2021-2022学年湖北省武汉市新洲区、蔡甸区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新洲区、蔡甸区八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区、蔡甸区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）为了普及科学抗疫知识，卫生部门设计了一些宣传图片，下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x＜﹣1
3．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．35° C．70° D．30°
5．（3分）若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
7．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．2x2+2x＝x（2x+2） D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）已知（x﹣1）6＝a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，将x＝0代入这个等式中可以求出a0＝1．用这种方法可以求得a6+a5+a4+a3+a2+a1的值为（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣1 D．1
10．（3分）如图，∠DAC与∠ACE的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若∠PAD＝60°，则∠B的度数是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分式的值为0，则x的值是 　 　．
12．（3分）x2+kx+9是完全平方式，则k＝　 　．
13．（3分）已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝　 　．
14．（3分）计算（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝　 　．
15．（3分）如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，则∠AOB＝　 　．

16．（3分）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 　 　（填序号）．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）+2．
18．（8分）因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
19．（8分）如图：A、D、B、F四点在同一条直线上，若∠A＝∠EDF，∠C＝∠E，AD＝BF．求证：AC＝DE．

20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2021．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（3，0），AB＝5．请按要求用无刻度的直尺作图（横纵坐标均为整数的点称为格点）．
（1）在图1中将线段AB向左平移5个单位得线段CD（点A的对应点为C），并直接写出四边形ABDC的面积为 　 　；
（2）在图1中作出∠ABO的平分线BM，P为BM上的格点，则P点有 　 　个；
（3）在图2中过O作AB的垂线ON，Q为ON上的格点，写出Q点的坐标为 　 　．


22．（10分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
23．（10分）如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 　 　，数量关系为 　 　；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（2）如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．


24．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（0，b）（b≤0），点C（c，0）在x轴正半轴上，且a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．
（1）判断线段AB与OC的数量关系，并说明理由；
（2）如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若QC＝2QO，求证：∠AQP＝45°；
（3）如图2，当b＜0时，点D在x轴正半轴上点C的右侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠AEB的度数是否为定值？如果是，请求出∠AEB的度数；如果不是，请说明理由．



2021-2022学年湖北省武汉市新洲区、蔡甸区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）为了普及科学抗疫知识，卫生部门设计了一些宣传图片，下列图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2．（3分）若分式有意义，则x应满足的条件是（　　）
A．x≠0 B．x≥﹣1 C．x≠﹣1 D．x＜﹣1
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【解答】解：由题意可得：x+1≠0，
解得：x≠﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．
3．（3分）点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【解答】解：点P（﹣1，2）关于y轴对称点的坐标为（1，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，注：关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变；
关于x轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变；
关于原点对称，横纵坐标都互为相反数．
4．（3分）如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝80°，∠E＝30°，则∠C的度数为（　　）

A．80° B．35° C．70° D．30°
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝30°，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．（3分）若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）×180°，列方程解答出即可．
【解答】解：根据多边形内角和定理得，
（n﹣2）×180°＝1440°，
解得，n＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是正确解答的基础．
6．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（2a）3＝6a3
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a2）3＝﹣a6
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，完全平方公式逐一判断即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项不合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键．
7．（3分）下列因式分解正确的是（　　）
A．x3﹣x＝x（x2﹣1） B．x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）
C．2x2+2x＝x（2x+2） D．x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
【分析】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1），故A不符合题意；
B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），故B符合题意；
C.2x2+2x＝2x（x+1），故C不符合题意；
D．x2﹣x＝x（x﹣1），故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
8．（3分）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A的值有变化．
B、＝≠，故B的值有变化．
C、＝，故C的值不变．
D、＝≠，故D的值有变化．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9．（3分）已知（x﹣1）6＝a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，将x＝0代入这个等式中可以求出a0＝1．用这种方法可以求得a6+a5+a4+a3+a2+a1的值为（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣1 D．1
【分析】把x＝1代入这个等式中，先求出a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值，再求出a6+a5+a4+a3+a2+a1的值．
【解答】解：当x＝1时，∵（x﹣1）6＝a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
∴a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0＝0．
∴a6+a5+a4+a3+a2+a1＝﹣a0＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了代数式的值，看懂题例，找到合适的x的值是解决本题的关键．
10．（3分）如图，∠DAC与∠ACE的平分线相交于点P，且PC＝AB+AC，若∠PAD＝60°，则∠B的度数是（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
【分析】在射线AD上截取AM＝AC，连接PM，证明△PAM≌△PAC，可得PM＝PC，∠PMA＝∠PCA，然后证明BC∥PM，进而可得结论．
【解答】解：如图，在射线AD上截取AM＝AC，连接PM，

∵PA平分∠DAC，
∴∠PAM＝∠PAC＝60°，
在△PAM和△PAC中，
，
∴△PAM≌△PAC（SAS），
∴PM＝PC，∠PMA＝∠PCA，
∵PC＝AB+AC，
∴PC＝AB+MA＝MB，
∴PC＝PM＝BM，
∵PC平分∠ACE，
∴∠PCA＝∠PCE，
如图，延长MB，PC交于点G，

∵∠GCB＝∠PCE，
∴∠PMA＝∠GCB，
∵∠BGC＝∠PGM，
∴△BGC∽△PGM，
∴＝，
∴GB•GM＝GC•GP，
∴GB•（GB+BM）＝GC•（GC+CP），
∴GB2+GB•BM＝GC2+GC•CP，
∴GB2﹣GC2+GB•BM﹣GC•CP＝0，
∴（GB+GC）（GB﹣GC）+PC（GB﹣GC）＝0，
∴（GB﹣GC）（GB+GC+PC）＝0，
∵GB＞0，GC＞0，PC＞0，
∴GB+GC+PC＞0，
∴GB﹣GC＝0，
∴GB＝GC，
∴∠GBC＝∠GCB，
∴∠GBC＝∠BMP，
∴BC∥PM，
∴∠BMP+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣∠BMP＝180°﹣∠PCA，
∵∠PAM＝∠PAC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠B＝∠ACE﹣∠BAC＝2∠PCA﹣60°，
∴180°﹣∠PCA＝2∠PCA﹣60°，
∴∠PCA＝80°，
∴∠B＝100°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是得到△PAM≌△PAC．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）分式的值为0，则x的值是 　1　．
【分析】根据分式的值为零的条件得到x﹣1＝0且x≠0，易得x＝1．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣1＝0且x≠0，
∴x＝1．
故答案为1．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
12．（3分）x2+kx+9是完全平方式，则k＝　±6　．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k＝±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，
故k＝±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
13．（3分）已知a+b＝4，ab＝3，则a2b+ab2＝　12　．
【分析】利用提公因式法分解后，即可解答．
【解答】解：当a+b＝4，ab＝3时，
a2b+ab2＝ab（a+b）
＝3×4
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
14．（3分）计算（x+y﹣z）（x﹣y+z）＝　x2﹣y2+2yz﹣z2　．
【分析】根据平方差公式和完全平方公式计算得出答案．
【解答】解：（x+y﹣z）（x﹣y+z）
＝[x+（y﹣z）][x﹣（y﹣z）]
＝x2﹣（y﹣z）2
＝x2﹣y2+2yz﹣z2．
故答案为：x2﹣y2+2yz﹣z2．
【点评】此题主要考查了整式的乘法运算，正确应用乘法公式是解题的关键．
15．（3分）如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上的点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝100°，则∠AOB＝　40°　．

【分析】作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD交OA于点M，交BO于点N，连接MP、NP、OC、OD，此时△PMN的周长有最小值，由对称性可知∠OCM＝∠OPM，∠OPN＝∠ODN，可求∠COD＝80°，再由∠MON＝∠COD即可求解．
【解答】解：作P点关于OA的对称点C，作P点关于OB的对称点D，连接CD交OA于点M，交BO于点N，连接MP、NP、OC、OD，
∴MP＝CM，PN＝ND，
∴△PMN的周长＝MP+MN+NP＝CM+MN+DN＝CD，此时△PMN的周长有最小值，
由对称性可知OC＝OP＝OD，∠OCM＝∠OPM，∠OPN＝∠ODN，
∵∠MPN＝100°，
∴∠OCM+∠ODN＝100°，
∴∠COD＝80°，
∵∠COM＝∠MOP，∠PON＝∠NOD，
∴∠MON＝∠COD＝40°，
故答案为：40°．

【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用轴对称的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是 　①②④　（填序号）．

【分析】由SAS证得△DAC≌△BAE得出BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，求出∠BOD＝60°，①正确；②正确；∠ADB＝∠AEC＝60°，但不能推出∠ADC＝∠AEB，则∠BDO＝∠CEO错误，即③错误；再由平行线的性质得出∠DAB＝∠ABC＝60°，推出∠ACB＝30°，则BC⊥CE，④正确．
【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，
∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，
∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，
∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；
∵DA∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝30°，
∵∠ACE＝60°，
∴∠ECB＝90°，
∴BC⊥CE，④正确，
综上所述，①②④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）解分式方程：
（1）；
（2）+2．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：x+3＝5x，
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解；
（2）去分母得：2x＝3+4（x﹣1），
解得：x＝，
经检验x＝是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
18．（8分）因式分解：
（1）x3﹣16x；
（2）3x2﹣12xy+12y2．
【分析】（1）先提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可．
【解答】解：（1）x3﹣16x
＝x（x2﹣16）
＝x（x+4）（x﹣4）；
（2）3x2﹣12xy+12y2
＝3（x2﹣4xy+4y2）
＝3（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
19．（8分）如图：A、D、B、F四点在同一条直线上，若∠A＝∠EDF，∠C＝∠E，AD＝BF．求证：AC＝DE．

【分析】由“AAS”可证△ABC≌△DFE，可得AC＝DE．
【解答】证明：∵AD＝BF，
∴AB＝DF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS），
∴AC＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形的判定和性质是解题的关键．
20．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝2021．
【分析】根据分式的加减运算、乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
当x＝2021时，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（3，0），AB＝5．请按要求用无刻度的直尺作图（横纵坐标均为整数的点称为格点）．
（1）在图1中将线段AB向左平移5个单位得线段CD（点A的对应点为C），并直接写出四边形ABDC的面积为 　20　；
（2）在图1中作出∠ABO的平分线BM，P为BM上的格点，则P点有 　4　个；
（3）在图2中过O作AB的垂线ON，Q为ON上的格点，写出Q点的坐标为 　（4，3）或（﹣4，﹣3）　．


【分析】（1）如图1，根据平移的性质得到AC＝BD＝5，根据勾股定理得到AB＝＝5，推出四边形ABDC是菱形，根据菱形的面积公式即可得到结论；
（2）作射线BC，由（1）知，四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到结论；
（3）如图2，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，∵将线段AB向左平移5个单位得线段CD，
∴AC＝BD＝5，
∵AB＝＝5，
∴CD＝AB＝5，
∴AB＝BD＝CD＝AC，
∴四边形ABDC是菱形，
∴四边形ABDC的面积＝BD•OA＝5×4＝20；
故答案为：20；
（2）作射线BC，
由（1）知，四边形ABDC是菱形，
∴BC平分∠ABO，
∴射线BM与射线BC是同一条射线，
由图知满足条件的P点有4个，
故答案为：4；
（3）如图2，过点（4，3），（0，0）作直线，
则OQ⊥AB，Q（4，3）或（﹣4，﹣3），
故答案为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．


【点评】本题考查了四边形的综合题，菱形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，正确的作出图形是解题的关键．
22．（10分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花30元．
（1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
（2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，由题意：购买A品牌篮球花费了2500元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3060元，列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+30）元，
由题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝，50是原方程的解，且符合题意，
则x+30＝80．
答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元．
（2）设该校此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（50﹣a）个，
由题意得：50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3060，
解得：a≤20，
答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球．
【点评】此题考查分式方程的应用与一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．（10分）如图，在△ABC中，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE．
（1）如果∠BAC＝90°，AB＝AC．
①如图1，当点D在线段BC上时，线段CE与BD的位置关系为 　CE⊥BD　，数量关系为 　CE＝BD　；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（2）如图3，若△ABC是锐角三角形，∠ACB＝45°，当点D在线段BC上运动时，证明：CE⊥BD．


【分析】（1）①根据∠BAD＝∠CAE，BA＝CA，AD＝AE，运用“SAS”证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系；
②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，再根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到①中的结论仍然成立；
（2）先过点A作AG⊥AC交BC于点G，画出符合要求的图形，再结合图形判定△GAD≌△CAE，得出对应角相等，即可得出结论．
【解答】（1）解：①∵∠BAD＝90°﹣∠DAC，∠CAE＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE．
又 BA＝CA，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，CE＝BD．
∵∠ACB＝∠B＝45°，
∴∠ECB＝45°+45°＝90°，
即 CE⊥BD．
故答案为：CE⊥BD；CE＝BD．

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立．
∵∠DAE＝90°，∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
又AB＝AC，AD＝AE，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
即 CE⊥BD；

（2）证明：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
即△ACG是等腰直角三角形，
∵∠GAD+∠DAC＝90°＝∠CAE+∠DAC，
∴∠GAD＝∠CAE，
又∵DA＝EA，
∴△GAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠AGD＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
即CE⊥BD．

【点评】此题为三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行求解．
24．（12分）如图，平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（0，b）（b≤0），点C（c，0）在x轴正半轴上，且a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．
（1）判断线段AB与OC的数量关系，并说明理由；
（2）如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若QC＝2QO，求证：∠AQP＝45°；
（3）如图2，当b＜0时，点D在x轴正半轴上点C的右侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠AEB的度数是否为定值？如果是，请求出∠AEB的度数；如果不是，请说明理由．


【分析】（1）根据a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．得（a﹣b）2＝c2，由a＞0，b≤0，c＞0，可知a﹣b＝c，从而得出AB＝OC；
（2）作AH⊥OP，交OP的延长线于H，理由AAS证明△AOH≌△BCQ，得CQ＝OH，OQ＝AH，再证明△AQH是等腰直角三角形，从而证明结论；
（3）作DF⊥OD于D，取DF＝OC，连接CF，BF，利用SAS证明△OBC≌△DCF，得∠OCB＝∠CFD，BC＝CF，则△BCF是等腰直角三角形，且∠CBF＝45°，再根据AB＝DF，AB∥DF，知四边形ABFD是平行四边形，从而得出答案．
【解答】（1）解：AB＝OC，理由如下：
∵a2﹣2ab+b2﹣c2＝0．
∴（a﹣b）2＝c2，
∵a＞0，b≤0，c＞0，
∴a﹣b＝c，
∴AB＝OC；
（2）证明：作AH⊥OP，交OP的延长线于H，

∵∠AOH+∠COH＝90°，∠COH+∠BCQ＝90°，
∴∠AOH＝∠BCQ，
∵∠CQB＝∠QHB＝90°，AB＝BC，
∴△AOH≌△BCQ（AAS），
∴CQ＝OH，OQ＝AH，
∵CQ＝2OQ，
∴OH＝2OQ，
∴OQ＝QH，
∴AH＝HQ，
∴∠AQP＝45°；
（3）解：∠AEB的度数为定值，
作DF⊥OD于D，取DF＝OC，连接CF，BF，

∵OB＝CD，∠BOC＝∠CDF，OC＝DF，
∴△OBC≌△DCF（SAS），
∴∠OCB＝∠CFD，BC＝CF，
∴∠OCB+∠DCF＝∠CFD+∠DCF＝90°，
∴∠BCF＝90°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴∠CBF＝45°，
∵AB＝OC，OC＝DF，
∴AB＝DF，
∵AB∥DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠AEB＝∠CBF＝45°，
∴∠AEB的度数是定值，为45°．
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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