2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上）
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁UB）＝（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．（2，4） D．[2，4）
2．（5分）已知函数f（x）的图像是连续的，根据如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
23
9
﹣7
11
﹣5
﹣12
﹣26
函数在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（5分）下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是（　　）
A．y＝tan2x B．
C．y＝|sinx| D．
4．（5分）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
5．（5分）已知函数，，则函数y＝f（x）的值域为（　　）
A．[1，3] B．[1，3） C．[2，3] D．[2，3）
6．（5分）素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n﹣1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是M＝282589933﹣1，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为P＝231﹣1，第9个梅森素数为Q＝261﹣1，则约等于（　　）（参考数据：lg2≈0.3）
A．107 B．108 C．109 D．1010
7．（5分）设p：关于x的方程4x﹣2x+1﹣a＝0有解；q：函数f（x）＝log2（x+a﹣1）在区间（0，+∞）上恒为正值，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（5分）已知函数f（x）＝，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c﹣2π的取值范围是（　　）
A．（0，2021） B．（0，2022） C．（1，2022） D．[0，2022]
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）下列运算中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（5分）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B．当x＞1时，的最小值是5
C．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
D．“a＞1”是“”的充要条件
（多选）11．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．在△ABC中，cos（A+B）＝cosC
B．若角α是第三象限角，则可能在第三象限
C．若tanθ＝2，则
D．锐角α终边上一点坐标为P（﹣cos2，sin2），则α＝π﹣2
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（　　）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 　 　平方步．
14．（5分）若函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数a的取值范围是 　 　．
15．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+π）＝f（x），当时，f（x）＝2sinx，则＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝lg（ax﹣3）的图象经过定点（2，0），若k为正整数，那么使得不等式2f（x）＞lg（kx2）在区间[3，4]上有解的k的最大值是 　 　．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，集合A＝{x|1﹣a＜x≤3a+1}．
（1）求m的值；
（2）当时，f（x）的值域为集合B，若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．
19．（12分）已知函数，g（x）＝|x﹣2|．
（1）求方程f（x）＝g（x）的解集；
（2）定义：．已知定义在[0，+∞）上的函数h（x）＝max{f（x），g（x）}，求函数h（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数h（x）的简图，并根据图象写出函数h（x）的单调区间和最小值．

20．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x的值．
21．（12分）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
22．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝2log2（1﹣x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式及定义域；
（2）如果函数F（x）＝2g（x），若函数y＝F（|2x﹣1|）﹣3k•|2x﹣1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．

2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上）
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|0＜x＜2}，则集合A∩（∁UB）＝（　　）
A．（1，2） B．（1，2] C．（2，4） D．[2，4）
【分析】先求集合B的补集，再求交集即可．
【解答】解：∵U＝R，B＝{x|0＜x＜2}，
∴∁UB＝{x|x≤0或x≥2}，
又∵A＝{x|1＜x＜4}，
∴A∩（∁UB）＝[2，4），
故选：D．
【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知函数f（x）的图像是连续的，根据如下对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f（x）
23
9
﹣7
11
﹣5
﹣12
﹣26
函数在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】利用零点存在性定理即可求解．
【解答】解：函数f（x）的图像是连续的，f（2）f（3）＝﹣63＜0；
f（3）f（4）＝﹣77＜0，
f（4）f（5）＝﹣55＜0，
所以f（x）在（2，3）、（3，4），（3，4）之间一定有零点，
即函数在区间[1，6]上的零点至少有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了零点判定定理，属于基础题．
3．（5分）下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是（　　）
A．y＝tan2x B．
C．y＝|sinx| D．
【分析】结合三角函数的诱导公式，判断三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．
【解答】解：由于y＝tan2x为奇函数，周期为，故排除A；
由于＝cos2x，是偶函数，故排除B；
由于y＝|sinx|是偶函数，所以排除C；
由于＝﹣sin2x是奇函数，周期为π，故D正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
4．（5分）设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可求出．
【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，
则b＞a＞1，
log0.70.8＜log0.70.7＝1，
∴c＜a＜b，
故选：D．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题．
5．（5分）已知函数，，则函数y＝f（x）的值域为（　　）
A．[1，3] B．[1，3） C．[2，3] D．[2，3）
【分析】根据正切函数的单调性可得出，然后根据对数函数的单调性即可求出f（x）的值域．
【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴1≤f（x）＜3，
∴f（x）的值域为[1，3）．
故选：B．
【点评】本题考查了正切函数和对数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）素数也叫质数，部分素数可写成“2n﹣1”的形式（n是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n﹣1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是M＝282589933﹣1，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为P＝231﹣1，第9个梅森素数为Q＝261﹣1，则约等于（　　）（参考数据：lg2≈0.3）
A．107 B．108 C．109 D．1010
【分析】由的值约等于≈230，令230＝k，化指数式为对数式求解．
【解答】解：因为P，Q两数远远大于1，所以的值约等于，设，
则230＝k，即lg230＝lgk，
因此有30lg2＝lgk，以lgk≈9，即k≈109．
故选：C．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题．
7．（5分）设p：关于x的方程4x﹣2x+1﹣a＝0有解；q：函数f（x）＝log2（x+a﹣1）在区间（0，+∞）上恒为正值，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，分析命题p、q为真时a的取值范围，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，对于p，方程4x﹣2x+1﹣a＝0，设t＝2x，（t＞0），则t2﹣2t﹣a＝0，
变形可得：a＝t2﹣2t＝（t﹣1）2﹣1，（t＞0），
若关于x的方程4x﹣2x+1﹣a＝0有解，必有a≥﹣1，即a的取值范围为[﹣1，+∞）；
对于q，函数f（x）＝log2（x+a﹣1）在区间（0，+∞）上恒为正值，则有x+a﹣1＞1在区间（0，+∞）上恒成立，
必有x＞2﹣a在（0，+∞）上恒成立，必有a≥2，即a的取值范围为[2，+∞）；
又由[2，+∞）是[﹣1，+∞）真子集；
故p是q的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及充分必要的定义和判断，属于基础题．
8．（5分）已知函数f（x）＝，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则a+b+c﹣2π的取值范围是（　　）
A．（0，2021） B．（0，2022） C．（1，2022） D．[0，2022]
【分析】结合对称性求得a+b+c的取值范围，进而求解结论．
【解答】解：依题意函数f（x）＝，f（）＝sin＝1，y＝sinx（0≤x≤π）关于x＝对称．
不妨设0＜a＜b＜π＜c，
则a+b＝2×＝π，
由log2022（x﹣π+1）＝1可得x＝2021+π，
所以π＜c＜2021+π，
所以a+b+c∈（π+π，π+2021+π），
即a+b+c﹣2π∈（0，2021）．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的对称性、对数的计算，属于中档题．
二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
（多选）9．（5分）下列运算中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】通过对数运算性质可判断AD；通过幂指数运算可判断BC．
【解答】解：因为＝＝＝log58，所以A错；
因为（）＝[（）3]＝，所以B对；
因为＝π﹣3，所以C错；
因为+ln（lne）＝7+0＝7，所以D对．
故选：BD．
【点评】本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
（多选）10．（5分）在下列四个命题中，正确的是（　　）
A．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”
B．当x＞1时，的最小值是5
C．若不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+c＝2
D．“a＞1”是“”的充要条件
【分析】结合含有量词的命题的否定检验选项A，结合基本不等式检验选项B，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C，结合不等式的性质检验选项D．
【解答】解：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”为特称命题，否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0，A正确；
x＞1时，＝x﹣1++1+1＝5，当且仅当x﹣1＝，即x＝3时取等号，B正确；
由不等式ax2+2x+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}得ax2+2x+c＝0的解为x＝﹣1，x＝2，
所以，
所以a＝﹣2，c＝4，a+c＝2，C正确；
当a＝﹣1时，＜1，D显然错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了含有量词的命题的否定，基本不等式求解最值，二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，不等式的性质，属于中档题．
（多选）11．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．在△ABC中，cos（A+B）＝cosC
B．若角α是第三象限角，则可能在第三象限
C．若tanθ＝2，则
D．锐角α终边上一点坐标为P（﹣cos2，sin2），则α＝π﹣2
【分析】运用象限角知识，诱导公式，三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案．
【解答】解：对于A，∵在△ABC中，A+B+C＝π，可得：A+B＝π﹣C，∴cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC，故A错误；
对于B，若角α是第三象限角，即2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z，所以+＜＜+，k∈Z，
当k＝3n，n∈Z时，为第一象限角，
当k＝3n+1，n∈Z时，为第三象限角，
当k＝3n+2，n∈Z时，为第四象限角，所以可能在第三象限，故B正确；
对于C，若tanθ＝2，则原式＝＝＝＝，故C正确；
对于D，锐角α终边上一点坐标为P（﹣cos2，sin2），由三角函数的定义可得tanα＝＝﹣tan2＝tan（π﹣2），因为α是锐角α，则α＝π﹣2正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了象限角，诱导公式，三角函数的定义等知识，考查定义和运算能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；③f（﹣1）＝0．则下列选项成立的是（　　）
A．f（3）＞f（﹣4）
B．若f（m﹣1）＜f（2），则m∈（﹣∞，3）
C．若＞0，则x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）
D．∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M
【分析】利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．
【解答】解：定义在R上函数f（x）的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f（﹣x）＝f（x）；说明函数是偶函数；
②∀x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有＞0；说明函数在（0，+∞）是增函数；
③f（﹣1）＝0．
所以f（3）＜f（4）＝f（﹣4）成立，所以A不正确；
若f（m﹣1）＜f（2），可得|m﹣1|＜2，则m∈（﹣1，3），所以B不正确；
若y＝是奇函数，＞0，f（﹣1）＝0．可得x∈（﹣1，0）∪（1，+∞），所以C正确；
因为函数是连续函数，又是偶函数，在x＞0时是增函数，所以∀x∈R，∃M∈R，使得f（x）≥M，正确；
故选：CD．
【点评】本题考查函数的性质的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，是基本知识的考查．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为 　120　平方步．
【分析】利用扇形面积公式计算得出．
【解答】解：因为圆的直径为16步，
所以半径为8步，
因为弧长为30步，
所以扇形面积S＝lr＝，
故答案为：120．
【点评】本题考查了扇形面积公式，属于基础题．
14．（5分）若函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，则实数a的取值范围是 　[﹣，0]　．
【分析】根据题意，分a＝0与a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax2+2x﹣1在区间（﹣∞，6）上单调递增，
当a＝0时，f（x）＝2x﹣1，符合题意，
当a≠0时，f（x）为二次函数，其对称轴为x＝﹣，必有，
解可得﹣≤a＜0，即a的取值范围为[﹣，0]；
故答案为：[﹣，0]．
【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．
15．（5分）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+π）＝f（x），当时，f（x）＝2sinx，则＝　﹣　．
【分析】由题意可得f（x）的最小正周期为π，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和．
【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+π）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为π，
又当时，f（x）＝2sinx，
所以f（﹣π）+f（）＝f（4π﹣π）+f（2π+）＝f（﹣）+f（）＝﹣f（）+f（）＝﹣2sin+2sin＝﹣+．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝lg（ax﹣3）的图象经过定点（2，0），若k为正整数，那么使得不等式2f（x）＞lg（kx2）在区间[3，4]上有解的k的最大值是 　1　．
【分析】由f（2）＝0可得出a＝2，由已知不等式结合参变量分离法可得出k＜﹣+4，令t＝∈[]，求出函数g（t）＝9t2﹣12t+4在[]上的最大值，即可得出实数k的取值范围，即可得解．
【解答】解：由已知可得f（2）＝lg（2a﹣3）＝0，则2a﹣3＝1，解得a＝2，故f（x）＝lg（2x﹣3），由2f（x）＞lg（kx2）得lg（2x﹣3）2＞lg（kx2），
因为x∈[3，4]，则kx2＜4x2﹣12x+9，可得k＜﹣+4，
令t＝∈[]，g（t）＝9t2﹣12t+4，
则函数g（t）在[]上单调递减，
所以，g（t）max＝g（）＝，
∴k．
因此，正整数k的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的单调性及转化思想，属于基础题．
四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm的图象关于y轴对称，集合A＝{x|1﹣a＜x≤3a+1}．
（1）求m的值；
（2）当时，f（x）的值域为集合B，若x∈B是x∈A成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用幂函数的定义，函数的奇偶性，求得m的值．
（2）先求出B，再根据B⫋A，考查端点间点的大小关系，求出a的范围．
【解答】解：（1）由幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm，
可知m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，f（x）＝x的图象不关于y轴对称，舍去，
当m＝2时，f（x）＝x2的图象关于y轴对称，满足条件，
因此，m＝2．
（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的值域为，则集合，
由题意知B⫋A，得，解得a≥1，
所以a的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，集合间的包含关系，属于中档题．
18．（12分）已知函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．
【分析】（1）由奇函数f（x）在x＝0处有定义，可得f（0）＝0，解方程可得所求值；
（2）由单调性的定义和指数函数的单调性可判断f（x）的单调性．
【解答】解：（1）因为函数f（x）是奇函数，且f（x）的定义域为R，
所以，所以a＝﹣1．
经检验，a＝﹣1时f（x）＝为奇函数，满足题意．
（2）由（1）知，函数f（x）在定义域R上单调递增．
证明如下：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则．
因为x1＜x2，所以，所以，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在定义域R上单调递增．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19．（12分）已知函数，g（x）＝|x﹣2|．
（1）求方程f（x）＝g（x）的解集；
（2）定义：．已知定义在[0，+∞）上的函数h（x）＝max{f（x），g（x）}，求函数h（x）的解析式；
（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数h（x）的简图，并根据图象写出函数h（x）的单调区间和最小值．

【分析】（1）根据题意可得，平方即可求解．
（2）由题意比较与|x﹣2|的大小，从而可得出答案．
（3）由（2）得到的函数关系，作出函数图象，根据图象可得函数的单调区间和最小值．
【解答】解：（1）由，得x2﹣5x+4＝0，∴x1＝1，x2＝4；解集为{1，4}；
（2）由已知得；
（3）函数h（x）的图象如图实线所示：
函数h（x）的单调递减区间是[0，1]，
单调递增区间是（1，+∞），
其最小值为1．

【点评】本题考查了分类讨论思想及数形结合思想，属于基础题．
20．（12分）已知函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值及相应的x的值．
【分析】（1）利用余弦函数的周期求解最小正周期，结合余弦函数的单调性，求解f（x）的单调递增区间．
（2）当时，，然后根据余弦函数的图象与性质，求出f（x）最小值即可．
【解答】解：（1）∵，∴f（x）最小正周期．
令，
解得，
∴f（x）的单调递增区间是．
（2）当时，，
∴当，即时，函数取得最小值，
∴函数f（x）的最小值为，此时．
【点评】本题考查三角函数的周期的求法，函数的最值以及函数的单调区间的求法，是基础题．
21．（12分）上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利．已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N*．经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p（t）．
（1）求p（t）的表达式，并求在该时段内发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；
（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？
【分析】（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），再由p（2）＝560求得k，则p（t）可求，进一步求得p（6）得答案；
（2）由Q＝，可得Q＝，分段求最值得答案．
【解答】解：（1）由题意知p（t）＝，t∈N，（k为常数），
∵p（2）＝1200﹣k（10﹣2）2＝560，
∴k＝10，
∴p（t）＝＝，
∴p（6）＝1200﹣10（10﹣6）2＝1040；
（2）由Q＝，可得
Q＝，
当2≤t＜10时，Q＝6[140﹣10（）]≤6（140﹣10×12）＝120，
当且仅当t＝，t＝6时等号成立；
当10≤t≤20时，Q＝≤384﹣360＝24，当t＝10时等号成立，
∴当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
答：当发车时间间隔为t＝6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．
【点评】本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
22．（12分）已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝2log2（1﹣x）．
（1）求f（x）及g（x）的解析式及定义域；
（2）如果函数F（x）＝2g（x），若函数y＝F（|2x﹣1|）﹣3k•|2x﹣1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．
【分析】（1）由奇偶性的定义可得﹣f（x）+g（x）＝2log2（1+x），与f（x）+g（x）＝2log2（1﹣x）联立，即可求解f（x）．g（x）的解析式及定义域；
（2）设t＝|2x﹣1|∈[0，1），则y＝﹣t2﹣3kt+2k+1，t∈[0，1），当t∈（0，1）时，y＝t与y＝|2x﹣1|有两个交点，要使函数y＝F（|2X﹣1|）﹣3k•|2X﹣1|+2k有两个零点，即使得函数y＝﹣t2﹣3kt+2k+1，在t∈（0，1）有一个零点，即方程t2+3kt﹣2k﹣1＝0在（0，1）内只有一个实根，由此能求出实数k的取值范围．
【解答】（1）因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），∵f（x）+g（x）＝2log2（1﹣x），①
∴令x取﹣x代入上式得f（﹣x）+g（﹣x）＝2log2（1+x），
即﹣f（x）+g（x）＝2log2（1+x），②
联立①②可得，，
．
（2）F（x）＝1﹣x2，x∈（﹣1，1），﹣1＜|2x﹣1|＜1，x∈（﹣∞，1），
∴y＝1﹣|2x﹣1|2﹣3k⋅|2x﹣1|+2k，x∈（﹣∞，1）．
设t＝|2x﹣1|∈[0，1），∴y＝﹣t2﹣3kt+2k+1，t∈[0，1），
∵当t∈（0，1）时，y＝t与y＝|2x﹣1|有两个交点，
要使函数y＝F（|2x﹣1|）﹣3k⋅|2x﹣1|+2k有两个零点，
即使得函数y＝﹣t2﹣3kt+2k+1，在t∈（0，1）有一个零点（t＝0时x＝0，y只有一个零点），
即方程t2+3kt﹣2k﹣1＝0在（0，1）内只有一个实根，∵Δ＞0，
令u（t）＝t2+3kt﹣2k﹣1，则使u（0）⋅u（1）＜0即可，∴或k＞0．
∴k的取值范围．
【点评】本题考查函数的解析式、定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的奇偶性、换元法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．
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