高考物理二轮复习解题方法第06讲 极值法（2份打包，解析版+原卷版，可预览）

第6讲 极值法（原卷版）

—高中物理解题方法28法20讲

        江苏省特级教师 学科网特约金牌名师 戴儒京

高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。

一、  二次函数求极值

二次函数，当时，y有极值，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。

例题1. 试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。

例题2. 求弹性正碰中m1所传递给m2的动能最大或最小的条件。

二、  三角函数求极值：

三角函数，当时，取最小值0，当时，取最大值1，（在0到范围内），同理，时，取最大值1，时，取最小值0。

例题3.  在倾角=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？

三、导数法求极值：

一般的函数，求一阶导数，令其为零时的值，即为取极值的条件；再求二阶导数，当时，若，则上述极值为极小值；若，则为极大值。

例题4. 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。

R         Ig            Rx

除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。

从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。

四、平抛运动中的极值问题

例题5. 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。

已知：山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为y=，探险队员的质量为m。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。

（1）    求此人落到坡面时的动能；

（2）    此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？

例题6. 在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的质点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角=，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取重力加速度， ，

（1）    求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；

（2）    若绳长=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力，平均阻力，求选手落入水中的深度；

（3）    若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。

例题7. 如图所示，长为L、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置。将一质量为m的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M=km的小物块相连，小物块悬挂于管口。现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变。（重力加速度为g）

 　　（1）求小物块下落过程中的加速度大小；

 　　（2）求小球从管口抛出时的速度大小；

 　　（3）试证明小球平抛运动的水平位移总小于

例题8.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1．（取重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，运动员在运动过程中可视为质点）
（1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a；
（2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小；
（3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′．

归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：

首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程：，，然后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用数学方法求极值。

方法1：配方法。对形如的二次函数，配方为，则当时，有最小值。

方法2:求导法。对形如的二次函数，求其导数，令其等于0，得当时，代入得的最小值。

最后探究极值的物理意义，把数学问题回归到物理问题。

五、小船渡河问题

位移最小问题。

例题9. 设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况研究：

（1）当时

  河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？

（2）当时，设河宽60m,小船在静水中的速度3m/s,水流速度5m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？

六、电源最大输出功率问题

1. 电源最大输出功率问题的基本问题

如下图所示，电源电动势为E=6V，内阻为2，外电路接一滑动变阻器R，求电源输出功率最大的条件及其值。

2、变式

如下图所示，电源电动势为E=6V，内阻为2，外电路接一滑动变阻器R和一定值电阻，求:

（1）        滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。

（2）        定值电阻的功率最大的条件及其最大值。

（3）        电源内阻消耗的功率最大的条件及其最大值。

（4）        电源输出功率最大的条件及其最大值。

（1）        滑动变阻器的功率最大的条件及其最大值。

（2）        定值电阻的功率最大的条件及其最大值。

【注意】在求定值电阻和内阻消耗的功率的时候，有的同学套用“电源输出功率”的最大值的基本问题的结论，是错误的。因为基本问题中，要求的电阻的功率的电阻是可变的，而在求定值电阻和内阻消耗的功率的时候，要求的功率的电阻是不变的，所以，解物理题不能墨守成规，守株待兔或刻舟求剑，要灵活应用已经做过的题目里已经得到的结论。

（3）        电源输出功率最大的条件及其最大值。

从以上结果可以看出，电源输出功率最大问题和滑动变阻器功率最大问题的条件不同，而最大功率相同。

习题1. 如图，外电路由一个可变电阻R和一个固定电阻R0串联构成，电源电动势为ε，电源内阻为r，

　　问：R调到什么时候，R0上将得到最大功率。

　　【小结】

　　在讨论物理问题时选择研究对象是重要的一环。研究对象选错了，就要犯张冠李戴的错误。明明题目中要我们计算定值电阻的功率，有人却套用滑动变阻器的结论。所以认真审题找出研究对象，也是提高理解能力的具体操作步骤。

　　习题2 有四个电源，电动势均为8V，内阻分别为1Ω、2Ω、4Ω、8Ω，今要对R = 2Ω的电阻供电，问选择内阻为多大的电源才能使R上获得的功率最大？ [ 　　]

　　A、1Ω 　　B、2Ω

　　C、4Ω 　　D、8Ω

　　【小结】

　　物理学的任何规律结论的成立都是有条件的，都有其适用范围。有的同学做题比较多，习惯于套用一些熟悉题目的解题路子。这种方法有它合理的一面，也有其造成危害的一面。关键是要掌握好“条件和范围”。

习题3．如图所示，电源电动势为E=12V，内阻r=3Ω，R0=1Ω，直流电动机内阻R0′=1Ω，当调节滑动变阻器R1=2Ω时，可使甲电路输出功率最大，调节R2时可使乙电路输出功率最大，且此时电动机刚好正常工作（额定功率为6W），则此时R2的阻值为（              ）

A．1.5Ω    B．2Ω    C．2.5Ω    D．3Ω

习题4．高考上海物理试题

某同学设计了如图（a）所示电路研究电源输出功率变化情况。电源E电动势、内电阻恒定，R1为滑动变阻器，R2、R3为定值电阻，A、V为理想电表。

（1）若滑动片P由a滑至b时A示数一直变小，则R1和R2必须满足的关系是__________________。

（2）若R1＝6，R2＝12，电源内电阻r＝6，，当滑动片P由a滑至b时，电源E的输出功率P随外电路总电阻R的变化关系如图（b）所示，则R3的阻值应该选择（              ）

（A）2。 （B）4。 （C）6。 （D）8。

图a           图b

【点评】本题确有创新之处，第一，它是设计性实验，不是验证性实验，第二，求R3的阻值，不特别仔细研究，难于看出这两个值的区别，命题确实别具匠心。

习题5.2020版鲁科版新教科书必修第1册第2章章末练习第7题.

 如图(a)所示，一辆自行车以速度v=5m/s匀速经过汽车时，汽车从静止开始以加速度a=2m/s2做匀加速直线运动。

(1)在图(b)中画出两车的v-t图像。

(2)当汽车速度是多少时，自行车超过汽车的距离最大?最大距离是多少?

(3)当汽车速度是多少时，汽车刚好追上自行车?经历了多长时间?