．
故函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．
（2）由题意，根据，可知（x﹣1）2≤4．
令，
则，
即．
∵，
∴，
∴，
∴，
故f（x）的最小值为﹣1．
【点评】本题主要考查函数的定义域和最值问题，考查了不等式的计算，三角换元法，三角函数的运算．考查了转化思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．
21．（12分）已知函数为偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程有解，求实数m的范围．
【分析】（1）根据偶函数可知f（x）＝f（﹣x），取x＝﹣1代入即可求出k的值；
（2）问题转化为22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，从而求出m的范围即可．
【解答】解：（1）由题意得f（﹣x）＝f（x），
即log4（4﹣x+1）+k（﹣x）＝log4（4x+1）+kx，
化简得log4＝2kx，
从而4（2k+1）x＝1，此式在x∈R上恒成立，
∴；
（2）由（1）若方程有解，
则log4（4x+1）＝log4（m﹣2x）有解，
故22x+2x+1﹣m＝0有解，
令t＝2x，则t＞0，
则t2+t+1﹣m＝0有解，
故＝m﹣有解，
而（t+）2＞，
故m﹣＞，解得：m＞1．
【点评】本题主要考查了偶函数的性质，考查转化思想以及分类讨论的思想，属于中档题．
22．（12分）用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．
（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；
（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．
【分析】（1）（i）根据函数f（x）的实际意义即可写出，（ii）由题意可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为，再利用作差法比较即可．
【解答】解：（1）（ⅰ）f（0）＝1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1，
，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的；
（ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；
（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，
如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，
然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为．
由于，所以，W1﹣W2的符号由a2﹣16决定，
当a＞4时，W1＞W2．此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；
当a＝4时，W1＝W2．此时，两种清洗方法效果相同；
当a＜4时，W1＜W2．此时，用a单位的水清洗一次，残留的农药量较少．
【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题．
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