《新高考数学大二轮复习课件》专题三 培优点10 数列的奇、偶项问题

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数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列.
例1　(1)(2021·聊城模拟)在数列{an}中，若a1＋a2＝2，且an＋1－an－1＝1＋cs nπ，则数列{an}的前100项和为_______.
解析　an＋1－an－1＝1＋cs nπ＝1＋(－1)n，当n为奇数时，an＋1－an－1＝0，∴数列{an}中的偶数项相等，∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50a2，当n为偶数时，an＋1－an－1＝2，∴{an}中的奇数项成等差数列，且公差为2，
∴S100＝50a2＋50a1＋50×49＝50(a1＋a2)＋50×49＝50×2＋50×49＝2 550.
(2)(2021·平顶山模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1(n∈N*)，记cn＝3n－2×(－1)nλan，若数列{cn}为递增数列，则实数λ的取值范围为__________.
cn＝3n－2×(－1)nλ·2n－1＝3n－(－2)nλ，∵数列{cn}为递增数列，∴对任意的n∈N*，cn＋1>cn恒成立，即3n＋1－(－2)n＋1λ>3n－(－2)nλ，即3n－1>(－2)n－1λ恒成立，
因为bn＝a2n＋a2n－1，
(2)求数列{an}的通项公式；
解　因为S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的类型；③含有{a2n}，{a2n－1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题.(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
1.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于A.200 　　B.－200 　　C.400 　　 D.－400
解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
2.已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________.
解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)，a1＝－1满足上式.因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立，所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0.①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，解得1－2n解得－1－2n所以实数p的取值范围是(－1,3).
3.已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
解　∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，∴Sn＝na1＋n(n－1)，(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，∴an＝2n－1.