高教版（2021）基础模块上册3.3 函数的应用教案

这是一份高教版（2021）基础模块上册3.3 函数的应用教案，共6页。
《函数的应用》教案授课题目：3.4函数的应用选用教材：高等教育出版社《数学》（基础模块上册）授课时长：2课时授课类型：新授课教学目标：能根据具体的情境，选择恰当的函数模型表达问题中的函数关系，通过运算、推理得出的结论解释情境中的问题；能进一步明确数学建模的一般步骤，逐步提高数学抽象和数学建模等核心素养．教学重点：简单函数模型的应用教学难点：根据实际问题建立函数模型；二次函数模型的最值问题教学过程：1、情境引入许多实际问题都可以通过建立函数模型来解决，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定为函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得以解决．下面我们将通过几个例子一起来学习一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型在实际生产生活中的应用．教师活动：说明情境学生活动：思考并分析设计意图：点名数学建模的意义2、探索新知1.一次函数模型 要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为 160 L，注水前水箱里有水 20 L，当注水 30 min后，水箱有 80 L水，若水量（L）是注水时间（min）的一次函数，试写出这个函数的解析式． 由题意可利用一次函数模型，通过待定系数法确定水量与注水时间之间的函数． 解 根据题意，水量是注水时间的一次函数，设解析式为y=kx+b．因为x=0时，y=20；x=30时，y=80，代入解析式得{ 又因为y≤160，即2x+20≤160，得x≤70．所以水量y与进水时间x的函数为y=2x+20，x∈[0,70]．2.分段函数模型 我国是世界上高速铁路系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家．近年来，我国高铁飞速发展．条条高铁悄然改变着人们的生活，已成为人们出行的快捷方式之一．开通某条高铁线路前，需要进行安全、平稳测试．如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中（km/h）是车速，（min）是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式这是一个涉及分段函数的实际应用问题．不同的时间段，列车行驶的速度不同，需要根据时间进行分段讨论．解  由题意知：x的取值范围为0≤x≤120．在0≤x≤5，5＜x＜110，110≤x≤120三个区间有不同的运动状态．当0≤x≤5时，图像是过原点的一条线段，令y=kx，因点（5，300）在线段上，所以有300=5k， 得k=60，因此y=60x．当5＜x＜110时，图像是一条平行于x轴的线段，因此y=300． 当110≤x≤120时，图像是过点（110，300）和点（120，0）的一条线段，设y=kx+b，得解得a=−30,b=3600．因此y=−30x+3600． 故该列车车速y与行车时间x之间的的函数解析式为 y=                   3.二次函数模型 现有 12m长的钢材，要制作一个矩形窗框 （如图所示）． （1）求窗框所围成的面积（m2） 与窗框宽之间的函数解析式； （2）当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？ 这是一个有关二次函数的实际应用问题．通过矩形面积公式可得所求函数关系式．利用二次函数模型可求得窗框所围成的最大面积． 解 （1）设窗框的宽为x(x>0)，由题意知，钢材总长为12m，则窗框的长为12/2−x=6−x,且 0<x<6．窗框所围成的面积y 与窗框的宽x的解析式为y=x(6−x)=−x2+6x, 0<x<6.2）在二次函数y=−x2+6x（0<x<6）中，a=−1,b=6,c=0，所以−b/2a=−6/2×(−1)=3,4ac−b2/4a=4×(−1)×0−62/4×(−1)=9．故当窗框宽为3 m时，窗框所围成的面积y最大，最大值为9m2．探究与发现 试画出一次函数模型和二次函数模型例题中的函数图像吗．这两个图像有什么特点？温馨提示 当应用函数模型求解问题时，应根据实际情况考虑函数的定义域，特别是求函数的最大（小）值时，要考虑自变量是否有取整的需要． 教师活动：组织学生小组讨论问题并及时解答学生活动：理解、讨论并尝试解决问题设计意图：通过实际问题带领学生进入一次函数、分段函数和二次函数的应用问题的研究，初步建立数学建模的一般步骤和方法，培养学生数学抽象、逻辑分析、数学与建模等核心素养3、巩固练习1、海拔高度每上升1km，气温就会下降6℃．已知某地地面气温为20℃，设高出地面x (km)处的气温为y℃，请写出气温y与相对于地面的高度x 处之间的函数关系式．(假设y与x是一次函数关系)2、某市出租车车费标准如下：3 km以内（含3 km）收费8元；超过3 km的部分每千米收费1.6元.（1）写出应收费y（元）出租车行驶路程x(km)之间的关系式．（2）小亮乘车行驶4 km，应付多少元？（3）小波下车时付车费16元，那么小波乘出租车行驶了多远？教师活动：教师巡视指导，并对学生的回答给予指导学生活动：认真思考并答设计意图：通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺4、归纳总结5、布置作业1.书面作业：完成课后习题和学习与训练； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾； 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．