《新高考数学大二轮复习课件》专题一 培优点4 隐零点问题

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导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题.
例　已知函数f(x)＝aex＋sin x＋x，x∈[0，π].(1)证明：当a＝－1时，函数f(x)有唯一的极大值点；
证明　当a＝－1时，f(x)＝x＋sin x－ex，f′(x)＝1＋cs x－ex，因为x∈[0，π]，所以1＋cs x≥0，令g(x)＝1＋cs x－ex，g′(x)＝－ex－sin x<0，所以g(x)在区间[0，π]上单调递减.因为g(0)＝2－1＝1>0，g(π)＝－eπ<0，所以存在x0∈(0，π)，使得f′(x0)＝0，且当00；当x0(2)当－2证明　当－20，h′(π)＝aeπ<0，所以存在t∈(0，π)，使得h′(t)＝0，即aet＋cs t＋1＝0，且当00；当th(x)max＝h(t)＝aet＋sin t＋t－π，t∈(0，π)，因为aet＋cs t＋1＝0，只需证φ(t)＝sin t－cs t＋t－1－π<0即可，φ′(t)＝cs t＋sin t＋1＝sin t＋(1＋cs t)>0，所以函数φ(t)在区间(0，π)上单调递增，φ(t)<φ(π)＝0，即f(x)<π.
零点问题求解三步曲(1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围.(2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式.(3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小.
(2021·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ln x－kx(k∈R)，g(x)＝x(ex－2).(1)若f(x)有唯一零点，求k的取值范围；
解　由f(x)＝ln x－kx有唯一零点，
由h′(x)>0，得0e，∴h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
又h(1)＝0，∴当0(2)若g(x)－f(x)≥1恒成立，求k的取值范围.
解　∵x(ex－2)－(ln x－kx)≥1恒成立，且x>0，
令μ(x)＝－ln x－x2ex，
∴μ(x)在(0，＋∞)上单调递减，
两边取对数可得ln(－ln x0)＝2ln x0＋x0，即ln(－ln x0)＋(－ln x0)＝x0＋ln x0，由函数y＝x＋ln x为增函数，可得x0＝－ln x0，又当00, φ′(x)>0；当x>x0时，μ(x)<0, φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，
∴k≥φ(x0)＝1，即k的取值范围为k≥1.