黑龙江省哈尔滨市巴彦县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省哈尔滨市巴彦县2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市巴彦县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．点P（3，2）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
2．一个多边形的外角和比内角和大180°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．3
3．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（　　）
A．勤洗手，勤通风 B．打喷嚏，捂口鼻
C．有症状，早就医 D．防控疫情，我们在一起
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，则CD的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．5
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若BC＝4，则DE的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．1 D．
6．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三边高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．50° C．90° D．100°
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，△ABC中，AB+AC＝6，直线MN为BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD的周长为（　　）

A．3 B．6 C．4 D．5
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　）

A．EF B．AB C．AC D．BC
二、填空题：（每小题3分，共计30分
11．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为　 　．
12．正方形的对称轴有 　 　条．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝　 　度．

14．如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 　 　．

15．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　 　．

16．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为 　 　．

17．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是 　 　．

18．如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　 　cm．

19．等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 　 　．
20．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 　 　．

三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数．
（2）若∠F＝27°，求证：BE∥DF．

22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称（点A、B、C的对称点分别为A1、B1、C1）．
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

23．某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，经过测量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？

24．如图1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接AF，请直接写出图中所有的全等三角形．


25．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于点E．
（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；
（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，求证：∠FEC＝3∠3．

26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB边上，AD⊥CE交CE的延长线于点D．
（1）若∠BAC＝2∠DAE，求证：CE＝CB；
（2）如图2，连接BD，点F为CD的中点，延长BF交AC于点G，连接DG，若AG＝DG，求证：BD＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，点H为AB的中点，求线段DH的长．


27．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C在x轴上（C左B右），点A在y轴正半轴上，∠BAC＝120°，点O为BC的中点，AB＝8．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点D为AC上一点，点F为y轴上一点，AD＝AF，连接DF，∠BDE＝60°，DE交y轴于点E，设线段AD的长为t，线段OE的长为d，请用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，当点D与点C重合时，在CA的延长线上取点G，作GH⊥CA交x轴于点K，若GK＝AC，连接EH，过点A作AM⊥EH于点M，求点M的纵坐标．




参考答案
一、选择题：（每小题3分，共计30分）
1．点P（3，2）关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点P（3，2）关于x轴的对称点的坐标是（3，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2．一个多边形的外角和比内角和大180°，则这个多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．3
【分析】由多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和是360°，列出关于边数的方程即可求解．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：360°﹣（n﹣2）×180°＝180°，
∴n＝3，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数），多边形的外角和是360°．
3．下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是（　　）
A．勤洗手，勤通风 B．打喷嚏，捂口鼻
C．有症状，早就医 D．防控疫情，我们在一起
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，则CD的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．3 D．5
【分析】在△ABC与△DBE中，由AAS证明两三角形全等得出BC＝BE＝3，即可求解．
解：在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（AAS），
∴BC＝BE＝3，
∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若BC＝4，则DE的长为（　　）

A．1.5 B．2 C．1 D．
【分析】由AB＝AC，∠A＝120°推出∠B＝30°，从而得到DE＝DB，
解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC＝2，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴DE＝BD＝1，
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；等腰三角形的两个底角相等．
6．到三角形三个顶点距离相等的点是（　　）
A．三边高线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条内角平分线的交点
【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可．
解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C′＝30°，则∠B的度数为（　　）

A．30° B．50° C．90° D．100°
【分析】先根据△ABC和△A′B′C′关于直线l对称得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝50°，∠C′＝30°，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，熟知关于轴对称的两个图形全等是解答此题的关键．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．

【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
9．如图，△ABC中，AB+AC＝6，直线MN为BC的垂直平分线交AC于点D，连接BD，则△ABD的周长为（　　）

A．3 B．6 C．4 D．5
【分析】根据中垂线的性质，可得DC＝DB，继而可确定△ABD的周长．
解：∵直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解决问题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下哪条线段的长度（　　）

A．EF B．AB C．AC D．BC
【分析】连接AK，根据线段垂直平分线的性质得到AK＝BK，求得BK+CK＝AK+CK，得到AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，于是得到当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到结论．
解：连接AK，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AK＝BK，
∴BK+CK＝AK+CK，
∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，
∵AK+CK≥AC，
∴当AK+CK＝AC时，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，
∴BK+CK的最小值是线段AC的长度，
故选：C．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三角形的三边关系，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
二、填空题：（每小题3分，共计30分
11．已知三角形两边长为2和7，则第三边a的取值范围为　5＜a＜9　．
【分析】利用“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”，可求出a的取值范围．
解：∵7﹣2＝5，2+7＝9，
∴第三边a的取值范围为5＜a＜9．
故答案为：5＜a＜9．
【点评】本题考查了三角形三边关系，牢记“三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边”是解题的关键．
12．正方形的对称轴有 　4　条．
【分析】根据正方形的轴对称性作出图形以及对称轴，即可得解．
解：如图，正方形对称轴为经过对边中点的直线，两条对角线所在的直线，共4条．
故答案为：4．

【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称轴是解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝　40　度．

【分析】如图，依题意可知该三角形为等腰三角形∠A＝100°，利用等腰三角形的性质得另外二角相等，结合三角形内角和易求∠B的值．
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝100°，
∴∠B＝＝40°．
故填40．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角和三角形内角和定理．借助三角形内角和求角的度数是一种很重要的方法，应熟练掌握．
14．如图，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，点D是AC上一点，连接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，则∠DBF的度数是 　30°　．

【分析】先利用三角形内角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分线的性质定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答．
解：∵∠A＝73°，∠C＝47°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠ABC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A′B′C′，连接A′C，若BB′＝2，则线段A′C的长为 　4　．

【分析】利用平移可得A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，再判定△A′B′C是等边三角形，进而可得答案．
解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∵BC＝6，BB′＝2，
∴B′C＝6﹣2＝4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴A′C＝A′B′＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及平移的性质，关键是掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
16．如图是由一副三角板拼凑得到的，图中的∠ABC的度数为 　75°　．

【分析】由三角形的外角性质可求得∠ABF＝15°，从而可求得∠ABC的度数．
解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，
∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，
∵∠CBF＝90°，
∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．
故答案为：75°．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
17．如图，D是AB延长线上一点，DF交AC于点E，AE＝CE，FC∥AB，若AB＝3，CF＝5，则BD的长是 　2　．

【分析】由“AAS”可证△ADE≌△CFE，可得CF＝AD＝5，即可求解．
解：∵FC∥AB，
∴∠F＝∠D，∠A＝∠ACF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴CF＝AD＝5，
∴BD＝AD﹣AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 　7　cm．

【分析】先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案．
解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），
故答案为：7．
【点评】本题考查了翻折变换的性质以及三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．
19．等腰三角形的周长为13，其中一边长为5，则该等腰三角形的底边长为 　5或3　．
【分析】此题分为两种情况：5是等腰三角形的底边或5是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解：当5是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4，能够组成三角形；
当5是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3，能够组成三角形．
所以该等腰三角形的底边为5或3，
故答案为：5或3．
【点评】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，同时注意三角形的三边关系．
20．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为 　2　．

【分析】延长BF交AC于E，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到AE＝AB＝4，根据平行线的性质得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．
解：延长BF交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠AFE＝90°，
∵AF＝AF，
∴△ABF≌△AEF（ASA），
∴AE＝AB＝4，
∵FG∥AB，
∴∠BAF＝∠AFG，
∴∠GAF＝∠FAG，
∴AG＝FG，
∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝GE，
∴FG＝AE＝2，
故答案为：2．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF．
（1）求∠CBE的度数．
（2）若∠F＝27°，求证：BE∥DF．

【分析】（1）由三角形的外角性质可求得∠CBD＝126°，再由角平分线的定义即可求∠CBE的度数；
（2）结合（1）可求得∠CEB＝27°，利用同位角相等，两直线平行即可判定BE∥DF．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝126°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE＝∠CBD＝63°；
（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，
∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝27°，
∵∠F＝27°，
∴∠CEB＝∠F，
∴BE∥DF．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，平行线的判定，解答的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．
（1）在图中作出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于y轴对称（点A、B、C的对称点分别为A1、B1、C1）．
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于y轴的对称点即可；
（2）利用（1）中所画图形求解．
解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）A1（2，1），B1（3，﹣2），C1（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
23．某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，经过测量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少钱？

【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H．证明∠A＝30°，求出BH，再求出△ABC的面积，可得结论．
解：如图，过点B作BH⊥AC于点H．

∵∠ACD＝105°，
∴∠ACB＝75°，
∵AB＝AC＝40m，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°，
∵BH⊥AC，
∴BH＝AB＝20m，
∴S△ABC＝•AC•BH＝×40×20＝400（m2），
∵这种草皮每平方米a元，
∴购买这种草皮一共需要400a元．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度角的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是转化添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．如图1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于点F．
（1）求证：BD＝CE；
（2）如图2，连接AF，请直接写出图中所有的全等三角形．


【分析】（1）根据垂直得出∠CAD＝∠BEA＝90°，根据全等三角形的判定定理AAS可以证明△ADC≌△AEB，根据全等三角形的性质定理得出AD＝AE即可；
（2）根据垂直得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根据全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CEF，根据全等三角形的性质得出DF＝EF，BF＝CF，再根据全等三角形的判定定理证明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠CAD＝∠BEA＝90°，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB（AAS），
∴AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即BD＝CE；

（2）解：图中全等三角形有△ADC≌△AEB，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，
理由是：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠CEF＝90°，
在△BDF和△CEF中，
，
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴DF＝EF，BF＝CF，
根据SSS可以证明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，点D是BC边上一点，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于点E．
（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度数；
（2）过点E作EF∥AB，交BD于点F，求证：∠FEC＝3∠3．

【分析】（1）首先利用三角形外角的性质求得∠B＝40°，再利用三角形内角和求出∠ACB的度数，从而得出答案；
（2）设∠B＝x，则∠1＝x，利用平行线的性质和三角形内角和定理分别表示出∠FEC和∠3，从而解决问题．
【解答】（1）解：∵AD＝BD，
∴∠B＝∠1，
∵∠ADC＝∠B+∠1，
∴2∠B＝80°，
∴∠B＝40°，
∵∠BAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2＝∠3＝35°；
（2）证明：设∠B＝x，则∠1＝x，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠1＝x，
∴∠ACB＝90°﹣x，
∴∠2＝∠3＝45°﹣x，
∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠DCE）＝180°﹣（2x+45°﹣x）＝135°﹣x，
∴∠FEC＝∠FED+∠CED＝x+135°﹣x＝135°﹣x，
∴∠FEC＝3∠3．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，利用参数x分别表示出∠FEC和∠3是解题的关键．
26．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在AB边上，AD⊥CE交CE的延长线于点D．
（1）若∠BAC＝2∠DAE，求证：CE＝CB；
（2）如图2，连接BD，点F为CD的中点，延长BF交AC于点G，连接DG，若AG＝DG，求证：BD＝BC；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，点H为AB的中点，求线段DH的长．


【分析】（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT⊥AB于点T，设AH交CT于点O．证明∠CET＝∠CBT，可得结论；
（2）证明GB垂直平分线段CD即可；
（3）过点A作AJ⊥BC于点J，交CD于点Q，连接BQ，过点D作DR⊥AB于点R．解直角三角形求出DR，RH，再利用勾股定理，可得结论．
【解答】（1）证明：如图1中，过点A作AH⊥BC于点H，过点C作CT⊥AB于点T，设AH交CT于点O．

∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH，
∵AD⊥CD，CT⊥AB，
∴∠ADE＝∠CTE＝90°，
∵∠AED＝∠CET，
∴∠ECT＝∠EAD，
∵∠ATC＝∠AHC＝90°，∠AOT＝∠COH，
∴∠TCB＝∠BAH，
∵∠BAC＝2∠DAE，
∴∠BAH＝∠DAE，
∴∠ECT＝∠BCT，
∴∠ECT+∠CET＝90°，∠TCB+∠CBT＝90°，
∴∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB．

（2）证明：如图2中，

∵GA＝GD，
∴∠GAD＝∠GDA，
∵∠ADC＝90°，
∴∠GAD+∠ACD＝90°，∠ADG+∠GDC＝90°，
∴∠GDC＝∠GCD，
∴GD＝GC，
∵DF＝FC，
∴GB⊥CD，
∴BD＝BC；

（3）解：过点A作AJ⊥BC于点J，交CD于点Q，连接BQ，过点D作DR⊥AB于点R．

∵BD＝DC，∠DBC＝120°，
∴∠BCD＝∠BDC＝30°，
∵AB＝AC，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ，
∴QB＝QC，
∴∠QBC＝∠QCB＝30°，
∴∠BQD＝∠QBC+∠QCB＝60°，
∴∠DBQ＝90°，
∵∠BDQ＝30°，
∴QD＝2BQ＝2CQ，
∴DQ＝CD＝，BQ＝，DB＝BQ＝，
∵∠ADQ＝∠CJQ＝90°，∠AQD＝∠CQJ，
∴∠DAQ＝∠QCJ＝30°，
∴AD＝DQ＝，
∴AB＝AC＝＝＝，
设BR＝x，
∵DR2＝BD2﹣BR2＝AD2﹣AR2，
∴（）2﹣x2＝（）2﹣（﹣x）2，
∴x＝，
∴DR2＝DB2﹣BR2＝（）2﹣（）2＝，
∵BH＝AH＝，
∴RH＝﹣＝，
∴DH＝＝＝5．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
27．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC的顶点B、C在x轴上（C左B右），点A在y轴正半轴上，∠BAC＝120°，点O为BC的中点，AB＝8．
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，点D为AC上一点，点F为y轴上一点，AD＝AF，连接DF，∠BDE＝60°，DE交y轴于点E，设线段AD的长为t，线段OE的长为d，请用含t的式子表示d；
（3）在（2）的条件下，当点D与点C重合时，在CA的延长线上取点G，作GH⊥CA交x轴于点K，若GK＝AC，连接EH，过点A作AM⊥EH于点M，求点M的纵坐标．


【分析】（1）由线段垂直平分线的性质证出AC＝AB，由等腰三角形的性质得出∠ACB＝∠ABC，由直角三角形的性质求出OA的长，则可得出答案；
（2）证出△ADF为等边三角形，由等边三角形的性质得出∠ADF＝∠DFA＝60°，AD＝DF，证明△DFE≌△DAB（ASA），由全等三角形的性质得出EF＝AB＝8，则可得出答案；
（3）过点E作EN⊥GH，交GH的延长线于点N，连接CN，BE，FM，证明△CGK≌△ECA（AAS），由全等三角形的性质得出CG＝CE，证出△CEB为等边三角形，得出∠ABE＝90°，∠HBE＝90°，证明Rt△BHE≌Rt△NHE（HL），由全等三角形的性质得出∠BEH＝∠NEH，证出AM＝EM，由等腰三角形的性质可得出答案．
解：（1）∵AO⊥BC，O为BC的中点，
∴OA垂直平分BC，
∴AC＝AB，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠BAC＝120°，
∴∠ACB＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB＝4，
∴A（0，4）；
（2）∵AB＝AC，AO⊥BC，∠CAB＝120°，
∴∠CAF＝60°，
∵AD＝AF，
∴△ADF为等边三角形，
∴∠ADF＝∠DFA＝60°，AD＝DF，
又∵∠EDB＝60°，
∴∠EDB﹣∠FDB＝∠ADF﹣∠FDB，
∴∠EDF＝∠ADB，
∵∠DFE＝∠DAB＝120°，
∴△DFE≌△DAB（ASA），
∴EF＝AB＝8，
∵AD＝AF＝t，
∴AE＝t+8，
∴OE＝AE﹣OA＝t+8﹣4＝t+4，
即d＝t+4；
（3）过点E作EN⊥GH，交GH的延长线于点N，连接CN，BE，FM，

∵∠BCE＝60°，∠GCK＝30°，
∴∠GCE＝90°，
∴∠CEA＝30°，
∵GH⊥CA，
∴∠G＝90°，
∴∠G＝∠ACE，∠GCK＝∠CEA，
又∵GK＝AC，
∴△CGK≌△ECA（AAS），
∴CG＝CE，
∵EN⊥GH，∠G＝∠ACE＝90°，四边形的内角和为360°，
∴∠CEN＝90°，
∴∠GNC＝∠ENC＝45°，
∴∠ECN＝∠ENC＝45°，
∴CE＝EN，
∵OC＝OB，AE⊥BC，
∴CE＝BE，
∴△CEB为等边三角形，
∴∠ABE＝90°，∠HBE＝90°，
∵BE＝EN，EH＝EH，
∴Rt△BHE≌Rt△NHE（HL），
∴∠BEH＝∠NEH，
∴∠AEH＝45°，
∵AM⊥EH，
∴∠MAE＝∠AEM＝45°，
∴AM＝EM，
∵AE＝16，AF＝8，
∴AF＝EF＝8，
∴OF＝4，MF⊥AE，
∴点M的纵坐标为﹣4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．