2022-2023学年山西省高中教育发展联盟高一上学期11月期中检测数学试题（解析版）含答案

2022-2023学年山西省高中教育发展联盟高一上学期11月期中检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求函数的值域求得集合，从而求得.

【详解】，

，所以，

所以.

故选：C

2．命题“，使得”的否定是（    ）

A．，都有 B．，使得

C．，使得 D．，都有

【答案】A

【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

注意到要否定结论，而不是否定条件，所以A选项正确.

故选：A

3．下列各组函数中，表示同一函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】B

【分析】结合函数的定义求得正确答案.

【详解】A选项，的值域为,的值域为，所以不是同一函数.

B选项，，所以两个函数是同一函数，B选项正确.

C选项，中；中，所以不是同一函数.

D选项，中；

中或，所以不是同一函数.

故选：B

4．设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】对于A，利用不等式两边同乘一个负数，不等号改变的性质即可得证；对于BCD，举反例排除即可.

【详解】因为，

对于A，因为，所以，故A正确；

对于B，令，则，所以，故B错误；

对于C，令，则，所以，故C错误；

对于D，令，则，所以，故D错误.

故选：A.

5．若函数的定义域为，则实数m的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式的特点列出限定条件，求解可得答案.

【详解】因为的定义域为，所以恒成立，

当时，显然成立；

当时，有，解得；

综上可得实数m的取值范围为.

故选：C.

6．已知是定义在上的增函数，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用幂函数以及指数函数的单调性判断的大小关系，结合是定义在上的增函数，即可判断出答案.

【详解】因为函数为R上单调增函数，故，而，

由于是定义在上的增函数，故，

即.

故选：A.

7．下列函数最小值为4的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据基本不等式逐项计算与判断后可得正确的选项.

【详解】对于A，因为，所以，，当且仅当时等号成立，故A错误；

对于B，因为，，所以，

当且仅当，即取等号，所以函数最小值为4，故B正确；

对于C，，当且仅当时取等号，而无解，故等号不成立，函数最小值不是4，故C错误；

对于D，取，则，故D错误.

故选：B.

8．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为增函数，在上为减函数，从而抽象出不等式组解出即可．

【详解】是定义在上的偶函数，

，

，

在上为增函数，

在上为减函数，

由可得，

解得或，

故不等式的解集为

故选：D．

二、多选题

9．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BD

【分析】根据命题“”是真命题求出m的取值范围，结合充分不必要条件与集合之间的包含关系，即可判断出答案.

【详解】命题“”是真命题,

则，当时，取得最大值0，

即，即，

结合四个选项，有是集合的真子集，

故命题“”是真命题的一个充分不必要条件可以是或，

故选：.

10．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y，下列结论正确的是（    ）

A．y不是n的函数

B．y是n的函数，且该函数定义域为

C．y是n的函数，且该函数值域为

D．y是n的函数，且该函数在定义域内不单调

【答案】BCD

【分析】根据函数的定义以及函数单调性性质一一判断各选项，即可得答案.

【详解】由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的，即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，

因此y是n的函数，且该函数定义域为，值域为，

并且y在每个位置上的数字是确定的，比如取到小数点后面4个数字时为，故函数不具有单调性，

故A错误，正确,

故选：

11．已知函数为奇函数，下列结论正确的是（    ）

A．的定义域为 B．

C．的值域为 D．的单调递增区间为

【答案】ABD

【分析】根据函数解析式，求得其定义域，判断A;根据函数为奇函数，可求得参数a的值，判断B;举反例可判断C;根据指数函数的单调性结合函数奇偶性性质可判断D.

【详解】对于A，需满足 ，即的定义域为，A正确；

对于B，为奇函数，即，

故，即，B正确；

对于C，，当时，，故C错误；

对于D，当 时，，且递增，故递减，则递增，

由于为奇函数，故当时，也递增，

即的单调递增区间为，D正确，

故选：.

12．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ）

A．满足戴德金分割

B．M没有最大元素，N有一个最小元素

C．M没有最大元素，N没有最小元素

D．M有一个最大元素，N有一个最小元素

【答案】ABC

【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例判断B;结合A中例子可判断C; 假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D.

【详解】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确；

对于B,取，符合戴德金分割，

M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；

对于C，取满足戴德金分割的定义，

M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；

对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，

必有，则无法满足，D错误，

故选： .

三、填空题

13．若函数满足，则___________.

【答案】

【分析】根据函数解析式，令，即可求得答案.

【详解】因为函数满足,

故令，可得，

故答案为：.

14．已知幂函数在上单调递增，则实数的值为________．

【答案】

【解析】由函数是幂函数可得，由单调性可得，即可求解.

【详解】因为函数是幂函数，

所以，即，

解得：或，

当时不满足在上单调递增，

当时，在上单调递增，

所以，

故答案为：

15．已知，若正数 满足，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】判断函数的奇偶性和单调性，由可得，从而将变为，展开后利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由已知，则，故为奇函数，

故由可得，

因为在上单调递增，故单调递增，

所以，即，

所以

，当且仅当即时取得等号，

即的最小值为3.

故答案为：3.

16．已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围.

【详解】解：在上恒成立，

则当时，恒成立，所以，又，即，

故当时，，所以；

当时，恒成立，所以，

又

当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；

综上，实数a的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据函数定义域的求法求得集合，由此求得.

（2）根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围.

【详解】（1），

解得，所以.

当时，，

所以，

或，

所以

（2）由（1）得.

当时，，

当时，,

由得，解得.

综上所述，的取值范围是.

18．已知函数.

(1)画出函数的图象并写出它的值域；

(2)若，求x的取值范围.

【答案】(1)图象详见解析，值域为

(2)

【分析】（1）画出的图象，结合图象求得的值域.

（2）通过解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）画出的图象如下图所示，

由图可知的值域为

（2）由得或，

解得或，

所以不等式的解集为.

19．已知函数为上的奇函数，且当时，.

(1)求的解析式；

(2)解不等式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.

（2）根据函数的奇偶性、单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.

【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以，

当时，，所以.

所以.

（2）由于二次函数的开口向上，对称轴为，

所以在上递增，故在上递增，

由，得，

所以，

所以不等式的解集为.

20．某商场为回馈客户，开展了为期10天的促销活动，经统计，在这10天中，第x天进入该商场的人次（单位：百人）近似满足，而人均消费（单位：元）是关于时间x的一次函数，且第3天的人均消费为560元，第6天的人均消费为620元.

(1)求该商场的日收入y（单位：元）与时间x的函数关系式；

(2)求该商场第几天的日收入最少及日收入的最小值.

【答案】(1)

(2)第天的日收入最少，最小值为元

【分析】（1）根据人数和人均消费求得日收入的函数关系式.

（2）利用基本不等式求得最小值以及对应的.

【详解】（1）设，

依题意，解得，

所以.

所以.

（2）由（1）得，

由基本不等式得，当且仅当时等号成立，

所以第天日收入最少，且最小值为元.

21．已知关于x的不等式.

(1)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当时，求此不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)当时，不等式的解集为 ，

当时，不等式的解集为 ；

当时，不等式的解集为或，

当时，不等式的解集为或，

当时，不等式的解集为．

【分析】（1）时，将不等式恒成立化为恒成立，结合函数单调性，即可求得答案；

（2）分类讨论，当 时，解可得；当 时，讨论和情况，当时，继而讨论的大小关系，根据一元二次不等式的解法，可得答案.

【详解】（1）∵时,,原不等式等价于 ，

即 在上恒成立,

令,函数在上单调递增，

∴ .

（2）当 时，即解得；

当 时，由方程，解得或，

当时，即，解得 ；

当 时，不等式可化为，

当 ，即时，解得或；

当 ，即时，解得 或 ；

当 ，即时，解得 ，

综上所述，当时，原不等式的解集为 ，

当时，原不等式的解集为 ；

当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为或，

当时，原不等式的解集为．

【点睛】方法点睛：解答含有参数的一元二次方程要注意对参数的讨论，首先要注意讨论二次项系数是否为0，再讨论不等式对应方程是否有根，有根时要讨论两根的大小问题.

22．已知函数是定义域为的奇函数.

(1)求函数的解析式；

(2)判断在上的单调性并用定义证明；

(3)设，求在上的最小值.

【答案】(1)；

(2)单调递增；证明见解析.

(3).

【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求得答案；

（2）判断出函数的单调性，按照单调性的定义即可证明；

（3）求出的表达式，换元将函数转化为二次函数，讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，即可确定函数的最小值，可得答案.

【详解】（1）∵为奇函数，∴ ，

可得 ，此时，满足，

即函数是定义域为的奇函数，

所以函数的解析式为；

（2）在上为增函数.

证明：设为R上任意两个实数，且，

,

 ,∴，

∴在上为增函数.

（3）由，

可得,

令 ，

由(2)知为增函数，∵ ，∴ ，

令 ,

当 时， 在 上单调递增,故 ；

当 时，在上单调递减，在 上单调递增,

故 ；

当 时, 在上单调递减，故;

综上所述, .

【点睛】关键点点睛：第三问是求指数型复合函数的最小值问题，解答的关键是采用整体换元，即令，从而将函数转化为二次函数的最值问题，求解二次函数的最值问题，讨论对称轴和给定区间的位置关系，即可确定最值.