中职数学高教版（2021）基础模块上册4.1 角的概念的推广教案设计

《角的概念的推广》教案

授课题目：4.1角的概念的推广

选用教材：高等教育出版社《数学》（基础模块上册）

授课时长：2课时

授课类型：新授课

教学目标：会结合熟悉的实例描述角的相关概念，能举例说明正角、负角、零角、象限角、终边相同的角等，能根据图像判断角是正角、负角还是零角，并能根据给出的角的度数和角的始边确定角的终边的位置，并判断角是第几象限的角，逐步提升数学抽象和直观想象等核心素养；知道象限角的概念，并能用集合语言表示出来，逐步提升数学抽象等核心素养；能写出与角 α 终边相同角的集合，并能找出给定范围内与已知角终边相同的角，提升直观想象和数学运算等核心素养．

教学重点：角的概念推广的必要性；终边相同的角组成的集合；角所在象限的判断．

教学难点：终边相同的角的理解和表示；角所在象限的判断；各象限的角的表示．

教学过程：

1、情境引入

在义务教育阶段我们学习过，角是有公共端点的两条射线构成的图形.

角是平面内由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

已经学习过的角包括锐角、直角、钝角、平角 、周角等，它们都在 0°~ 360°范围内.

教师活动：提出问题、带领学生回顾旧知，引发学生思考

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：借助原有知识为新知学习做好铺垫

（一）任意角

1、情境引入

(1)公园里的摩天轮，选定一个机械臂的起始位置作为始边，如果机械臂从这个起始位置旋转一周，就说它转过了 360°，那么当它转过一周半或者转过两周时，它转过了多少度呢？

摩天轮的机械臂从起始位置,旋转了一周，则说它转过了 360°，旋转一周半,则说它转过了540°，旋转了两周，则说它转过了 720°.

(2)如果时钟快 2h，应该如何校准？校准过程中分针相对起始位置转过了多少度？如果时钟慢了 2h 呢？

如果时钟快了 2h，则需要将分针相对于起始位置逆时针旋转 720°，如果时钟慢了 2h，则需要将分针相对于起始位置顺时针旋转 720°.

教师活动：提出问题、带领学生回顾旧知，引发学生思考

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：借助生活中的事物，帮助学生理解知识点

2、探索新知

规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角称为正角，如下图(1)所示；按顺时针方向旋转形成的角称为负角，如图(2)所示．

如果一条射线没有做任何旋转,也认为形成了一个角,这个角称为零角.

分针按逆时针方向旋转 2 周形成的角，记作 720°，如下图(1)所示；分针按顺时针方向旋转 2 周形成的角，记作 -720°，如下图(2)所示.

显然，这两个角是不一样的.

这样，我们不仅能表示 0°~360°范围内的角，也能表示 0°~360°范围之外的角．也就是把角的概念推广到了任意角．

通常使用角的顶点或顶点与始边、终边上的字母来表示角.例如,下图中的角,可以记作“∠AOB”或“∠O”.

也经常使用小写的希腊字母 α,β, γ,…来表示角,记作“角 α”.在不引起混淆的情况下,可以简记成“α”.

例如，α=420°， β= −135°.

教师活动：提讲解定义，并通过作图帮助学生理解

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：数形结合说明问题，帮助学生理解动态定义角的方式，提升直观想象核心素养

3、探索与发现

设角α与角β是两个任意角，如何理解角-α、角α+β和角 α-β ？为了方便,通常在平面直角坐标系中讨论角. 将角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的 非负半轴重合,此时角的终边在第几象限,就称这个角为第几象限角．

如图，α=420°，所以角α是第一象限角，β=−135°，所以角β是第三象限角．

如果角的终边在坐标轴上, 就认为这个角不属于任何一个象限，称为界限角．如，0°，90°，180°，360°，−90°角都是界限角．

教师活动：提讲解定义，并通过作图帮助学生理解

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：通过观察思考，参与概念形成，感受知识发现的乐趣

4、例题讲解

例 1 在平面直角坐标系中，叙述下列各角的形成过程，并指出它们是第几象限角.

(1) 490° ； (2)−650° ．

解 将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合.

(1) 490°角是射线绕着原点逆时针旋转 490°形成的, 终边落在第二象限, 所以 490°为第二象限角;

(2) −650°角是射线绕着原点顺时针旋转 650°形成的, 终边落在第一象限, 所以−650°为第一象限角.

例 2 求时钟从 8 点到 9 点 15 分, 如图所示, 分针和时针旋转所成的角.

解 时钟8点到9点15分,分针顺时针旋转450°，因此,分针旋转形成的角为−450°；而时针顺时针旋转了37.5°,因此，时针旋转形成的角为−37.5°.

教师活动：教师巡视指导，并对学生的回答给予指导

学生活动：认真思考并答题

设计意图：象限角的初步应用，让学生直观感受角的动态形成过程，感悟“总有一个周角内的角与已知角终边相同”，落实知识实际应用

5、巩固练习

1．填空题：

(1) −15°是第_________象限角；

(2) 795°是第_________象限角；

(3) 163°是第_________象限角；

(4) −458°是第________象限角．

2.判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：

(1)第四象限角一定是负角； ( )

(2) 第二象限角一定是正角； ( )

(3)小于 90°的角一定是锐角； ( )

(4)第一象限角一定是锐角； ( )

(5)钝角一定是第二象限角； ( )

(6)第二象限角一定是钝角． ( )

3．在平面直角坐标系中, 分别作出下列各

角, 并指出它们是第几象限角：

(1) 460° ；

(2) 945°；

(3) −200° ；

(4) −700° ．

教师活动：提问 、巡视指导、及时指出学生的问题

学生活动：思考问题、动手做题求解答案、与小组同学交流

设计意图：通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

（二）终边相同的角

1、情境引入

如图, 30°, −330°, 390°角之间有什么关系呢？

不难发现, 在平面直角坐标系中,这三个角的终边相同, 并且都可以表示成 30°与 k 个(k∈ Z) 360°的和.如：

30°= 30°＋0×360°；

−330°= 30°＋ (−1)×360°；

390° = 30°＋1× 360°．

教师活动：提出问题、带领学生回顾旧知，引发学生思考

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：借助图形，帮助学生理解知识点

2、探索新知

从上述角的形成过程可以看出，与 30°终边相同的角有无数多个，它们与30°角均相差 360°的整数倍.

因此与 30°终边相同的所有角可以表示为β= 30°+k360°，k∈Z．

一般地,与角 α 终边相同的所有角构成的集合为S={β|β=α+ k*360°, k∈Z}，

即所有与角 α 终边相同的角都可以表示成角 α 与 360°的整数倍的和.

教师活动：提讲解定义，并通过作图帮助学生理解

学生活动：观察情境思考问题，分析，回答问题并学会用语言表达自己的想法

设计意图：发现规律并学习用集合语言表示

3、例题解析

例3 写出与−950°角终边相同的所有角构成的集合,并找出 0°~360°范围内与其终边相同的角.

解 与−950°角终边相同的所有角构成的集合为S={β|β＝−950°+ k*360°,k∈Z }.

当 k=3 时，β＝−950°+3*360°= 130°,

故在 0°~360°范围内, 与−950°角终边相同的角是 130°角．

教师活动：教师巡视指导，并对学生的回答给予指导

学生活动：认真思考并答题

设计意图：由特殊到一般分析问题并得到结论，多角度思考问题

4、巩固练习

1.已知角 α 是第一象限角，则角−α 的终边在第_______象限.

2 .与 1560°角终边相同的角的集合中，最小的正角是_____.

3. 写出与下列角终边相同的所有角组成的集合，并在 0°～360°范围内找出与其终边相同的角.

(1) 420°； (2) −510°； (3) −73°； (4) 855°.

4. 写出终边在 x 轴上的角组成的集合.

教师活动：提问 、巡视指导、及时指出学生的问题

学生活动：思考问题、动手做题求解答案、与小组同学交流

设计意图：通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

（三）归纳总结

（四）布置作业

1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾；

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．