《新高考数学大二轮复习课件》专题四 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

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KAO QING FEN XI
高考对此部分的考查，一是空间线面关系的命题的真假判断，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题；二是空间线线、线面、面面平行和垂直关系交汇综合命题，一般以选择题、填空题或解答题的第(1)问的形式考查，属中档题.
考点一　空间直线、平面位置关系的判定
判断空间直线、平面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
例1　(1)(2021·青岛模拟)若α，β表示两个不同的平面，m为平面α内一条直线，则A.“m∥β”是“α∥β”的充分不必要条件B.“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件C.“m⊥β”是“α⊥β”的必要不充分条件D.“m⊥β”是“α⊥β”充要条件
解析　A中，若m∥β，根据面面平行的判定定理不能得到α∥β，A错误；B中，若α∥β，根据面面平行的性质定理可得m∥β，又因为m∥β不能推出α∥β，所以B正确；C，D中，若α⊥β，根据面面垂直的性质定理不能推出m⊥β，C，D错误.
(2)(多选)(2021·漳州模拟)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，得四边形BFD1E，在以下结论中，正确的是A.四边形BFD1E有可能是梯形B.四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形C.四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1DD.四边形BFD1E面积的最小值为
同理，D1E∥BF，故四边形BFD1E为平行四边形，因此A错误；对于选项B，四边形BFD1E在底面ABCD内的射影一定是正方形ABCD，因此B正确；对于选项C，当点E，F分别为AA1，CC1的中点时，EF⊥平面BB1D1D，又EF⊂平面BFD1E，则平面BFD1E⊥平面BB1D1D，因此C正确；
解析　由题意知，过BD1作平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的截面为四边形BFD1E，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE.平面BFD1E∩平面DCC1D1＝D1F，所以BE∥D1F，
对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立.
跟踪演练1　(1)(多选)(2021·铁岭模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m⊥β，则α⊥βC.若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥nD.若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n
解析　当m∥α，n∥α时，m，n可以相交、平行或异面，A错误；当m∥α时，α内必有b∥m，而m⊥β，则b⊥β，从而α⊥β，B正确；α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，C正确；α⊥β，m∥α，n∥β，m，n可以相交、平行或异面，D错误.
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列说法正确的有A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线
解析　因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以AM与CC1是异面直线，故A错；
如图，取DD1的中点E，连接AE，则BN∥AE，但AE与AM相交，故B错；因为B1与BN都在平面BCC1B1内，M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确，同理D正确.
考点二　空间平行、垂直关系
平行关系及垂直关系的转化
例2　(2021·江西省信丰中学检测)如图，四边形AA1C1C为矩形，四边形CC1B1B为菱形，且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，D，E分别为边A1B1，C1C的中点.(1)求证：BC1⊥平面AB1C；
证明　∵四边形AA1C1C为矩形，∴AC⊥C1C,又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C，平面CC1B1B∩平面AA1C1C＝CC1，∴AC⊥平面CC1B1B，∵C1B⊂平面CC1B1B，∴AC⊥C1B,又四边形CC1B1B为菱形，∴B1C⊥BC1,∵B1C∩AC＝C，AC⊂平面AB1C，B1C⊂平面AB1C，∴BC1⊥平面AB1C.
(2)求证：DE∥平面AB1C.
证明　如图，取AA1的中点F，连接DF，EF，∵四边形AA1C1C为矩形，E，F分别为C1C，AA1的中点，∴EF∥AC，又EF⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EF∥平面AB1C，又∵D，F分别为边A1B1，AA1的中点，∴DF∥AB1，又DF⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，∴DF∥平面AB1C，∵EF∩DF＝F，EF⊂平面DEF，DF⊂平面DEF, ∴平面DEF∥平面AB1C，∵DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C.
(1)证明线线平行的常用方法①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理.(2)证明线线垂直的常用方法①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直.
跟踪演练2　如图，三棱锥P－ABC的底面ABC和侧面PAB都是边长为4的等边三角形，且平面PAB⊥平面ABC，点E为线段PA的中点，O为AB的中点，点F为AB上的动点.
(1)若PO∥平面CEF，求线段AF的长；
解　∵PO∥平面CEF，PO⊂平面APB，平面CEF∩平面APB＝EF，∴PO∥EF，∵E为线段PA的中点，∴F为AO的中点，又O为AB的中点，
(2)在(1)的条件下，求三棱锥E－ACF与四棱锥C－BPEF的体积的比值.
解　设C到平面APB的距离为h，∵PA＝PB，O为AB的中点，
由(1)知PO∥EF，∴EF⊥AB，
翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.
例3　(2019·全国Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
证明　由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面.由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，又BE∩BC＝B，且BE，BC⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
解　如图，取CG的中点M，连接EM，DM.因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC＝60°，得EM⊥CG，DE∩EM＝E，DE，EM⊂平面DEM，故CG⊥平面DEM.因此DM⊥CG.在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝　 ，故DM＝2.所以四边形ACGD的面积为S＝CG·DM＝2×2＝4.
注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.
跟踪演练3　(多选)(2021·临沂模拟)如图1，在正方形ABCD中，点E为线段BC上的动点(不含端点)，将△ABE沿AE翻折，使得二面角B－AE－D为直二面角，得到图2所示的四棱锥B－AECD，点F为线段BD上的动点(不含端点)，则在四棱锥B－AECD中，下列说法正确的有A.B，E，C，F四点不共面B.存在点F，使得CF∥平面BAEC.三棱锥B－ADC的体积为定值D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直
解析　对于A中，假设直线BE与直线CF在同一平面上，所以E在平面BCF上，又因为E在折前线段BC上，BC∩平面BCF＝C，所以E与C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线CF必不在同一平面上，即B，E，C，F四点不共面，故A正确；
再取AB的中点G，则EC∥FG且EC＝FG，四边形ECFG为平行四边形，
所以FC∥EG，则直线CF与平面BAE平行，故B正确；对于D中，过D作DH⊥AE于H，因为平面BAE⊥平面AECD，平面BAE∩平面AECD＝AE，所以DH⊥平面BAE，所以DH⊥BE，若存在点E使得直线BE与直线CD垂直，DH⊂平面AECD，且DC⊂平面AECD，DH∩DC＝D，所以BE⊥平面AECD，所以BE⊥AE，与△ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在点E使得直线BE与直线CD垂直，故D不正确.
对于C中，在三棱锥B－ADC中，因为点E的移动会导致点B到平面ACD的距离发生变化，所以三棱锥B－ADC的体积不是定值，故C不正确；
1.(2021·呼和浩特模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是A.存在一条直线a，a∥α，a∥βB.存在一条直线a，a⊂α，a∥βC.存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD.存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α
解析　对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A不正确；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不正确；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不正确；
对于D，在直线b上取点B，过点B和直线a确定一个平面γ，交平面β于a′，因为a∥β，所以a∥a′，又a′⊄α，a⊂α，所以a′∥α，又因为b∥α，b∩a′＝B，b⊂β，a′⊂β，所以β∥α.
2.(2021·哈尔滨模拟)设m，n是两条不同的直线，α是平面，m，n不在α内，下列结论中错误的是A.m⊥α，n∥α，则m⊥nB.m⊥α，n⊥α，则m∥nC.m⊥α，m⊥n，则n∥αD.m⊥n，n∥α，则m⊥α
解析　对于A，∵n∥α，由线面平行的性质定理可知，过直线n的平面β与平面α的交线l平行于n，∵m⊥α，l⊂α，∴m⊥l，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥α，由直线与平面垂直的性质，可得m∥n，故B正确；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n⊄α，∴n∥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n∥α，则m∥α或m与α相交或m⊂α，而m⊄α，则m∥α或m与α相交，故D错误.
3.在三棱锥P－ABC中，已知PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，点D，E分别为棱BC，PC的中点，则下列结论正确的是A.DE⊥AD B.DE⊥PAC.DE⊥AB D.DE⊥AC
解析　如图，因为PA＝AB＝AC，∠BAC＝∠PAC，所以△PAC≌△BAC，所以PC＝BC，取PB的中点G，连接AG，CG，则PB⊥CG，PB⊥AG，又因为AG∩CG＝G，所以PB⊥平面CAG，则PB⊥AC，因为点D，E分别为棱BC，PC的中点，所以DE∥PB，所以DE⊥AC.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F是线段A1C1上的两个动点，且EF长为定值，下列结论中不正确的是A.BD⊥CEB.BD⊥平面CEFC.△BEF和△CEF的面积相等D.三棱锥B－CEF的体积为定值
解析　BD⊥平面ACC1A1，CE⊂平面ACC1A1，故BD⊥CE，平面CEF与平面ACC1A1重合，故BD⊥平面CEF，故A，B正确；B到EF的距离为△BA1C1的高，C到EF的距离即为CC1，所以△BEF的面积大于△CEF的面积，故C错误；
5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题中正确的是A.AC与B1C是相交直线且垂直B.AC与A1D是异面直线且垂直C.BD1与BC是相交直线且垂直D.AC与BD1是异面直线且垂直
连接CD1，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1，所以BD1与BC所成角为∠D1BC，为锐角，故C错误；连接BD，因为AC⊥BD，AC⊥DD1，且BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，则AC⊥BD1，则AC与BD1是异面直线且垂直，故D正确.
解析　如图，连接AB1，则△AB1C为等边三角形，则AC与B1C是相交直线且所成角为60°，故A错误；因为A1D∥B1C，所以AC与A1D是异面直线且所成角为60°，故B错误；
6.如图，在矩形ABCD中，BC＝1，AB＝x，BD和AC交于点O，将△BAD沿直线BD翻折，则下列说法中错误的是A.存在x，在翻折过程中存在某个位置，　使得AB⊥OCB.存在x，在翻折过程中存在某个位置，　使得AC⊥BDC.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AB⊥平面ACDD.存在x，在翻折过程中存在某个位置，使得AC⊥平面ABD
解析　当AB＝x＝1时，此时矩形ABCD为正方形，则AC⊥BD，将△BAD沿直线BD翻折，若使得平面ABD⊥平面BCD时，
由OC⊥BD，OC⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以OC⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以AB⊥OC，故A正确；又OC⊥BD，OA⊥BD，且OA∩OC＝O，所以BD⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以AC⊥BD，故B正确；
所以将△BAD沿直线BD翻折时，总有AB⊥AD，
即AB⊥AC，且AC∩AD＝A，则此时满足AB⊥平面ACD，故C正确；若AC⊥平面ABD，又AO⊂平面ABD，则AC⊥AO，所以在△AOC中，OC为斜边，这与OC＝OA相矛盾，故D不正确.
7.(2021·济宁模拟)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是
解析　对于A，AB∥DE，AB⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图，取正方体所在棱的中点G，连接FG并延长，交AB延长线于H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，AB与DF所在平面的正方形对角线有交点B，DF与该对角线平行，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误.
对于选项B，当μ＝1时，点P在棱B1C1上运动，如图2所示，
对于选项C，取BC的中点D，B1C1的中点D1，连接DD1，A1B，
所以点P与点D或D1重合时，A1P⊥BP；方法一　由多选题特征，排除A，C，故选BD.方法二　对于选项D，易知四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，设AB1与A1B交于点K，连接PK，要使A1B⊥平面AB1P，需A1B⊥KP，所以点P只能是棱CC1的中点，故选项D正确.
方法三　对于选项D，分别取BB1，CC1的中点E，F，连接EF，
9.已知α，β是两个平面，m，n是两条直线.有下列命题：①如果m∥n，n⊂α，那么m∥α；②如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；④如果α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，那么m⊥β.其中所有真命题的序号是______.
解析　①如果m∥n，n⊂α，那么m∥α或m⊂α，故①不正确；②如果m∥α，m⊂β，α∩β＝n，那么m∥n，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确；④缺少m⊂α这个条件，故④不正确.
解析　如图，过A作AF⊥CB的延长线，垂足为F，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，∴AF⊥平面BCDE，
在DE上取一点P，连接AP，CP，AD，
11.(2021·焦作模拟)如图，已知四棱锥S－ABCD的底面是边长为6的菱形，∠BAD＝60°，AC，BD相交于点O，SO⊥平面ABCD，SO＝4，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为_____.
解析　如图，分别取DC，SC的中点G，F，连接GE，GF，FE，∵E是BC的中点，∴GE∥DB，FE∥SB，GE⊄平面SBD，DB⊂平面SBD，则GE∥平面SBD；FE⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，则FE∥平面SBD，又GE∩FE＝E，∴平面FEG∥平面SBD，∵SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵SO∩DB＝O，∴AC⊥平面SBD，
则AC⊥平面FEG，故只要动点P在平面FEG内即总保持PE⊥AC，又动点P在棱锥表面上运动，∴动点P的轨迹的周长即为△FEG的周长，∵四边形ABCD是边长为6的菱形，且∠BAD＝60°，∴BD＝6，则OB＝OD＝3，又SO＝4，∴SB＝SD＝5，
∴△FEG的周长为8.
12.(2021·六安模拟)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，DE⊥AB，垂足为E.现将△ABC沿AD折起，使得BC⊥BD，若三棱锥A－BCD外接球的球心为O，半径为1，则△DOE面积的最大值为_____.
解析　如图所示，取AC的中点F，DC的中点G，连接EF，DF，FG.∴FG∥AD，∵BC⊥BD，∴G到B，C，D的距离相等，同理F到A，C，D的距离相等，∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD ，且FD＝FB＝FC＝FA，∴F即为三棱锥A－BCD外接球的球心O，∵ AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，又BC⊥BD，AD∩BD＝D,∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE，
∵DE⊥AB，AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥EF，∴DE2＋EF2＝DF2，又DF＝1，∴DE2＋EF2＝1，
当且仅当DE＝EF时等号成立，
13.如图(1)，在平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图(2)，使________，点M，N分别为AC，AD的中点.在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题.①AD＝　，②AC为四面体ABDC外接球的直径，③平面ABC⊥平面BCD.
(1)判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；
又由AB＝2，所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD，因为AB⊥BC，且BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面CBD，所以AB⊥平面CBD，又因为CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，又由CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选②：AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，因为CD⊥BD，可证得CD⊥平面ABD，
又M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.若选③：平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，因为AB⊥BC，且AB⊂平面ABC，所以AB⊥平面CBD，又CD⊂平面CBD，所以AB⊥CD，因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，且AB，BD⊂平面ABD，所以CD⊥平面ABD，又因为M，N分别为AC，AD的中点，所以MN∥CD，所以MN⊥平面ABD.
(2)求三棱锥A－MNB的体积.
解　由(1)知MN⊥平面ABD，其中△ABD为直角三角形，
14.(2021·郑州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC的中点.(1)求证：平面A1B1O⊥平面BCA1；
证明　∵AB⊥BC，AB∥A1B1，∴BC⊥A1B1，在△A1AC中，AA1＝A1C＝AC＝2，O是AC的中点，∴A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，∴A1O⊥平面ABC.∵BC⊂平面ABC，∴A1O⊥BC.∵A1B1，A1O⊂平面A1B1O，A1B1∩A1O＝A1，∴BC⊥平面A1B1O，又BC⊂平面BCA1，∴平面BCA1⊥平面A1B1O.
(2)若点E在BC1上，且OE∥平面A1AB，求三棱锥E－A1BC的体积.
解　如图，连接B1C，设B1C与BC1交于点E，连接OE，AB1，利用三角形中位线定理易得OE∥AB1，∵AB1⊂平面ABB1A1，OE⊄平面ABB1A1，∴OE∥平面ABB1A1，∴满足条件的E为BC1的中点.