人教版八年级下册17.1 勾股定理课时作业

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
17.1 勾股定理
题型导航

勾
股
定
理

用勾股定理理解三角形
题型1
勾股定理与网格问题
题型2
勾股定理与折叠问题
题型3
勾股定理的应用
题型4


题型变式

【题型1】用勾股定理理解三角形
1．（北京市通州区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．
【详解】
解：∵，，，
∴根据勾股定理，
∵，
∴S△ABC=，即，
解得：．
故选择D．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．

【变式1-1】
2．（2022·云南广南·八年级期末）△ABC中，AB＝，AC＝10，BC边上的高AD＝6，则BC边长为 __________．
【答案】10或26
【分析】
根据△ABC中∠ACB分锐角和钝角两种：①如图1，∠ACB是钝角时，根据勾股定理计算BD和CD的长可得BC的值；②如图2，∠ACB是锐角时，根据勾股定理计算CD=10，BD=18，根据BC=BD-CD代入可得结论．
【详解】
解：有两种情况：①如图1，∵AD是△ABC的高，

∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD+CD=18+8=26；
②如图2∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
由勾股定理得：BD=，CD=，
∴BC=BD-CD=18-8=10，


综上所述，BC的长为26或10；
故答案为26或10．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是关键，并注意运用了分类讨论的思想解决问题．


【题型2】勾股定理与网格问题
1．（2022·全国·八年级）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求网格上的三角形ABC的面积和周长．

【答案】面积是7，周长是
【分析】
利用面积和差和勾股定理求解即可．
【详解】
解：△ABC的面积=；
由勾股定理得：
，
，
，
所以△ABC的周长为．
【点睛】
本题考查了勾股定理，解题关键是熟练运用勾股定理求线段长．

【变式2-1】
2．（2021·广东·深圳市龙华区外国语学校八年级阶段练习）如图，每个小正方形的边长是1，
①在图①中画出一个斜边是的直角三角形；
②在图②中画出一个面积是8的正方形．

【答案】①见解析；②见解析
【分析】
①利用数形结合的思想画出直角三角形即可．
②利用数形结合的思想画出边长为2的正方形即可．
【详解】
解：①如图①中，△ABC即为所求．
②如图②中，正方形ABCD即为所求．

【点睛】
此题考查了勾股定理和网格的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和网格的性质．
【题型3】勾股定理与折叠问题
1．（2021·山东城阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝16cm，D、E分别是边BC、AB上的任意一点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′，如果点B′和顶点A重合，则CD＝______cm．


【答案】
【分析】
设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．
【详解】
解：设CD＝xcm，则BD＝（16﹣x）cm，
由折叠得：AD＝BD＝16﹣x，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AC2＝AD2，
∴x2+122＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
即CD＝（cm）．
故答案为：．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
【变式3-1】
2．（2021·河南·南阳市第三中学九年级阶段练习）如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D点为AC边上一点，E为AB边上一动点，将△ADE沿着DE折叠，点A的对应点A'落在△ABC的边上，若AD＝2，则线段A'C的长度为 _____．

【答案】或
【分析】
分当点在AB上时和当点在BC上时两种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，当点在AB上时，
由折叠的性质可得，，
∵∠ACB=90°，AC=BC=3，
∴CD=AC-AD=1，∠A=∠B=45°，
∴，
∴，
∴；

如图所示，当点在BC上时，
由折叠的性质可得，CD=AC-AD=1，
∴，
∴综上所述，或，
故答案为：或．

【点睛】
本题主要考查了勾股定理与折叠，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

【题型4】勾股定理的应用
1．（2021·湖北咸丰·八年级期末）小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2m，当他把绳子的下端拉开8m后，下端刚好接触到地面，则学校旗杆的高度为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】C
【分析】
根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
【详解】
解：根据题意画出图形如下所示：

则BC＝8m，
设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+2）m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
故AB＝15m，
即旗杆的高为15m．
故选：C．
【点睛】
此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．


【变式4-1】
2．（2021·广东·深圳市龙华区外国语学校八年级阶段练习）如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．

【答案】树高AB为m．
【分析】
设出长为，在中，利用勾股定理，列方程求，最后根据 与AB的长度关系，求出树高AB即可．
【详解】
根据题意表示出AD，AC，BC的长进而利用勾股定理得出AD的长，即可得出答案．
解：由题意可得出：BD＝10m，BC＝6m，设AD ＝xm，则AC＝（16﹣x）m，
在中，有勾股定理可得：AB2+BC2＝AC2，
即（10+x）2+62＝（16﹣x）2，
解得：x＝，
故AB＝（m），
答：树高AB为m．
【点睛】
本题主要是考查了勾股定理的应用，将实际问题抽象成几何问题求解，并利用勾股定理列方程，求边长，是解决本题的关键．



专项训练

一．选择题

1．（2022·四川仁寿·）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（ ）

A．20 B．27 C．25 D．49
【答案】B
【分析】
根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，得出CG＝KG，CF＝DG＝KF，再根据S1＝（CG+DG）2，S2＝GF2，S3＝（KF﹣NF）2，S1+S2+S3＝3GF2，即可求解．
【详解】
解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG•DG
=CG2+CF2+2CG•DG
=GF2+2CG•DG，
S2=GF2，
S3=（KF-NF）2，
=KF2+NF2-2KF•NF
=KF2+KG2-2DG•CG
=FG2-2CG•DG，
∵正方形EFGH的边长为3，
∴GF2=9，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+FG2-2CG•DG=3GF2=27，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质等知识，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=27是解题的关键．
2．（2021·浙江·义乌市绣湖中学教育集团）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC，BC为斜边作三个等腰直角△ABD，△ACE，△BCF，图中阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，S4，若已知Rt△ABC的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（　　）


A．S4 B．S1+S4﹣S3 C．S2+S3+S4 D．S1+S2﹣S3
【答案】A
【分析】
设AC=a，BC=b，由勾股定理分别求出AE、EC、CF、BF、AD、BD、ED、DC的值，再根据三角形面积逐项判断即可．
【详解】
解：设AC=a，BC=b，
∴S△ABC=ab，
AB=，
在等腰直角三角形中，
AE=EC=，
CF=BF=，
AD=BD=，
在Rt△AED中，
ED=，
DC=EC-ED=，
A：S4=AE•ED=•b•a=ab=•ab=•S△ABC，
已知Rt△ABC的面积，可知S4，
故S4能求出确切值；
B：设AC与BD交于点M，

则S3+S△ADM=S△ADC=•CD•AE=×（a-b）×a=，
又∵S1+S△ADM=S△ADB=•AD2=•=，
∴（S1+S△ADM）-（S3+S△ADM）=S1-S3=-==，
则S1-S3与b有关，
∴求不出确切值：
C：设AC交BD于点M，则S△BFD=FD•BF=•a•b=，
∴S△ADM+S3=•（a-b）•a=（a2-abS△BCM+S3=S△BCD=•CD•BF=•（a-b）•b=（ab-b2），
S△ADM+S1=S△ADB=（a2+b2），
S△BCM+S1=S△ABC，
S2=BF2=•=，
S2+S3+S4=S梯形AEFB-S△ABD-S△ABC+S1，
∴S2+S3+S4=S1
∵S1无法确定，
∴无法确定C；
D：由B选项过程得S1-S3=，
又∵S2=•b2，
得到：S1+S2-S3=b2+ab=b2+S△ABC，
此时S1+S2-S3与b有关，无法求出确切值．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理和直角三角形面积公式，关键是对知识的掌握和运用．
3．（2021·广东·深圳市龙华区外国语学校）如图，数轴上点A所表示的数是（　　）

A． B．﹣+1 C．+1 D．﹣1
【答案】D
【分析】
先根据勾股定理计算出BC＝，则BA＝BC＝，然后计算出AD的长，接着计算出OA的长，即可得到点A所表示的数．
【详解】
解：如图，

BD＝1﹣（﹣1）＝2，CD＝1，
∴BC＝＝＝，
∴BA＝BC＝，
∴AD＝﹣2，
∴OA＝1+﹣2＝﹣1，
∴点A表示的数为﹣1．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了勾股定理，实数与数轴的关系，熟练掌握勾股定理，实数与数轴的关系是解题的关键．
4．（2021·江苏·江阴市璜塘中学）在平面直角坐标系中，已知点A（－2，5），点B（1，1），则线段AB的长度为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
根据题意画出点的位置，然后根据勾股定理计算即可．
【详解】
解：的位置如图所示：


过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，
和交于点，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，勾股定理，根据题意构建直角三角形，运用勾股定理解题是关键．
5．（2021·湖北咸丰·）已知一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，则斜边边长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】
已知两直角边边长分别为6和8，利用勾股定理求斜边即可．
【详解】
解： ∵一个直角三角形两直角边边长分别为6和8，斜边边长==10，
∴斜边边长为10．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中明确直角边或斜边，直接应用勾股定理，如果条件不明确时那条边是斜边，要注意讨论．
6．（2021·山东阳信·）在中，的对边分别为，，则c的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．4或
【答案】D
【分析】
根据是直角边或斜边分别根据勾股定理计算即可；
【详解】
在中，的对边分别为，
当是一条直角边时，；
当是斜边时，；
∴c的长为4或．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键．


二、填空题
7．（2021·上海民办华二宝山实验学校）已知在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC边上的高为，那么BC的长是_____．
【答案】4cm或2cmcm或4cm

【分析】
首先应分两种情况进行讨论，∠C是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理求得BD，CD的长，当∠C是锐角时，BC＝BD+CD；当∠C是钝角时，BC＝BD﹣CD，据此即可求解．
【详解】
解：在直角△ABD中，
在直角△ACD中，
当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上，

BC＝BD+CD＝3+1＝4；
当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2），

BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2cm．
则BC的长是4cm或2cm．
故答案是：4cm或2cm．
【点睛】
本题主要考察了勾股定理的应用，分类讨论三角型的形状是解题的关键．
8．（2021·广东·道明外国语学校）如图，在中，∠A是直角，AB=3，AC=3，则BC的长为________．

【答案】
【分析】
根据勾股定理可直接进行求解．
【详解】
解：在中，∠A是直角，AB=3，AC=3，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9．（2021·山东阳信·）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为 _____．

【答案】79
【分析】
根据给出的数据找出规律：，，，由此求出的值，即可求出答案．
【详解】
由题可得：，，，
，，，
，，，
……，
∴，，，
∴当时，，
∴，，
∴，
故答案为：79．
【点睛】
本题考查勾股定理，根据题目给出的数据找出规律是解题的关键．
10．（2021·安徽亳州·）如图，将一副三板按图所示放置，∠DAE＝∠ABC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°，点E在AC上，过点A作AF∥BC交DE于点F，则＝__________________．

【答案】
【分析】
过点F作FM⊥AD于点M，由题意易得，则有，然后可得，，进而可得，最后问题可求解．
【详解】
解：过点F作FM⊥AD于点M，如图所示：

∵∠DAE＝∠ABC＝90°，
∴FM∥AC，
∴，
∵∠C＝30°，AF∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵∠D＝45°，
∴都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形及含30度直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
11．（2021·四川简阳·）如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝3，MN＝4，则BN的长为______．

【答案】5
【分析】
分两种情况讨论：当为直角边时，当为斜边时，则为直角边，再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：当为直角边时，

当为斜边时，则为直角边，

故答案为：或
【点睛】
本题考查的是新定义情境下的勾股定理的应用，理解新定义，再分类讨论是解本题的关键.
12．（上海市浦东新区多校联考2021-2022学年八年级上学期期末质量检测数学试题）已知：点A的坐标为，点B坐标为，那么点A和点B两点间的距离是______．
【答案】5
【分析】
根据两点间距离公式求解即可．
【详解】
∵点A的坐标为，点B坐标为，
∴点A和点B两点间的距离是．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查两点间距离，若，，则两点间的距离是，掌握两点间距离公式是解题的关键．

三、解答题
13．（2021·辽宁法库·）如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．E为BC上一点，ED平分∠AEC，求：点A到DE的距离．

【答案】3
【分析】
根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE＝∠AED，根据等角对等边，即可求得AE的长，在直角△ABE中，利用勾股定理求得BE的长．
【详解】
解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝10，AB＝CD＝6．∠B＝∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠CED，
∵ED平分∠AEC，
∴∠AED＝∠CED，
∴∠AED＝∠ADE，
∴AD＝AE＝10，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
BE＝＝＝8，
∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DE＝＝＝2，
设点A到DE的距离为h，
则AD•CD＝DE•h，
∴h＝＝3．
答：点A到DE的距离为3．
【点睛】
本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义三角形面积公式及勾股定理是解题关键．
14．（2021·浙江·温州市第二中学）如图，RtABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，P是从A点出发的动点，沿若A-B-C-A在三边上运动一周，速度为每秒2cm．设P点的运动时间为t秒．
（1）当t＝6.5秒时，求出CP的长．
（2）是否存在t的值，使得时间为t秒时ABP的面积，与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t＝ 时，ACP为等腰三角形（直接给出答案）．


【答案】（1）5cm；（2）t＝5.5；（3）3或5.4或6或6.5．
【分析】
（1）先根据速度×时间求出点P的路程，由勾股定理求出BC的长，进而求出CP的长；
（2）由等面积法求得AD的长，要是t秒时ABP的面积与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等可以判断出点P在BC 上，分别表示出ABP、ACP的面积，列出关于t的方程，解除方程即可；
（3）分别讨论点P在AB、BC、上存在的所有情况即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵P点速度为每秒2cm．
∴运动时间为t＝6.5秒时，点P的路程为：2×6.5＝13cm．
∵RtABC中，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm，
∴cm，
∴AB+BC＝8+10＝18cm，
∴CP＝18－13＝5cm．
（2）当t＝5.5秒时，使得时间为t秒时ABP的面积，与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等，理由如下：
过点A作AD⊥BC于点D，


∴，
即6×8＝10AD，解得AD＝cm，
使得时间为t秒时ABP的面积，与时间为（t+2）秒时ACP的面积相等，
∴点P在BC上
∴4≤t≤7，
∴，

即，
，
解得：t＝5.5秒
（3）①当点P在BC上时，如图，


要使ACP为等腰三角形，
∴AC＝AP1，即2t＝6，解得：t＝3，
②当点P在BC上时，
当AC＝AP时，如图


AC＝AP2＝6，AD＝4.8，
∴DP2＝DC＝，
∴AB+BP2＝AB+BC－P2C＝18－3.6－3.6＝10.8cm，
∴2t＝10.8，
解得:t＝5.4，
当AC＝CP时，


此时AC＝CP3＝6cm，
∴BP3＝10－6＝4cm，
∴AB+BP3＝8+4＝12cm，
∴2t＝12，
解得：t＝6，
当PC＝PA时，过点P4作P4G⊥AC于点G，


∴AB//P4G，AG＝CG，
∴点P4为BC的中点，
此时AB+BP4＝8+5＝13cm，
即2t＝13，
解得：t＝6.5，
综上所述：点t＝3或5.4或6或6.5时，ACP为等腰三角形，
故答案为：3或5.4或6或6.5．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行线段的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定解题的关键．
15．（2021·湖北武汉·）2000多年来，人们对直角三角形三边之间的关系的探究颇感兴趣，古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探究它，研究它的证明，新的证法不断出现下面给出几种探究方法（由若干个全等的直角三角形拼成以下图形）．
试用面积法选择其中一种推导直角三角形的三边a，b，c之间的数量关系．


（1）三边a，b，c之间的数量关系为 　 　．
（2）理由：
【答案】（1）a2+b2=c2；（2）见解析
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结果；
（2）选择图①由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，即可得出结果；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果．
【详解】
解：（1）由勾股定理得：a2+b2=c2．
故答案为：a2+b2=c2；
（2）选择图①．
∵大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴（a+b）2=4×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图②由梯形的面积=2个直角三角形的面积+等腰直角三角形的面积，
∴（a+b）2=2×ab+c2，即a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2；
选择图③由大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴c2=4×ab+ (b-a)2，即c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴a2+b2=c2．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明、正方形和三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理的证明，通过图形面积关系得出结论是解决问题的关键．
16．（2021·吉林朝阳·）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为、，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即，所以．
（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形，其中，，根据拼图证明勾股定理．
（定理应用）在中，，、、所对的边长分别为、、．求证：．

【答案】尝试探究：证明见解析；定理应用：证明见解析
【分析】
尝试探究：根据全等三角形性质，得，结合题意，根据直角三角形两锐角互余的性质，推导得；结合梯形、三角形面积计算公式，通过计算即可证明；
定理应用：根据提取公因式、平方差公式的性质分析，即可完成证明．
【详解】
尝试探究：
∵，
∴．
∵
∴．
∴．
∵．
∴．
∵直角梯形的面积可以表示为，也可以表示为，
∴，
整理，得．
定理应用：
在中，，
∴；
∵．
∴．
【点睛】
本题考查了勾股定理、直角三角形、全等三角形、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、直角三角形两锐角互余、平方差公式的性质，从而完成求解．
17．（2021·甘肃金塔·）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米？

【答案】##
【分析】
在直角三角形ABC中运用勾股定理求出BC的长，进而求得CE的长，再在直角三角形EDC中运用勾股定理求出DC的长，最后求得AD的长即可．
【详解】
解：∵在中，
∴
∴
∵在中
∴
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，灵活利用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键．
18．（2021·广东·深圳市沙井中学）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，可以证明我们学过的哪个定理，用字母表示：_________；
（2）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．

【答案】（1）c2＝a2＋b2；（2）①C（0，），D（2，0）；②点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【分析】
（1）根据梯形的面积的两种表示方法即可证明；
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，根据勾股定理求出AB的长度，根据翻折的性质得到BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，然后在Rt△COD中，根据勾股定理列方程求解即可；
②根据等腰三角形的性质分四种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵S梯形ABCD＝2×ab＋c2
S梯形ABCD＝（a＋b）（a＋b）
∴2×ab＋c2＝（a＋b）（a＋b）
∴2ab＋c2＝a2＋2ab＋b2
∴c2＝a2＋b2．
（2）①设OC＝a，则AC＝4－a，又，
根据翻折可知：
BD＝AB＝5，CD＝AC＝4－a，
OD＝BD－OB＝5－3＝2．
在Rt△COD中，根据勾股定理，得：，
即（4－a）2＝a2＋4，解得a＝．
∴C（0，），D（2，0）．
答：C、D两点的坐标为C（0，），D（2，0）．
②如图：

当点M在x轴正半轴上时，当CM＝DM，
设CM＝DM＝x，
在中，根据勾股定理得：，
则x2＝（2－x）2＋（）2，解得x＝，
∴2－x＝，
∴M（，0）；
当CD＝MD，＝4－＝，2＋＝，
∴M（，0）；
当点M在x轴负半轴上时，当CM＝CD，
∵，
∴OM＝OD＝2，
∴M（－2，0）；
当DC＝DM，＝4－＝，
∴OM＝－2＝，
∴M（－，0）．
答：符合条件的所有点M的坐标为：（，0）、（，0）；、（－2，0）、（－，0）．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，是三角形的综合题，解决本题的关键是分情况讨论思想的运用．