《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第4讲 母题突破2 定点问题

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思路分析❶设点P，求PA的方程↓❷联立PA的方程与椭圆的方程，求点C的坐标↓❸同点C坐标，写出点D的坐标↓❹求CD的方程↓❺分析直线方程、找出定点
证明　设P(6，y0)，
子题1　已知双曲线C： －y2＝1，过点P(2,1)的两条直线l1，l2与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点重合)，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝1，证明：直线AB过定点.
证明　当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A(x0，y0)，B(x0，－y0)，
整理得(2k2－1)x2＋4ktx＋2t2＋2＝0(2k2－1≠0)，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
整理得(2k－1)x1x2＋(t－2k＋1)(x1＋x2)－4t＝0，
整理得t2＋(2k－2)t＋1－2k＝0，即(t－1)(t＋2k－1)＝0，所以t＝1或t＝1－2k.当t＝1时，直线AB的方程为y＝kx＋1，经过定点(0,1)；当t＝1－2k时，直线AB的方程为y＝k(x－2)＋1，经过定点P(2,1)，不符合题意.综上，直线AB过定点(0,1).
直线l：y＝kx＋m(k≠0)过点F，∴m＝－2k，∴l：y＝k(x－2).
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
∵点P关于x轴的对称点为P′，则P′(x1，－y1).
∴直线P′Q过x轴上的定点(3,0).
动线过定点问题的两大类型及解法(1)动直线l过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0).(2)动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
解　当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C交于不同的两点分布在x轴两侧，不符合题意. 所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0).设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
因为∠APE＝∠OPF，所以kPE＋kPF＝0,
化简得m＝－6k，所以直线l的方程为y＝kx－6k＝k(x－6), 所以直线l过定点(6,0).
证明　由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2.将x＝my＋2代入y2＝4x，消去x得y2－4my－8＝0，显然Δ＝16m2＋32>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－8.
所以M是线段AB的中点，设M(xM，yM)，
所以M(2m2＋2,2m)，又MN⊥y轴，所以垂足N的坐标为N(0,2m).
因为对任意的实数m，①式恒成立，
所以以MN为直径的圆恒过定点，该定点的坐标为(2,0).
设以MN为直径的圆恒经过点D(x0，y0)，
(1)求椭圆C的标准方程；
所以S，T分别是PQ，MN的中点，当两条弦所在直线的斜率存在且不为0时，设PQ所在直线的方程为y＝k(x－1)，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
(1)求曲线C的方程；
在△ABC中，三个顶点不可能共线，所以y≠0，
证明　若直线l的斜率不存在，可得圆：x2＋y2＝1，
两个圆的公共点为N(0，－1)，
Δ>0恒成立，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
＝x1x2＋(y1＋1)(y2＋1)
即NP⊥NQ，以PQ为直径的圆恒过定点(0，－1).综上所述，以PQ为直径的圆恒过定点(0，－1).