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《新高考数学大二轮复习课件》思想方法 第2讲 数形结合思想
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这是一份《新高考数学大二轮复习课件》思想方法 第2讲 数形结合思想，共19页。PPT课件主要包含了第2讲数形结合思想，内容索引等内容，欢迎下载使用。
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
思路分析 数形结合，画出图象→x1，x2，x3，x4之间的关系→将待求式化为函数求值域问题→求导即可
解析 如图，要使方程|x2－6x＋6|＝1＋t2有四个不同实数根，则1＋t2∈[1,3)，t2∈[0,2)，且x1，x4满足x2－6x＋6＝1＋t2，即x2－6x＋5－t2＝0，
x2，x3满足－x2＋6x－6＝1＋t2，即x2－6x＋7＋t2＝0；
思路分析 作出函数y＝|f(x)|的图象，和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解
解析 由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象.由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，当直线介于l与x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].
方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
方法三 几何动态问题中的数形结合
思路分析 利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC1|，|PN|与|PC2|的关系→利用双曲线定义：|PC1|－|PC2|＝2a→利用|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|即可求解.
解析 由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，由圆的方程知，圆C1圆心为C1(－7,0)，半径r1＝2；圆C2圆心为C2(7,0)，半径r2＝1.∵PM，PN分别为两圆切线，
∴|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3，∵P为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为C1，C2，∴|PC1|－|PC2|＝2，
又|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，∴|PM|2－|PN|2＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3≥14×2－3＝25，即|PM|2－|PN|2的最小值为25.
几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
思想概述 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.
利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题.
方法一 利用数形结合求解函数与方程、不等式问题
思路分析 数形结合，画出图象→x1，x2，x3，x4之间的关系→将待求式化为函数求值域问题→求导即可
解析 如图，要使方程|x2－6x＋6|＝1＋t2有四个不同实数根，则1＋t2∈[1,3)，t2∈[0,2)，且x1，x4满足x2－6x＋6＝1＋t2，即x2－6x＋5－t2＝0，
x2，x3满足－x2＋6x－6＝1＋t2，即x2－6x＋7＋t2＝0；
思路分析 作出函数y＝|f(x)|的图象，和函数y＝ax的图象→结合图象可知直线y＝ax介于l与x轴之间→利用导数求出直线l的斜率，数形结合即可求解
解析 由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象.由图象可知，函数y＝ax的图象是过原点的直线，当直线介于l与x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分的解析式为y＝x2－2x，求其导数可得y′＝2x－2，当x＝0时，y′＝－2，故直线l的斜率为－2，故只需直线y＝ax的斜率a∈[－2,0].
方程的根可通过构造函数，转化为两函数的交点横坐标；不等式f(x)
方法二 利用数学概念、表达式的几何意义求解最值、范围问题
∵(a－c)·(b－c)≤0，∴点C在劣弧AB上运动，
应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.
对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解.
方法三 几何动态问题中的数形结合
思路分析 利用相切、勾股定理，找|PM|与|PC1|，|PN|与|PC2|的关系→利用双曲线定义：|PC1|－|PC2|＝2a→利用|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|即可求解.
解析 由双曲线方程知其焦点坐标为(±7,0)，由圆的方程知，圆C1圆心为C1(－7,0)，半径r1＝2；圆C2圆心为C2(7,0)，半径r2＝1.∵PM，PN分别为两圆切线，
∴|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3，∵P为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为C1，C2，∴|PC1|－|PC2|＝2，
又|PC1|＋|PC2|≥|C1C2|＝14(当P为双曲线右顶点时取等号)，∴|PM|2－|PN|2＝(|PC1|＋|PC2|)(|PC1|－|PC2|)－3≥14×2－3＝25，即|PM|2－|PN|2的最小值为25.
几何图形有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解，但一味地强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单.
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