2023广东省四校 （深圳中学，华师附中，省实验，广雅）高三上学期第一次联考 数学试题（含答案）

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2023 届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．  题号12345678答案DACABCAD二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 9. BC       10. BC       11. AC          12. BD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.   1     14.      15.      16. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分17.(10分）（1）当时，即     ---------------------------------------1分当，   ------------------------------3分显然不符合上式，所以数列的通项公式为   ---------------------5分（2）因为在与之间插入个1，所以在中对应的项数为当时，，当时，所以，且，  --------------------------------------- 8分                         ---------------------------------------10分18.（12分）解：（1）在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，    ---------------------------------------2分因为与互补，所以，由题意得，所以，即，所以平分.   得证；                             ---------------------------------5分（2）中，由余弦定理 得： 解得或                                ---------------------------------------7分若,则有：,则B为钝角，不合题意，舍去；  ----------------------------------8分若 ,则有：,则B为锐角，合题意，所以 由（1）知： ,所以     ---------------------------------------10分在中，由余弦定理得：    解得：             所以                            ---------------------------------------12分19.（12分）解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：，则“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：,则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下： 睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200  -----------------------------------------------------------------------------2分零假设：睡眠足与常参加体育锻炼无关因为  ---------------------------------------4分根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.  ---------------------------------------5分（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-----------------------------------6分从这8人随机抽取2人，则的所有取值为0，1，2.，，；所以分布列为012  ---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分）数学期望  --------------------------------------10分（3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为， 由题意知：             --------------------------------------11分 =        ---------------------------------------12分20.（12分）解：（1）取中点，连接，连接.为等边三角形，，    ----------------------------1分，
   
又 ，，
又 ，为等边三角形，，且                     ---------------------------------------3分中，AE，      又面，面，且面，               ---------------------------------------4分
又面，面面.             ---------------------------------------5分
（2）由（1），以点为坐标原点，建系如图，则，，，，，，则      --------------------------------------------------6分
假设存在点，使得二面角的大小为，则设，， --------------------------7分则，显然面的一个法向量为，--------------------------------8分又，，设面的一个法向量为，则 ， 即解得 ，--------------------------------------------10分由题，，解得 或者（舍）           --------------------------------------------------11分则 .                           -----------------------------------------------12分 (12分）(1)由已知可得为圆的直径，则记，则  ---------------4分(2) ----------5分 由已知直线存在斜率，记其方程为代入有记，则当时有-------------7分，代入（1）式化简有当过定点当时，，过定点，舍去-------------------------11分综上有，直线过定点-------------------------------------------------------------12分 （12分)解：(1)当在R上单调递增                --------------------------1分当时，由，当 时，，在上单调递减当 时，，在上单调递增      -----------------------------3分综上有：当在R上单调递增；  当时，在上单调递减，在上单调递增.----4分（2）由已知,因为对于，所以设,则,----------------------7分,记,当在)上单调递增;恒成立.---------9分当),在)上单调递减，则与矛盾；---------------11分综上，当)恒成立，即恒成立.------------------------------------------12分