2022-2023学年辽宁省辽东区域共同体高一上学期期中联考数学试题（含答案）

2022-2023学年辽宁省辽东区域共同体高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A．[2，3] B．（2，3]

C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解即可.

【详解】解：∵，，

∴或，

.

故选：D.

2．已知命题：“，都有”，则命题的否定是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，使得 D．，使得

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.

【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以C选项符合.

故选：C

3．函数的反函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求函数的值域，再根据反函数的性质求解即可.

【详解】解：∵，∴，

∴函数的值域为，

∵的定义域即函数的值域，

∴的定义域为．

故选：C

4．已知条件，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式，根据已知条件可得出集合间的包含关系，由此可得出实数的取值范围.

【详解】解不等式，可得，

因为是的充分不必要条件，则，故.

故选：A.

5．若恒成立，则函数的图像（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于原点对称

【答案】D

【分析】由题意易知，令，得，即为奇函数，进而可得结果.

【详解】因为，所以，

令，由已知，，

所以为奇函数，即函数的图象关于原点对称.

故选：D

6．若，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出，比较大小即可．

【详解】∵，，，∴，

故选：B．

7．函数的图象恒过定点，若在直线上，其中，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.

【详解】当时，，即

因为在直线上，所以

当且仅当时，取等号，即的最小值为

故选：A

8．定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设 ，由已知可得在区间上单调递减，原不等式等价于，所以解得.

【详解】 又，，有，

设 ，有，则，都有，所以在区间上单调递减，

，则当时，由，得 ， 即，

解得，故原不等式的解集为.

故选：D.

二、多选题

9．若函数在R上是减函数，则实数a可以为（    ）

A．2 B．1 C．0 D．－1

【答案】CD

【分析】根据复合函数的单调性列出不等式求解，即可得到结果.

【详解】由于底数，所以函数的单调性与的单调性相同，由于函数在R上是减函数，所以在R上是减函数，

所以，即

故选:CD.

10．下列说法正确的有（    ）

A．函数的零点是

B．方程有两个解

C．函数的图象关于y＝x对称

D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，，，则方程的根落在区间上

【答案】BCD

【分析】根据零点的定义进行判断A，利用数形结合进行判断B，根据同底数的指数函数和对数函数的图像关于对称进行判断C，利用函数的单调性及零点存在定理进行判断D.

【详解】对于A：令，解得：，所以函数的零点是和4，故A错误；

对于B：分别作出的图像，

由图象可知与有两个交点即方程有两个解，故B正确；

对于C：因为同底数的指数函数和对数函数的图像关于对称，所以函数，的图象关于对称，故C正确.

对于D：因为单调递增，由零点存在定理，因为，，，所以方程的根落在区间上，故D正确.

故选：BCD.

11．已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．在单调递增，在单调递减

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

【答案】BC

【分析】由题可得函数的定义域，化简函数，分析函数的单调性和对称性，从而判断选项.

【详解】函数的定义域满足 ，即，

即函数的定义域是，

∵，

设，则函数在单调递增，在单调递减，

又函数单调递增，

由复合函数单调性可知函数在单调递增，在单调递减，故A错误，B正确；

因为,,

所以，即函数图象关于直线对称，故C正确；

又，，

所以，所以D错误．

故选：BC．

12．已知函数，若有四个解，，，满足，则下列命题正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】作函数的图象，由图象可得，；从而逐项判断各选项即可得答案．

【详解】作函数的图象如下，

有四个解，即与的图象有4个交点，，

可得，可知选项正确；

图象可得，

则

，且，

令，根据函数单调性可得．

可知选项错误；

，且，得，可得，当且仅当时，取等号．

；

，可知选项正确；

从图象可知，不正确；

故选：AC．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是画出函数的图象，二是对数的运算，三是数形结合思想的运用.

三、填空题

13．的值为_______．

【答案】

【分析】根据对数运算法则可得答案.

【详解】因为，所以，

故答案为：.

14．不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】设,利用数形结合求出答案.

【详解】根据不等式，

设

当时，

当时，

根据图像数形结合可得的解集为，

故答案为：.

【点睛】不等式的题型，有时可以利用数形结合的思想来解决问题.

15．若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【分析】按照指数函数的单调性及端点处函数值的大小关系得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】由题知．

故答案为：.

16．己知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为______．

【答案】

【分析】根据函数为奇函数且为增函数得，则有，求出右边最小值即可.

【详解】的定义域为，

且

则为奇函数，由增函数加增函数为增函数可知

函数为增函数，

不等式对任意实数恒成立，

等价于，

可得，

即，因为

,

当且仅当即时,取等号，所以.

故答案为：.

四、解答题

17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：

已知集合，.

(1)当时，求A∪B；

(2)若___________，求实数a的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）求出集合、，利用并集的定义可求得集合；

（2）选①，分析得出，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围；

选②，分析得出，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；

选③，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

因此，

（2）选①，因为，可得.

当时，即当时，，合乎题意；

当时，即当时，，

由可得，解得，此时.

综上所述，实数的取值范围是或；

选②，由（1）可得或，因为，则.

当时，即当时，，合乎题意；

当时，即当时，，

由可得或，解得或，此时或.

综上所述，实数的取值范围是或；

选③，当时，即当时，，，满足题意；

当时，即当时，，

因为，则或，解得或，此时或.

综上所述，实数的取值范围是或.

18．解答下列问题：

(1)已知是一次函数，且满足，求的解析式；

(2)已知满足，求的解析式．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1) 设，代入已知条件得，列出不等式组求解即可；

(2) 用-代替，消去即可.

【详解】（1）解：设，

则，

所以，

解得，

所以；

（2）解：因为，①

用-代替，得，②

由①×3-②×2得，

所以.

19．已知函数.

(1)求函数的值域；

(2)求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由对数运算法则化简函数式后，把作为一个整体，结合二次函数性质可得值域；

（2）把作为一个整体，解一元二次不等式，然后再解对数不等式可得．

【详解】（1）

，，即时，取得最大值．

所以的值域为.

（2）根据题意得，

整理得，

即，

解得或，

所以或，

故不等式的解集为.

20．已知关于的不等式.

(1)若，求不等式的解集；

(2)若，求不等式的解集；

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）直接解一元二次不等式得解；

（2）对分五种情况讨论解答.

【详解】（1）解：当时，不等式为，即，

令，解得，或，

 所以不等式的解集为或.

（2）解：当时，不等式为，解集为.

当时，不等式为，

令，解得，或，

当时，不等式的解集为或.

当时，不等式的解集为.  

当时，不等式的解集为.  

当时，不等式的解集为.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为；  

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

21．设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.

(1)求的值；

(2)判断在区间内的单调性，并给出证明；

(3)解不等式.

【答案】(1)；

(2)增函数，理由见解析；

(3).

【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；

（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；

（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，

令，可得，所以，

令，可得，即，解得；

（2）函数为增函数，证明如下：

设且，

令，根据题意，可得，即，

又由时，，

因为，可得，即，即，

所以函数在上的单调递增；

（3）由题意和（1）可得：，

又由不等式，即，

可得，解得，

即不等式的解集为.

【点睛】关键点睛：令，构造大于1的实数是证明单调性的关键.

22．已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的解析式；

(2)判断的单调性并证明你的结论；

(3)若关于的不等式对上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)函数在上是单调递减函数，证明见解析；

(3)

【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案，再检验成立即可；

（2）根据复合函数单调性判断，利用单调性定义证明即可；

（3）根据题意将问题转化为对上恒成立，进而换元得对任意的恒成立，再求解即可.

【详解】（1）解：因为函数是奇函数，定义域为

所以关于原点对称，且，，

所以，且，

所以，

所以，所以，.

检验，满足奇函数定义

所以，

（2）解：函数在上是单调递减函数，证明如下.

证明：设，

则

因为，所以，，

所以，即，

所以，即函数在上是单调递减函数.

（3）解：由（2）知函数在在上是单调递减函数.

因为

所以关于的不等式对上恒成立等价于对上恒成立，

令，

所以对任意的恒成立，

令，，

所以对任意的恒成立

所以，即，解得

所以实数的取值范围是