四川省成都实验外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份四川省成都实验外国语学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省成都实验外国语学校八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题只有一项符合题目要求）
1．在0，﹣，π，这四个数中，是无理数的是（　　）
A．π B． C．0 D．
2．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3）
3．已知三条线段的长度分别为如下数据，那么以这三条线段为边不能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1， B．，， C．6，8，10 D．5，12，13
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
6．估算的运算结果应在哪两个整数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
7．将点P（m+2，3）向右平移3个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣5
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　）

A． B．8 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．16的算术平方根是　 　；﹣27的立方根是　 　．
10．平面内点A（﹣1，4）到y轴的距离是 　 　．
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．已知x+4的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3，求y2﹣x2的算术平方根为 　 　．
13．如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△DEC＝　 　．

三、解答题（本大题共6个小题，共48分）
14．（18分）（1）计算：﹣；
（2）计算：；
（3）计算：（﹣1）（+1）﹣（）﹣2﹣（π﹣2）0；
（4）计算：﹣6﹣2x；
（5）解方程：（2x﹣1）3﹣27＝0；
（6）解方程：﹣4＝0．
15．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2
（2）x2﹣3xy+y2．
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出三角形ABC的面积．

17．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．

18．已知A（a，0），B（b，0），C（0，c）．且满足|a+1|+＝0，（c﹣2）2≤0，平面内有一点D（m，2）（其中m是常数），请回答下列问题：
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D在第二象限，连接BC，请用含m的代数式表示四边形ADCB的面积S四边形ADCB，并求出当S四边形ADCB＝4S△ABC时，m的值；
（3）若点D是由点C沿x轴正方向平移AB距离得到的，连接CD、BD，请问在四边形ACDB边上是否存在点P使得△APC为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分），
19．若a＝+1，则a2﹣2a+10的值为 　 　．
20．已知a+b＝﹣4，ab＝2，则＝　 　．
21．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　 　．

22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，现将线段CA绕点B逆时针旋转得到A′C′，若A′C′恰好与BC平行，与AB交于点D，则点C′到AB的距离为 　 　；若点A恰好在A′C′上，则点C′到AB的距离为 　 　．

23．在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线可以记作直线y＝m，平行于y轴的直线可以记作直线x＝m，我们给出如下的定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得点P′，则称点P′为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点M（2，3）关于直线x＝m对称的点为M1，则当三角形P1Q1M1的面积为1时，则m＝　 　．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
OA22＝（）2+1＝2，S1＝（S1是Rt△OA1A2的面积）；
OA32＝（）2+1＝3，S2＝（S2是Rt△OA2A3的面积）；
OA42＝（）2+1＝4，S3＝（S3是Rt△OA3A4的面积）；
……
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：OAn2＝　 　，Sn＝　 　；
（2）求+++...+的值．

25．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是射线AB上一个动点，连接DE并延长交射线CB于点F，将△ADE沿直线DE翻折到△A′DE，延长DA′与直线BC交于点M．
（1）求证：DM＝MF；
（2）当点E是边AB的中点时，求CM的长；
（3）当BF＝2时，直接写出BM的长．


26．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．

（1）直接写出点B的纵坐标；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 　 　；连接AD交OB于E，则OE的长为 　 　．
（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边△PAQ，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）





参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题只有一项符合题目要求）
1．在0，﹣，π，这四个数中，是无理数的是（　　）
A．π B． C．0 D．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
解：A．π是无理数，故本选项符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意3.14是有限小数，属于有理数．
2．下列各点中，在第四象限的点是（　　）
A．（5，3） B．（5，﹣3） C．（﹣5，﹣3） D．（﹣5，3）
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
解：A．（5，3）在第一象限，故本选项不合题意；
B．（5，﹣3）在第四象限，故本选项符合题意；
C．（﹣5，﹣3）在第三象限，故本选项不合题意；
D．（﹣5，3）在第二象限，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．已知三条线段的长度分别为如下数据，那么以这三条线段为边不能构成直角三角形的是（　　）
A．1，1， B．，， C．6，8，10 D．5，12，13
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
解：A、∵12+12＝（）2，
∴以1、1、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵（）2+（）2≠（）2，
∴以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵62+82＝102，
∴以6、8、10为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+122＝132，
∴以5、12、13为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：一个三角形的三边a、b、c如果满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
解：A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．原式＝2，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝＝2，所以C选项不符合题意；
D．原式＝＝，所以D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
5．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、，是最简二次根式；
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
6．估算的运算结果应在哪两个整数之间（　　）
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【分析】先估算，判断出其在哪两个整数之间，再根据不等式的性质得到3+在哪两个整数之间，即可得出答案．
解：∵＝3，＜＜，
∴3＜＜4，
∴6＜3+＜7，
∴的值在6和7之间．
故选：D．
【点评】此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键．
7．将点P（m+2，3）向右平移3个单位长度到P′，且P′在y轴上，那m的值是（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣1 D．﹣5
【分析】将点P（m+2，3）向右平移1个单位长度后点P′的坐标为（m+5，3），根据点P′在y轴上知m+5＝0，据此知m＝﹣5．
解：将点P（m+2，3）向右平移3个单位长度后点P′的坐标为（m+5，3），
∵点P′在y轴上，
∴m+5＝0，
解得：m＝﹣5，
故选：D．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了y轴上的点横坐标为0的特征．
8．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　）

A． B．8 C． D．
【分析】连接AD，根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，BD＝，由勾股定理求出AD的长，在Rt△ABD中，根据等面积法得出等式求解即可．
解：如图，连接AD，

∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝，
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝8，
∵DE⊥AB，
∴S，
∴DE＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．16的算术平方根是　4　；﹣27的立方根是　﹣3　．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根；一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：∵42＝16，（﹣3）3＝﹣27，
∴16的算术平方根是 4；﹣27的立方根是﹣3．
故答案为：4；﹣3．
【点评】本题考查了算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
10．平面内点A（﹣1，4）到y轴的距离是 　1　．
【分析】根据点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值解答即可．
解：点A（﹣1，4）到y轴的距离是：|﹣1|＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查点的坐标．解题的关键是明确点到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
解：由题意知x﹣1≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
12．已知x+4的平方根是±3，3x+y﹣1的立方根是3，求y2﹣x2的算术平方根为 　12　．
【分析】先根据平方根求出x的值，再根据立方根求出y的值，然后代入求值即可求出答案．
解：由题意可知：x+4＝9，
解得：x＝5，
3x+y﹣1＝27，
解得y＝13，
∴y2﹣x2＝132﹣52＝144，
∵122＝144，
∴y2﹣x2的算术平方根为12，
故答案为：12．
【点评】本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的概念，本题属于基础题型．
13．如图，把直角△ABC沿AD折叠后，使点B落在AC边上点E处，若AB＝6，AC＝10，则S△DEC＝　6　．

【分析】先由∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，根据勾股定理求得BC＝8，再由折叠得AE＝AB＝6，DE＝DB，∠AED＝∠B＝90°，则∠CED＝90°，CE＝4，即可根据勾股定理列方程得42+DE2＝（8﹣DE）2，求得DE＝3，即可求得S△DEC＝6．
解：∵∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，
∴BC＝＝＝8，
由折叠得AE＝AB＝6，DE＝DB，∠AED＝∠B＝90°，
∴∠CED＝180°﹣∠AED＝90°，CE＝AC﹣AB＝4，
∵CE2+DE2＝DC2，且DC＝8﹣DB＝8﹣DE，
∴42+DE2＝（8﹣DE）2，
∴DE＝3，
∴S△DEC＝CE•DE＝×4×3＝6，
故答案为：6．
【点评】此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，在Rt△DEC中根据勾股定理列出方程42+DE2＝（8﹣DE）2是解题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共48分）
14．（18分）（1）计算：﹣；
（2）计算：；
（3）计算：（﹣1）（+1）﹣（）﹣2﹣（π﹣2）0；
（4）计算：﹣6﹣2x；
（5）解方程：（2x﹣1）3﹣27＝0；
（6）解方程：﹣4＝0．
【分析】应用平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算方法进行计算即可得出答案．
解：（1）原式＝9﹣0.5﹣
＝7.75；
（2）原式＝2+
＝3﹣2；
（3）原式＝（）2﹣1﹣﹣﹣1
＝5﹣1﹣9﹣1
＝﹣6；
（4）原式＝4+5﹣3﹣2
＝4；
（5）（2x﹣1）3＝27，
2x﹣1＝3，
x＝1；
（6）＝4，
（x+1）2＝12，
x+1＝±2，
x＝2﹣1，x＝﹣2﹣1．
【点评】本题主要考查了平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂，熟练掌握平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算方法进行求解是解决本题的关键．
15．已知：x＝+1，y＝﹣1，求下列代数式的值：
（1）x2﹣y2
（2）x2﹣3xy+y2．
【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
解：（1）原式＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4；
（2）原式＝（x﹣y）2﹣xy＝22﹣（+1）（﹣1）＝4﹣1＝3．
【点评】本题考查了因式分解，利用公式是解题关键．
16．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请求出三角形ABC的面积．

【分析】（1）先作出△ABC 关于x轴对称的顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
（2）依据割补法即可得到△ABC的面积．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．

（2）＝．
【点评】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，掌握作一个图形的对称图形的步骤是解题的关键．
17．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了多少米．

【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．
解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，
∴AB＝＝＝15（米），
∵CD＝10（米），
∴AD＝＝＝6（米），
∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），
答：船向岸边移动了9米，
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型．领会数形结合的思想的应用．
18．已知A（a，0），B（b，0），C（0，c）．且满足|a+1|+＝0，（c﹣2）2≤0，平面内有一点D（m，2）（其中m是常数），请回答下列问题：
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点D在第二象限，连接BC，请用含m的代数式表示四边形ADCB的面积S四边形ADCB，并求出当S四边形ADCB＝4S△ABC时，m的值；
（3）若点D是由点C沿x轴正方向平移AB距离得到的，连接CD、BD，请问在四边形ACDB边上是否存在点P使得△APC为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．


【分析】（1）利用非负数的性质求出a，b，c的值可得结论；
（2）证明CD∥AB，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解；
（3）分四种情形：当点P在CD上，CA＝AP1时，当点P在AB上时，AC＝AP2，P3A＝P3C，CA＝CP4时，分别求解即可．
解：（1）∵|a+1|+＝0，（c﹣2）2≤0，
又∵|a+1|≥0，≥0，（c﹣2）2≥0，
∴a＝﹣1，b＝3，c＝2，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）；

（2）∵D（m，2），C（0，2），
∴CD∥AB，
∴S四边形ADCB＝（﹣m+4）×2＝﹣m+4，
∵S四边形ADCB＝4S△ABC，
∴﹣m+4＝4××4×2，
∴m＝﹣12；

（3）∵OA＝1，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝＝，
当点P在CD上，CA＝AP1时，P1（，2）．
当点P在AB上时，AC＝AP2，可得P2（﹣1，0）．
当P3A＝P3C时，设P3（t，0），则有（t+1）2＝22+t2，
∴t＝，
∴P3（，0）．
当CA＝CP4时，可得P4（1，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（，2）或（﹣1，0）或（，0）或（1，0）．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分），
19．若a＝+1，则a2﹣2a+10的值为 　11　．
【分析】利用配方法把a2﹣2a+10变形为（a﹣1）2+9，然后把a的值代入计算即可．
解：∵a＝+1，
∴a2﹣2a+10
＝a2﹣2a+1+9
＝（a﹣1）2+9
＝（+1﹣1）2+9
＝2+9
＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
20．已知a+b＝﹣4，ab＝2，则＝　2　．
【分析】根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．
解：原式的平方＝+2
＝，
当a+b＝﹣4，ab＝2时，
原式＝+2
＝8，
由题意可知结果为正数，所以
＝2
故答案为：2
【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
21．如图，已知一块四边形草地ABCD，其中∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，AB＝10m，CD＝5m，则这块土地的面积为 　37.5m2　．

【分析】分别延长AD，BC交于点E，证△ABE和△CDE都是等腰直角三角形，然后求出△ABE和△CDE的面积即可求解．
解：如图，分别延长AD，BC交于点E．

∵∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠DCE＝∠DEB＝∠A＝45°，
∴AB＝BE，CD＝DE，
∵AB＝10m，CD＝5m，
∴BE＝10m，DE＝5m，
∵S△ABE＝AB•BE＝×10×10＝50（m2），S△CDE＝CD•DE＝×5×5＝12.5（m2），
∴四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CDE＝50﹣12.5＝37.5（m2）
即这块土的面积为37.5m2．
故答案为：37.5m2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积＝S△ABE﹣S△CED来求解．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，现将线段CA绕点B逆时针旋转得到A′C′，若A′C′恰好与BC平行，与AB交于点D，则点C′到AB的距离为 　　；若点A恰好在A′C′上，则点C′到AB的距离为 　　．

【分析】当A'C'∥BC时，连接A'B，C'B，由面积法可得BD＝＝，用勾股定理得C'D＝＝，即C′到AB的距离为；当点A恰好在A′C′上，过B作BK⊥A'C'于K，过C'作C'H⊥AB交BA延长线于H，由S△ABC'＝S△A'BC'﹣S△AA'B＝，即有×3•C'H＝，故C'H＝，即点A恰好在A′C′上，则点C′到AB的距离为．
解：当A'C'∥BC时，连接A'B，C'B，如图：

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，A'C'∥BC，
∴∠A'DB＝90°＝∠C'DB，AC＝＝5，
∵将线段CA绕点B逆时针旋转得到A′C′，
∴A'B＝AB＝3，BC'＝BC＝4，∠A'BC'＝∠ABC＝90°，A'C'＝AC＝5，
∵2S△A'BC'＝A'B•BC'＝A'C'•BD，
∴BD＝＝＝，
在Rt△BC'D中，
C'D＝＝＝，
∴C′到AB的距离为；
当点A恰好在A′C′上，过B作BK⊥A'C'于K，过C'作C'H⊥AB交BA延长线于H，如图：

同上可得BK＝，
∴A'K＝＝＝，
∵A'B＝AB＝3，BK⊥A'C'，
∴AA'＝2A'K＝，
∴S△ABC'＝S△A'BC'﹣S△AA'B＝×3×4﹣××＝，
∵S△ABC'＝AB•C'H，
∴×3•C'H＝，
∴C'H＝，
∴点A恰好在A′C′上，则点C′到AB的距离为，
故答案为：，．
【点评】本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的旋转，能用面积法解决问题．
23．在平面直角坐标系xOy中，经过点M（0，m）且平行于x轴的直线可以记作直线y＝m，平行于y轴的直线可以记作直线x＝m，我们给出如下的定义：点P（x，y）先关于x轴对称得到点P1，再将点P1关于直线y＝m对称得点P′，则称点P′为点P关于x轴和直线y＝m的二次反射点．已知点P（2，3），Q（2，2）关于x轴和直线y＝m的二次反射点分别为P1，Q1，点M（2，3）关于直线x＝m对称的点为M1，则当三角形P1Q1M1的面积为1时，则m＝　1或3　．
【分析】根据对称性质由已知点坐标求得P1，Q1，M1的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得m的值便可．
解：根据题意得，P1（2，2m+3），Q1（2，2m+2），M1（2m﹣2，3），

∴P1Q1＝|2m+3﹣2m﹣2|＝1，PM1＝|2m﹣2﹣2|＝|2m﹣4|，
∵△P1Q1M1的面积为1，
∴，
解得m＝1或3，
故答案为：1或3．
【点评】本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出P1，Q1的坐标．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
OA22＝（）2+1＝2，S1＝（S1是Rt△OA1A2的面积）；
OA32＝（）2+1＝3，S2＝（S2是Rt△OA2A3的面积）；
OA42＝（）2+1＝4，S3＝（S3是Rt△OA3A4的面积）；
……
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：OAn2＝　n　，Sn＝　　；
（2）求+++...+的值．

【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．
（2）化简整理后代入求值．
解：（1）由已知条件可知OAn2＝n，Sn＝；
故答案为：n；；
（2）原式＝++…+，
＝++…+
＝2×[++…+]
＝2×[﹣+﹣+…+﹣）
＝2×（﹣1）
＝2﹣2．
【点评】此题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
25．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是射线AB上一个动点，连接DE并延长交射线CB于点F，将△ADE沿直线DE翻折到△A′DE，延长DA′与直线BC交于点M．
（1）求证：DM＝MF；
（2）当点E是边AB的中点时，求CM的长；
（3）当BF＝2时，直接写出BM的长．


【分析】（1）根据折叠得∠ADE＝∠A'DE，再由平行线的性质得∠ADE＝∠DFB，得∠MDF＝∠DFM，可得结论；
（2）连接ME．利用HL证明Rt△MBE≌Rt△MA'E，得MA'＝MB，设MA'＝MB＝x，则MC＝3﹣x，DM＝3+x，在Rt△DMC中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解方程可得答案；
（3）分点F在B点上方或在B点下方两种情形，分别利用勾股定理列方程可得答案．
【解答】（1）证明：∵将△ADE沿直线DE翻折到△A′DE，
∴∠ADE＝∠A'DE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DFB，
∴∠MDF＝∠DFM，
∴DM＝MF；
（2）解：连接ME．

∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝EA'，
在Rt△MBE和Rt△MA'E中，
，
∴Rt△MBE≌Rt△MA'E（HL），
∴MA'＝MB，
设MA'＝MB＝x，
则MC＝3﹣x，DM＝3+x，
在Rt△DMC中，由勾股定理得，
42+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝，
∴BM＝，
∴CM＝3﹣＝；
（3）解：当点F在B点上方时，如图1，设BM＝x，
则DM＝MF＝x+2，CM＝3﹣x，
在Rt△MDC中，由勾股定理得，
42+（3﹣x）2＝（2+x）2，
解得x＝2.1，
∴CM＝0.9，
当点F在点B的下方时，由（1）同理得，FM＝DM，

∵BF＝2，
∴CF＝1，
设CM＝x，则FM＝DM＝x+1，
在Rt△MDC中，由勾股定理得，
42+（3﹣x）2＝（1+x）2，
解得x＝3，
∴CM＝3，
综上：CM＝0.9或3．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理列方程是解题的关键．
26．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，△OAB为等边三角形．

（1）直接写出点B的纵坐标；
（2）如图2，OC⊥AB于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 　﹣6　；连接AD交OB于E，则OE的长为 　2　．
（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边△PAQ，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．（请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解）



【分析】（1）由等边三角形的性质可得AH＝OH＝4，即可求解；
（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得AC＝CH，由等腰三角形的性质可得AG＝GH＝2，可求OG＝6，可得点C纵坐标，即可求点D纵坐标，由“AAS”可证△AEO≌△DEN，可得OE＝EN＝ON＝2；
（3）由“SAS”可证△AOP≌△ABQ，可得∠AOB＝∠ABQ＝90°，即点Q在过点B且垂直AB的直线BM上运动，则当OQ'⊥BM时，OQ'有最小值，由直角三角形的性质可求OQ'＝4，Q'K＝2，即可求解．
解：（1）如图1，过点B作BH⊥AO于H，

∵点A的坐标为（0，8），
∴OA＝8，
∵△OAB为等边三角形，BH⊥AO，
∴AO＝BO＝AB＝8，AH＝OH＝4，
∴点B的纵坐标为4；
（2）过点B作BH⊥AO于H，过点C作CG⊥AO于G，连接CH，连接CD交BO于N，

∵OC⊥AB，△OAB是等边三角形，
∴AC＝BC，
∵BH⊥AO，
∴CH＝AC＝BC＝4，
又∵CG⊥AH，
∴AG＝GH＝2，
∴OG＝6，
∴点C的纵坐标为6，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴点D的纵坐标﹣6，CD⊥x轴，
∴CD＝12，CD∥AO，
∴∠D＝∠OAE，∠BCN＝∠BAO＝60°，∠BNC＝∠AOB＝60°，
∴△CNB是等边三角形，
∴CN＝BC＝4＝BN＝ON，
∴ND＝8＝AO，
又∵∠AEO＝∠DEN，
∴△AEO≌△DEN（AAS），
∴OE＝EN＝ON＝2，
故答案为：﹣6，2；
（3）如图3，当点Q在AP的右侧时，连接BQ，延长QB交x轴于M，

∵△PAQ是等边三角形，
∴PA＝AQ，∠PAQ＝∠BAO＝60°，
∴∠PAO＝∠QAB，
又∵AO＝AB，
∴△AOP≌△ABQ（SAS），
∴∠AOB＝∠ABQ＝90°，
∴点Q在过点B且垂直AB的直线BM上运动，
∴当OQ'⊥BM时，OQ'有最小值，
过点Q'作Q'K⊥OM于K，
∵∠OBQ'＝180°﹣90°﹣60°＝30°，OQ'⊥BM，
∴OQ'＝OB＝4，∠BOQ'＝60°，
∴∠MOQ'＝30°，
∵Q'K⊥OM，
∴Q'K＝OQ'＝2，
∴Q'的纵坐标为﹣2，
则当OQ最短时，Q点的纵坐标为﹣2．
当点Q''在AP的左侧时，同理可求Q''点的纵坐标为﹣2．
综上所述：当OQ最短时，Q点的纵坐标为﹣2．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．