《新高考数学大二轮复习课件》专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形

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KAO QING FEN XI
1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查解三角形、　 求面积等，三角恒等变换作为工具，将三角函数与三角形相结合考 查求解最值、范围问题.2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中 等难度.
1.三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常用到“1”的代换，如1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等.(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.
解析　由题意得4sin αcs α＋1－2cs2α＝1，所以4sin αcs α＝2cs2α，
所以cs(α＋β)<0，
(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.(3)根据条件合理的拆角，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等.
则2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，∴2[sin(α＋β)cs α＋cs(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cs α－cs(α＋β)sin α]，从而sin(α＋β)cs α＝5cs(α＋β)sin α.
考点二　正弦定理、余弦定理
解析　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cs A，
(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用S＝ absin C形式的面积公式.
解析　根据正弦定理，可知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
又∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tan C等于
且2S＝(a＋b)2－c2，∴absin C＝(a＋b)2－(a2＋b2－2abcs C)，整理得sin C－2cs C＝2，∴(sin C－2cs C)2＝4.
考点三　正弦定理、余弦定理的综合应用
解三角形中的最值与范围问题的解题策略(1)由余弦定理找出三角形的边的关系，利用基本不等式求最值或范围.(2)将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围求最值或范围.
考向1　解三角形中的开放性问题
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，解得bc＝12，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccs A＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc，由已知可得bc＝(b＋c)2－a2＝36，
选择条件③：由余弦二倍角公式可得2cs2A＋3cs A－2＝0，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，解得bc＝12，
考向2　解三角形中的最值与范围问题
解得BD＝4或BD＝－5(舍去)，
整理得(x＋y)2－16＝3xy，又x>0，y>0，
即(x＋y)2≤64，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即(x＋y)max＝8，∴(AB＋AD＋BD)max＝8＋4＝12，∴△ABD周长的最大值为12.
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系，题中若出现一次式，一般采用正弦定理，出现二次式一般采用余弦定理，应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围.
解　选①：(2a－c)cs B＝bcs C，由正弦定理得2sin Acs B－sin Ccs B＝sin Bcs C，∴2sin Acs B＝sin A，
(2)若△ABC为锐角三角形，且b＝1，求△ABC的面积的取值范围.
解　已知△ABC为锐角三角形，且b＝1，
∵△ABC为锐角三角形，
解析　由题意可得m≈2sin 18°，
解析　∵a2＋c2－b2＝2accs B，
∴△ABC为等边三角形，又πR2＝4π，∴R＝2，
6.圣·索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15　－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处
测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为
解析　由题意知，∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°.
8.下列命题中，正确的是A.在△ABC中，若A>B，则sin A>sin BB.在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cs B恒成立C.在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则由b2＝a2＋c2－2accs B，可得ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确.
所以sin θ(sin θ＋cs θ)＝5cs2θ－5sin2θ，即6sin2θ＋sin θcs θ＝5cs2θ，
解析　∵2sin B＝3sin C，由正弦定理可知2b＝3c，
12.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2，A＝2B，则a的取值范围为____________.
解析　∵A＝2B，且△ABC为锐角三角形，
13.(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；
解　因为2sin C＝3sin A，则2c＝2(a＋2)＝3a，则a＝4，
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
解　显然c>b>a，若△ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得
则0a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.
(2)若AC＝3，求cs∠BAD.
设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得
在△AED中，由余弦定理得
在△ABD中，由余弦定理得
在△ABD中，E为BD的中点，