《新高考数学大二轮复习课件》专题六 第4讲 母题突破3 定值问题

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母题　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l斜率的取值范围；
解　因为抛物线y2＝2px过点P(1,2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
依题意知Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k0)的焦点为F，斜率为k的直线l过点F，且与G交于A，B两点，当k＝1时，|AB|＝16.(1)求p的值；
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
因为|AB|＝16，可得x1＋x2＋p＝16，所以4p＝16，解得p＝4.
(2)直线l1：y＝k1(x－2)与G相交于C，D两点，M，N分别为AB，CD的中点，若直线MN恒过定点(2,2)，求k＋k1的值.
解　由(1)知，曲线G的方程为y2＝8x，设直线l的方程为y＝k(x－2)，
因为直线MN过点(2,2)，
(2)椭圆上有两点A，B，O为坐标原点，且AO⊥BO，证明存在定点M，使得M到直线AB的距离为定值，并求出定值.
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2).①若直线AB与x轴垂直，由对称性可知|x1|＝|y1|，
②若直线AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋m，
Δ＝182k2m2－36(m2－5)(9k2＋5)＝180(9k2－m2＋5)>0，
又AO⊥BO，则x1x2＋y1y2＝0，又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，所以(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，