高考物理一轮复习第六单元机械能第3讲机械能守恒定律及其应用练习(含详解)

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第3讲　机械能守恒定律及其应用

1
重力做功与重力势能

　　(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与初、末位置的高度差有关。
(2)重力做功与重力势能变化的关系
①定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增加。
②定量关系:物体从位置A到位置B的过程中,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即WG=-ΔEp。
③重力势能的变化量是绝对的,与参考面的选取无关。
1.1 (2019湖南长沙雅礼中学月考)(多选)质量为m的物体,从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度,下列说法正确的是(　　)。
A.物体的重力势能减少2mgh
B.物体的机械能保持不变
C.物体的动能增加2mgh
D.物体的机械能增加mgh
【答案】CD

2
弹性势能

　　(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。
(2)大小:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式可表示为W=-ΔEp。
【温馨提示】　弹性势能是由物体的相对位置决定的。同一根弹簧的伸长量和压缩量相同时,弹簧的弹性势能相同。
2.1 (2018江苏南京10月模拟)如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端固定连接一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动,在物体向右运动的过程中,下列说法正确的是(　　)。

A.弹簧的弹性势能逐渐减少
B.弹簧的弹性势能逐渐增加
C.弹簧的弹性势能先增加再减少
D.弹簧的弹性势能先减少再增加
【答案】D

3
机械能守恒定律

　　(1)内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。
(2)机械能守恒定律的三种表达形式及应用　
①守恒观点:a.表达式,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。
b.意义,系统初状态的机械能等于末状态的机械能。
c.注意问题,要先选取零势能面,并且在整个过程中必须选取同一个零势能面。
②转化观点:a.表达式,ΔEk=-ΔEp。
b.意义,系统的机械能守恒时,系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能。
③转移观点:a.表达式,ΔEA增=ΔEB减。
b.意义,若系统由A、B两部分组成,当系统的机械能守恒时,则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。
(3)守恒条件:只有重力或弹簧的弹力做功。
(4)机械能守恒的判断方法
①利用机械能的定义判断(直接判断):分析动能和势能的和是否变化。
②用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械能守恒。
③用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。

3.1 (2019陕西西安高三检测)(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定在O点,另一端系一小球,将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放,让小球自由摆下,不计空气阻力,在小球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法中正确的是(　　)。
A.小球的机械能守恒
B.小球的机械能减少
C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D.小球与弹簧组成的系统机械能守恒
【答案】BD



题型一
单个物体的机械能守恒问题

　　应用机械能守恒定律的基本思路
(1)选取研究对象
(2)受力分析和各力做功情况分析,确定是否符合机械能守恒的条件。
(3)确定初、末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。
(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。
【例1】如图甲所示,将一质量m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127°的圆弧,CB为其竖直直径,(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计)求:

甲
(1)小球经过C点的速度vC的大小。
(2)小球运动到轨道最低点B时,轨道对小球的支持力大小。
(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。
【解析】(1)小球恰好运动到C点时,由重力提供向心力,由牛顿第二定律知
mg=m
解得vC==5 m/s。
(2)对小球从B点到C点,由机械能守恒定律有
m+mg·2R=m
在B点对小球进行受力分析,由牛顿第二定律有
FN-mg=m
联立解得vB=5 m/s,FN=6.0 N。
(3)对小球从A到B由机械能守恒定律有

乙
m+mgR(1-cos 53°)=m
所以vA= m/s
在A点对小球进行速度的分解如图乙所示,有vy=vAsin 53°
所以H==3.36 m。
【答案】(1)5 m/s　(2)6.0 N　(3)3.36 m

　　机械能守恒定律的应用技巧:
(1)机械能守恒定律是一种“能与能的转化”关系,其守恒是有条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒式列方程较方便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化式或转移式列方程较简便。
【变式训练1】(2019辽宁沈阳第二中学模拟)如图是阿毛同学的漫画中出现的装置,描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿:将板栗在地面小平台上以一定的初速度经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道,从最高点P飞出进入炒锅内,利用来回运动使其均匀受热。我们用质量为m的小滑块代替栗子,借用这套装置来研究一些物理问题。设大小两个四分之一圆弧半径分别为2R、R,小平台和圆弧均光滑。将锅底的纵截面看作是由两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成的。斜面与小滑块间的动摩擦因数均为0.25,而且不随温度变化。两斜面倾角均为θ=37°,AB=CD=2R,A、D等高,D端固定一小挡板,小滑块碰撞它不损失机械能。滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内,重力加速度为g。

(1)如果滑块恰好能经P点飞出,为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内,应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少?
(2)在(1)的情况下,求滑块在锅内斜面上运动的总路程。
(3)在初速度不同的情况下,求滑块通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值。
【解析】(1)设滑块恰好经P点飞出时的速度为vP,由牛顿第二定律有mg=
解得vP=
到达A点时速度方向要沿着斜面AB,则
vy=vPtan θ=
所以A、D点离地高度h=3R-=R。
(2)进入A点时滑块的速度v==
假设经过一个来回滑块能够回到A点,设回来时动能为Ek,则Ek=mv2-4μmgcos θ·2Rμmgcos θ,则根据动能定理得
mg·2Rsin θ-μmgcos θ·s=0-mv2
解得滑块在锅内斜面上运动的总路程s=。
(3)设滑块的初速度和经过最高点时的速度分别为v1、v2
根据牛顿第二定律可知,在Q点有F1-mg=
在P点有F2+mg=
所以F1-F2=2mg+
由机械能守恒有m=m+mg·3R
得-=6gR为定值
代入v2的最小值(v2=vP=)得压力差的最小值为9mg。
【答案】(1)R　(2)　(3)9mg

题型二
多个物体的机械能守恒问题

　　1.杆连物体系统机械能守恒

问题简述

如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动,且A、B的角速度相等
方法突破
求解这类问题时,因为二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,寻找到系统重力势能的变化,最后根据ΔEk=-ΔEp列出机械能守恒的方程求解。另外须注意轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另一物体做了负功,并且二者的绝对值相等

　　2.绳连物体系统机械能守恒

问题简述

如图所示的两物体组成的系统,在释放B从而使A、B运动的过程中,A、B的速度方向均沿绳子,在相等时间内A、B运动的路程相等,A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等,这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系
方法突破
求解这类问题时,因为二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式。另外须注意系统机械能守恒并非每个物体的机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功


　　3.弹簧连接的系统机械能守恒

问题简述
由弹簧相连的物体系统,在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移,而总的机械能守恒
方法突破
求解这类问题时,首先以弹簧遵循的胡克定律为突破口:弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F=kx和ΔF=kΔx。其次,以弹簧的弹力做功为突破口:弹簧发生形变时,具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关,但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小,弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同,通过运算可以约去。当题目中始、末长度都不是弹簧原长时,要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应,即伸长量或压缩量,而力的位移就可能是两次形变量之和或之差

　　【例2】(多选)如图甲所示,a、b、c是三个质量相同的小球(可视为质点),a、b两球套在水平放置的光滑细杆上,c球用长度均为L的细线分別与a、b两球连接。起初a、b两球固定在细杆上相距2L处,重力加速度为g,若同时释放a、b两球,则(　　)。

甲
A.在a、b碰撞前的任一时刻,b相对c的速度方向与b、c的连线垂直
B.在a、b碰撞前的运动过程中,c的机械能先增大后减小
C.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为
D.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为
【解析】若同时释放a、b两球,则几何关系如图乙所示,vccos θ=vbsin θ,在a、b碰前瞬间有θ=0,vc=0,所以A项正确;在a、b碰撞前的运动过程中,c向下运动,两细线对c做负功,则c的机械能一直减小,B项错误;由能量关系有mgL=2×m,解得vb=,所以C项正确,D项错误。

乙
【答案】AC

　　多个物体应用机械能守恒定律解题应注意的问题
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动的过程中,系统的机械能是否守恒。
(2)注意先寻找连接各物体间的连接物,如绳子、杆或者其他物体,再寻找几个物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEA增=ΔEB减的形式。

【变式训练2】(2019河北定州开学模拟)如图所示,B是质量为2m、半径为R的光滑半圆弧槽,放在光滑的水平桌面上。A是质量为3m的细长直杆,在光滑导孔的限制下,A只能上下运动。物块C的质量为m,紧靠B放置。初始时,A杆被夹住,使其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触,然后从静止释放A。求:
(1)杆A的下端运动到槽B的最低点时B、C的速度。
(2)杆A的下端经过槽B的最低点后,A能上升的最大高度。
【解析】(1)运动到最低点时,长直杆在竖直方向的速度为0,B、C具有共同速度v,由(整个系统ABC)机械能守恒定律得
3mgR=×3mv2
解得vB=vC=v=。
(2)B、C分离后,杆上升到所能达到的最高点时,A、B的速度均为0,A、B系统机械能守恒
×2mv2=3mgh
解得h=。
【答案】(1)　　(2)

题型三
非质点类机械能守恒问题

　　在应用机械能守恒定律处理实际问题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再当作质点来处理。
虽然物体不能被当作质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。
【例3】(2018浙江省金华市一中模拟)(多选)如图所示,在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起,斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(r≪R)的光滑小球(小球无明显形变),小球恰好将圆弧轨道铺满,从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走,N个小球由静止开始沿轨道运动,不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是(　　)。

A.N个小球在运动过程中始终不会散开

　　B.第1个小球从A运动到B的过程中机械能守恒
C.第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动
D.第1个小球到达最低点的速度v