18.1 平行四边形（解析版）--最新八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

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2021-2022学年八年级数学下册章节同步实验班培优变式训练（人教版）
18.1 平行四边形
题型导航

平
行
四
边
形

平行四边形的性质
题型1
平行四边形的判定
题型2
利用平行四边形的性质与判定证明

题型3
利用平行四边形的性质与判定求解

题型4
平行四边形的性质与判定的应用
的应用
题型5


题型变式

【题型1】平行四边形的性质
1．（2022·重庆南开中学八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，若，，则的度数为（ ）


A．157° B．147° C．137° D．127°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质推出AO=AB，求出∠AOB的度数，即可得到的度数．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵，
∴AO=AB，
∵，
∴，
∴=，
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和，利用邻补角求角度，正确掌握平行四边形的性质是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2021·重庆市实验学校八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形及平行线的性质可得，再由角平分线及等量代换得出，利用等角对等边可得，结合图形即可得出线段长度．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴，
∵AE平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】
题目主要考查 平行四边形及平行线的性质，利用角平分线计算，等角对等边等，理解题意，熟练运用平行四边形的性质是解题关键．


【题型2】平行四边形的判定
1．（2021·甘肃·广河县回民第二中学八年级期中）在下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB=BC，AD=DC B．AB∥CD，AD=BC
C．AB∥CD，∠B=∠D D．∠A=∠B，∠C=∠D
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形进行判断即可．
【详解】
解：能判定四边形ABCD是平行四边形的是AB∥CD，∠B=∠D，理由如下：
∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180º，
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠C=180º，
∴ AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：C．

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

【变式2-1】
2．（2021·福建南安·九年级期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是各边的中点，若△ABC的面积为16cm2，则△DEF的面积是（　　）cm2．

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理判定四边形BEFD是平行四边形，然后可证明△BDE≌△FED，同理可证：△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，从而这四个三角形彼此全等，它们的面积也相等，所以可求得△DEF的面积．
【详解】
∵点D、F分别是AB，AC的中点，
∴，DF＝BC，
∴，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∴DF＝BE，
∴四边形BEFD是平行四边形，
∴BD＝EF，
在△BDE和△FED中，
，
∴△BDE≌△FED（SSS），
同理可证△DAF≌△FED，△EFC≌△FED，
即△BDE≌△DAF≌△EFC≌△FED，
∴S△DEF＝S△ABC＝×16＝4（cm2），
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理、三角形全等的判定等知识．
【题型3】利用平行四边形的性质与判定求解
1．（2021·西藏·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）

A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【解析】
【分析】
由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．
【详解】
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
【变式3-1】
2．（2022·全国·八年级）如图，在四边形中，，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，以每秒的速度从点向点运动，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点运动了（ ）

A．2秒 B．2秒或3秒 C．2秒或4秒 D．4秒
【答案】B
【解析】
【分析】
构成平行四边形有两种情况，情况一：PD=QC；情况二：AP=BQ
【详解】
设点、运动的时间为秒，依题意得，
，，，，
①当时，四边形是平行四边形，即，解得．
②当时，四边形是平行四边形，即，解得．
所以当直线将四边形截出一个平行四边形时，点运动了2秒或3秒，
故选B．
【点睛】
本题考查梯形上动点构成平行四边形的问题，注意分情况讨论是解题关键．

【题型4】利用平行四边形的性质与判定证明
1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，中，点D、E、F分别为边的中点，则下列关于线段和之间关系的说法中正确的是（ ）


A． B．
C．和互相平分 D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】
【分析】
连接FD，ED，根据三角形中位线定理可以证明四边形AEDF是平行四边形，然后利用平行四边形的性质进行求解即可．
【详解】
解：如图，连接FD，ED，
∵，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点，
∴DE，DF，EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴EF与AD互相平分，故C符合题意，D不符合题意；
根据现有条件，无法推出AD=EF，AD⊥EF，故A、B不符合题意，
故选C．


【点睛】
本题主要考查了中位线定理和平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．


【变式4-1】
2．（2021·河北安国·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别在边BC、AD上，添加条件后不能使AE＝CF的是（　　）

A．BE＝DF B．AE∥CF C．AF＝AE D．AF＝EC
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使AE＝CF的条件．
【详解】
解：A、在▱ABCD中，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故A可以使AE＝CF，不符合题意；
B、∵AE∥CF，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故B可以使AE＝CF，不符合题意；
C、添加AE＝AF后不能使AE＝CF，
故C符合题意；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AE＝CF，
故D可以使AE＝CF，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质定理和判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．

【题型5】平行四边形的性质与判定的应用
1．（2019·河南临颍·八年级期中）如图，在中，已知，，，过的中点作，垂足为，与的延长线相交于点，则的面积是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
，，，
为中点，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
∴，
．
故选：．
【点睛】
本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

【变式5-1】

2．（2021·云南五华·二模）如图所示，，点在上．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，．求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）55°
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论；
（2）设°，，由平行四边形的性质得，再由得，根据求得，进一步得出
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，，BC=AD
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵
∴设°，°
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴
∵，
∴，解得
∴，
∴．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解答此题的关键．



专项训练

一．选择题

1．（2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学）如图所示，AB＝CD，AD＝BC，则图中的全等三角形共有（ ）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【分析】
根据平行四边形的判定与性质，求解即可．
【详解】
解：∵AB＝CD，AD＝BC
∴四边形为平行四边形
∴，，，
∴、
又∵，
∴、
∴图中的全等三角形共有4对
故选：D
【点睛】
此题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
2．（2021·广西·新地一中）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（ ）

A．（7，3） B．（8，2） C．（3，7） D．（5，3）
【答案】A
【分析】
利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．
【详解】
解： 四边形ABCD为平行四边形。
且。
C点和D的纵坐标相等，都为3．
A点坐标为（0，0），B点坐标为（5，0），
．
D点坐标为（2，3），
C点横坐标为，
点坐标为（7，3）．
故选：A．
【点睛】
本题主要是考察了平行四边形的性质、利用线段长求点坐标，其中，熟练应用平行四边形对边平行且相等的性质，是解决与平行四边形有关的坐标题的关键．
3．（2021·四川恩阳·）如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将（ ）．

A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．无法确定
【答案】B
【分析】
连接，根据题意可得为的中位线，可知，由此可知不变．
【详解】
如图，连接AQ，

∵，分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵为定点，
∴的长不变，
∴的长不变，
故选：
【点睛】
本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
4．（2022·黑龙江·大庆市北湖学校）在□ABCD中，AC=24，BD=38，AB=m，则m的取值范围是（ ）
A．24 【答案】C
【分析】
作出平行四边形，根据平行四边形的性质可得，，然后在中，利用三角形三边的关系即可确定m的取值范围．
【详解】
解：如图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
在中，，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】
题目主要考查平行四边形的性质及三角形三边的关系，熟练掌握平行四边形的性质及三角形三边关系是解题关键．
5．（2021·广东·深圳中学）如图，已知平行四边形ABCD的面积为8，E、F分别是BC、CD的中点，则△AEF的面积为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
连接AC，由平行四边形的性质可得，再由E、F分别是BC，CD的中点，即可得到，，，由此求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，
∴
∵E、F分别是BC，CD的中点，
∴，，，
∴，
故选B．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质，与三角形中线有关的面积问题，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．
6．（2021·内蒙古阿拉善盟·）□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E， 且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．

有下列结论：①∠CAD=30°； ②S□ABCD = AB·AC ； ③OB=AB； ④OE=AB．其中成立的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，故④正确．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
故④正确．
故①②④正确，共3个．
故选C
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．


二、填空题
7．（2021·全国·）已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若AB=5，AC=7，则ED=_______．

【答案】1
【分析】
延长BE交AC于F，由已知条件可得△BAF是等腰三角形，由等腰三角形的性质可得BE=EF，又因为BD=CD是，所以DE是△BCF的中位线，由三角形中位线定理即可求出DE的长．
【详解】
解：延长BE交AC于F，

∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，
∴∠BAE=∠CAE，∠AEB=∠AEF=90°，
在△ABE与△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（ASA），
∴BE=EF，AB=AF，
∵AB=5，
∴AF=5，
∵AC=7，
∴CF=AC-AF=7-5=2，
∵D为BC中点，
∴BD=CD，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=CF=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理以及等腰三角形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，得到△BAF是等腰三角形．
8．（2022·吉林·长春外国语学校）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为________．

【答案】2
【分析】
先根据题意得到BE为∠ABC的平分线，再根据平行四边形的定义和性质得到AD∥BC，AD=BC=6，进而得到AB=AE=4，即可求出DE=2．
【详解】
解：由尺规作图得，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=6，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=4，
∴DE=AD-AE=2．
故答案为：2
【点睛】
本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键．
9．（2021·吉林·长春外国语学校）如图，平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB于点E，交CD于点F，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为_________．

【答案】8
【分析】
根据题意可知用MN垂直平分AC，则EA=EC，利用等线段代换得到△BCE的周长=AB+BC，然后根据平行四边形的性质AD＝BC可确定答案．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
由题可知，MN是AC的垂直平分线，
∴CE=AE，
∴△BCE的周长=BC+CE+BE=BC+AB=14，
∵BC=AD=6，
∴CD=AB=14−6=8．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的性质、平行四边形的性质，做题的关键是证明EA=EC，将△CDE的周长转化为AB+BC．
10．（2021·江苏海安·）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点B、C的坐标分别为（2，0），（6，0），点N从A点出发沿AC向C点运动，连接ON交AB于点M．当边AB恰平分线段ON时，则=___．

【答案】
【分析】
过点作交于点，可得为的中位线，为的中位线，利用三角形中位线定理和等边三角形的性质得到：，，即可求解．
【详解】
解：过点作交于点，如下图：

∵B、C的坐标分别为（2，0），（6，0）
∴，
∵边AB恰平分线段ON
∴点是的中点
∴，
∴
∴是的中位线
∴，
又∵为等边三角形
∴
∴，
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造出三角形的中位线．
11．（2021·河北沧县·）在等边中，边、的中点分别是、，，则的周长为______．
【答案】30
【分析】
根据题意，可以知道，得到，从而求得等边三角形周长．
【详解】
解：∵点、分别是边、的中点
∴
又∵
∴
又∵为等边三角形
∴
∴
故答案为：30
【点睛】
本题考查三角形的中位线定理、等边三角形的性质，根据定理内容解题是重点．
12．（2021·吉林铁西·）如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是______．（答案不唯一，添加一个即可）．


【答案】FC=AE
【分析】
根据四边形ABCD是平行四边形，CD∥AB，CD=AB，因此只需要证明DF=EB即可判断四边形EBFD是平行四边形，由此求解即可．
【详解】
解：添加条件FC=AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形EBFD是平行四边形，
故答案为：FC=AE．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质与判定条件．

三、解答题
13．（2021·全国·）如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB＝2：3，BC＝20cm，求BF的长．

【答案】BF的长为8cm
【分析】
先由DE∥BC，EF∥AB得出四边形BDEF是平行四边形，那么BF=DE．再由AD：DB=2：3，得出AD：AB=2：5．由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出DE：BC=AD：AB=2：5，将BC=20cm代入求出DE的长，即为BF的长．
【详解】
解：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵AD：DB＝2：3，
∴AD：AB＝2：5．
∵DE∥BC，
∴DE：BC＝AD：AB＝2：5，即DE：20＝2：5，
∴DE＝BF＝8．
故BF的长为8cm．
【点睛】
此题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，比例的性质，难度不大，得出BF=DE，从而利用转化思想是解题的关键．
14．（2021·全国·）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO+BO＝4，则AC+BD的长是___．

【答案】8
【分析】
由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，即可求出AC+BD＝2（OA+OB）．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AC+BD＝2（OA+OB）＝8．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的对角线性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的对角线性质——平行四边形对角线互相平分．
15．（2021·全国·）已知：如图，在中，，M为的中点，连接．求证：．

【答案】见解析
【分析】
由在▱ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，易证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD，即可求得∠CDM＋∠DCM＝90°，即可证得结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∴∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，
∵AB＝2AD，M为AB的中点，
∴AD＝AM＝BM＝BC，
∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，
∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°，
∴∠CDM＋∠DCM＝90°，
∴∠DMC＝90°，
即DM⊥MC．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD是关键．
16．（2021·重庆一中）如图，在中，．

（1）用尺规完成以下基本操作：作的平分线交延长线于点，交于点；在上截取，使；在上截取，使；连接；（保留作图痕迹，不写作法与结论）
（2）在（1）所作的图形中，猜想与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）见解析：（2）；理由见解析
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）连接，根据题意证明,即，在证明即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图即为所作：

（2）；理由如下：
连接，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了作图－角平分线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键．
17．（2021·浙江·瑞安市安阳实验中学）如图，在等腰中，，点在的延长线上，， 点在边上，．

（1）求证：；
（2）求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【分析】
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）过点作，交于点，先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差可得，最后根据三角形中位线定理即可得．
【详解】
证明：（1），
，
，
，
；
（2）如图，过点作，交于点，

，
在和中，，
，
，
，
，
设，则，
，
，即点是的中点，
又，
是的中位线，
，
即．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
18．（2021·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校）如图，在△ABC中，AC=BC，AD⊥AB交BE延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点F，交AB于点G，∠ADB=∠ACB．
（1）若E为AC的中点，求证：AD=CF；
（2）若BD=2，求BF值；
（3）若CG=5，求AD+BD的值．

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）10
【分析】
（1）证明△ADE≌△CFE即可求解；
（2）证明为的中位线，得点为的中点，即可解答
（3）根据为的中位线，得，，在证明为等腰三角形，可得，根据可得，即可求解
【详解】
（1）∵AC=BC，CG平分∠ACB
∴CG⊥AB
点为的中点
又∵AD⊥AB
∴AD∥CG
为的中位线
∴∠FCE=∠DAE，∠ADE=∠CFE
又∵E为AC的中点
∴AE=CE
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AD=CF
（2）由（1）得为的中位线
点为中点



（3）由（1）得为的中位线
，
，AD∥CG

，平分









【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，等腰三角形的判定和三线合一的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练运用这些性质是解题关键．