湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.4 函数与方程课堂检测

这是一份湘教版（2019）必修 第一册第4章 幂函数、指数函数和对数函数4.4 函数与方程课堂检测，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023版 湘教版（2019） 必修第一册 突围者 第4章 第四节 函数与方程 一、单选题1．函数的图象如图所示，则函数的零点为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象和零点的定义，即可得出答案.【详解】解：根据函数的图象，可知与轴的交点为，所以函数的零点为2.故选：B.2．函数的零点所在的区间为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数解析式，判断、等函数值的符号，由零点存在性定理即可确定零点所在的区间.【详解】，，且函数为增函数，由函数零点存在定理，的零点所在的区间是．故选：B.3．函数的零点个数为（　　）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由题意可知零点个数转化为的交点个数，作出图象即可求解【详解】函数，由，可得，作出和的图象，由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C.4．已知函数在上存在零点，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据零点存在定理及函数单调性可知,,解不等式组即可求得的取值范围.【详解】因为在上单调递增,根据零点存在定理可得,解得.故选:A【点睛】本题考查了函数单调性的判断,零点存在定理的应用,根据零点所在区间求参数的取值范围,属于基础题.5．若函数有两个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】把函数有两个零点转化为两个函数与有两个交点，采用数形结合即可求出答案.【详解】函数有两个零点，转化成函数与函数有两个交点.故的取值范围为. 故选：D.6．若函数有三个零点0，1，，且(1，2)，则a的取值范围是（    ）A．(-2，0) B．(1，2) C．(2，3) D．(-3，-2)【答案】D【分析】由已知求得，再代入函数，由此得，求解即可.【详解】解：因为函数有三个零点0，1，，所以，解得，所以，所以，又(1，2)，所以，解得，故选：D.7．若函数f(x)在定义域{x|x∈R且x≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)A．一个 B．两个 C．至少两个 D．无法判断【答案】B【分析】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数零点的个数即可.【详解】f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，所以f(x)在(－∞，0)上有且仅有一个零点－2.因此函数f(x)有两个零点－2与2.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.【详解】∵函数为增函数，又，∴，由，得，即，∵在单调递增，又，∴，∴.故选：D.9．对于函数和，设，，若存在，使得，则称与互为“零点相邻函数”．若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知函数有唯一零点为1，进而得在上有解，再根据二次函数零点分布求解即可.【详解】∵，∴在R上单调递增，又，∴有唯一零点为1，令的零点为，依题意知，即，即函数在上有零点，令，则在上有解，即在上有解，∵，当且仅当时取等号，∴.即实数的取值范围是.故选：B10．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)A．x1 B．x2C．x3 D．x4【答案】C【详解】观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.11．已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为函数在上显然是连续函数，和在上都是增函数，当时，，所以在上恒成立； 当时，，所以在上也恒成立； 当时，，所以在上恒成立，又，，根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为故选：C.【点睛】方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果.12．用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果.【详解】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即，故选：D.13．用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，由于误差不超过0.01，得出，从而得出结果.【详解】解：开区间的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，所以经过次操作后，区间长度变为，∵用二分法求函数在区间内零点的近似值，要求误差不超过0.01，∴，解得：，    所需二分区间的次数最少为7.故选：C． 二、多选题14．（多选）已知函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，若，则在区间上（    ）A．方程没有实数根B．方程至多有一个实数根C．若函数单调，则必有唯一的实数根D．若函数不单调，则至少有一个实数根【答案】CD【分析】根据零点存在定理可得答案.【详解】由函数零点存在定理，知函数在区间上至少有一个零点，所以若函数不单调，则至少有一个实数根，若函数单调，则函数有唯一的零点，即必有唯一的实数根，故选：CD．15．已知函数，令，则下列说法正确的是（    ）A．函数的单调递增区间为B．当时，有3个零点C．当时，的所有零点之和为-1D．当时，有1个零点【答案】BD【分析】画出的图象，然后逐一判断即可.【详解】的图象如下：由图象可知，的增区间为，故A错误当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确；当时，由可得，由可得所以的所有零点之和为，故C错误；当时，与有1个交点，即有1个零点，故D正确；故选：BD 三、填空题16．已知函数，且关于的方程有且仅有一个实数根，那实数的取值范围为________．【答案】【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出的图象，如下图所示：∵关于的方程有且仅有一个实数根，∴函数的图象与有且只有一个交点，由图可知，则实数的取值范围是.故答案为：.17．函数的图象在区间（0,2）上连续不断，能说明“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为=___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由题中命题为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，进而举例即可.【详解】函数的图象在区间（0，2）上连续不断，且“若在区间（0,2）上存在零点，则”为假命题，可知函数满足在（0,2）上存在零点，且，所以满足题意的函数解析式可以为.故答案为：（答案不唯一）.18．已知函数，若、、、、满足，则的取值范围为______.【答案】【解析】设，作出函数的图象，可得，利用对称性可得，由可求得，进而可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：设，当时，，由图象可知，当时，直线与函数的图象有五个交点，且点、关于直线对称，可得，同理可得，由，可求得，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下： 据此数据，可知的一个零点的近似值可取为______（误差不超过0.005）．【答案】1.55935（答案不唯一）【分析】根据零点存在定理，可知零点在内，再根据二分法即可判断该方程的近似解且满足误差不超过0.005.【详解】解：因为，，根据零点存在性定理，可知零点在内，由二分法可得零点的近似值可取为，所以的一个零点的近似值可取为1.55935，误差不超过0.005．故答案为：1.55935（答案不唯一）.20．若函数有零点，但不能用二分法求其零点，则实数的值为______．【答案】2或或2【分析】根据题意，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，分类讨论当时，能用二分法求零点，不符合题意；当，再根据二次函数的图象与性质，可知二次函数的图象与轴有1个交点，由即可求出的值.【详解】解：由题意得，函数有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数图象在轴上方或下方（包括轴），且与轴有交点，当，即时，，能用二分法求零点，不符合题意；当，即时，此时为二次函数，而有零点，但不能用二分法求其零点，可知函数的图象与轴有1个交点，即有两个相等实根，所以，解得：或.故答案为：2或. 四、解答题21．已知指数函数（，且）的图象过点．（1）求的解析式；（2）若函数，且在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将点的坐标代入即可.（2）换元后，用二次函数根的分布求解.【详解】（1）由题意的图象过点， ∴，解得．  故函数的解析式为．     （2）∵，∴．  令，∴， 函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，     则即解得． 故实数m的取值范围为．22．已知函数.（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；（2）讨论的零点个数.【答案】（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）详见解析.【详解】试题分析：（1）利用奇偶性的定义，判断并证明得为奇函数；（2）分参得，判断其单调性和值域，得零点个数的情况．试题解析：解法一：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数. 证明如下:依题意得函数的定义域为R，又 所以，函数为奇函数.（Ⅱ）因为 所以 ，因为函数在上单调递增且值域为所以，在上单调递减且值域为 所以，当或时，函数无零点； 当时，函数有唯一零点. 解法二：（Ⅰ）当时，函数，该函数为奇函数. 证明如下:依题意有函数定义域为R， 又 =  即.所以，函数为奇函数.（Ⅱ）问题等价于讨论方程=0的解的个数．由，得 当时，得，即方程无解； 当时，得， 当即时，方程有唯一解； 当即或时，方程无解.   综上所述，当或时，函数无零点；当时，函数有唯一零点. 点睛：本题考查含参的零点个数问题．零点个数问题的本质方法是图象的交点个数问题．含参的零点个数问题，一般都可以采取分离参数法来解题，分参后利用图象交点个数进行讨论判断即可．23．已知函数，．(1)若有零点，求的取值范围；(2)试确定的取值范围，使得有两个相异实根．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用函数单调性的定义判断函数在上的单调性，作出函数的图象，数形结合即可求解；（2）由（1）知的最小值，根据二次函数的性质可求出的最大值，由题意可知与的图象有两个不同的交点，结合图象可知解不等式即可求解.【详解】(1)任取，则，当时，，，可得即，当时，，，可得即，所以在上单调递减，在上单调递增，，作出函数图象如图：若有零点，则有函数与图象有交点，由图知：，故实数的取值范围为．(2)若有两个相异实根，即与的图象有两个不同的交点．因为，对称轴为，开口向下，最大值为，由（1）知：，在同一平面直角坐标系中，作出和的图象，如图．由图知当即时，与的图象有两个不同的交点，即有两个相异实根，所以实数的取值范围是.24．用二分法求函数在区间内的零点的近似值（误差不超过0.1）．【答案】【分析】根据函数零点的二分法，结合零点的存在定理，即可求解.【详解】由题意，函数在上单调递增，则函数在上有唯一零点，列表如下：次数，，的近似值区间长1010.50.1251200.50.250.530.250.50.3750.2540.3750.50.43750.125 可得函数在上的零点的近似值为，误差不超过0.1．25．已知函数f(x)＝lnx＋2x－6.（1）证明f(x)有且只有一个零点；（2）求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不大于.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由单调性定义知为增函数，又f(2)·f(3)<0，即知函数有且只有一个零点；（2）利用二分法确定区间长度不大于的零点所在区间即可.【详解】(1)证明：令，则，且，∴，即f(x)＝lnx＋2x－6在(0,＋∞)上是增函数，∴f(x)至多有一个零点．又f(2)＝ln2－2<0，f(3)＝ln3>0，∴f(2)·f(3)<0，即f(x)在(2,3)内有一个零点．∴f(x)在(0,＋∞)上只有一个零点．(2)∵f(2)<0，f(3)>0，取，，∴，即f(x)零点．取，则.∴.∴，又，∴满足题意的区间为．【点睛】方法点睛：1、单调函数若能找到，即知存在零点，定义域内有且仅有一个.2、二分法求零点区间：中取，并确定符号，若在继续上一步骤；若在继续上一步骤，直到得到合适区间.