2021-2022学年安徽省宿州市萧县九年级（上）期末数学试卷(含解析 )

2021-2022学年安徽省宿州市萧县九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 矩形，菱形，正方形不同时具有的性质是(    )

A. 对边平行且相等 B. 对角相等
C. 对角线互相平分 D. 每条对角线平分一组对角

2. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

3. 下列各组线段中，成比例的是(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

4. 下列几何体是由个相同的小正方体搭成的，其中从正面和上面看到的平面图形相同的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如果反比例函数的图象经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在菱形中，于点，，，则菱形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 从，，三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 慧慧将方程通过配方转化为的形式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，中，，点在轴上，反比例函数的图象过斜边的中点，与交于点若的面积为，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，∽，已知，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 若方程是关于的一元二次方程，则的值为______．
12. 有一些乒乓球，不知其数，先取个做了标记，把它们放回袋中，混合均匀后又取了个，发现含有个做标记，可估计袋中乒乓球有______ 个
13. 某矩形的长为，宽为，且，则的值为______ ．
14. 如图，正方形中，点在边上，且：：，与交于点．
    当时，______．
    ：______表示面积

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 本小题分
    解方程：
16. 本小题分
    如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶在同一直线上．已知纸板的两条边，，延长交于点，测得边离地面的高度，，求树高．

17. 本小题分
    如图，在平行四边形中，点是的中点，且．
    求证：平行四边形是矩形；
    若，，求矩形的面积．

18. 本小题分
    某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，已知墙长为米．设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米
    用含的代数式表示平行于墙的一边的长为______米，的取值范围为______；
    这个苗圃园的面积为平方米时，求的值．

19. 本小题分
    如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点，，，均为网格线的交点．
    以为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的位似比为：；
    把向上平移个单位长度得，请画出；
    若的面积为，用表示出的面积，直接写出结果．

20. 本小题分
    为了响应国家有关开展中小学生“课后服务”的政策，某学校课后开设了：课后作业辅导、
    ：书法、：阅读、：绘画、：器乐，五门课程供学生选择；其中必选项目，再从、、、中选两门课程．
    若学生小玲第一次选一门课程，直接写出学生小玲选中项目的概率；
    若学生小强和小明在选项的过程中，第一次都是选了项目，那么他俩第二次同时选择书法或绘画的概率是多少？请用列表法或画树状图的方法加以说明并列出所有等可能的结果．
21. 本小题分
    在四边形中，，，点在上，过点作交于点．
    
    【填空】
    若，如图，则的长______；
    若，如图，则的长______；
    若，如图，则的长______；
    
    【猜想】根据上述规律，若，则的长______，并证明你的猜想．
22. 本小题分
    某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为元，为寻求合适的销售价格进行了天的试销，试销情况如表所示：

观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；
若商场计划每天的销售利润为元，则其单价应定为多少元？

23. 本小题分
    如图二，在中，过点作，垂足为点，过点分别作，，垂足分别为，连接交线段于点．
    在图一中，，，有几组相似的三角形，请写出来；
    在图二中，证明：；
    如果，，试求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们同时具有平行四边形的一切性质，而备选答案A、、具有平行四边形的性质，所以只有备选答案D符合题意．
故选：．
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质分别分析各个选项，从而得到答案．
本题主要考查的是矩形，菱形，正方形以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
或，
，，
当为腰，为底时，，不符合三角形三边的关系，
等腰三角形的底为，腰为，
这个等腰三角形的周长．
故选：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为，腰为，然后计算这个等腰三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
选项A不成比例；
B、，
选项B不成比例；
C、，
选项C不成比例；
D、，
选项D成比例．
故选D．
分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断即可得出结论．
本题考查比例线段．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的主视图的底层是三个小正方形，上层左边是一个小正方形；俯视图是一行三个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意；
B.该几何体的主视图的底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；俯视图的底层是一个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意；
C.该几何体的主视图和俯视图相同，均为底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
D.该几何体的主视图的底层是两个小正方形，上层右边是一个小正方形；俯视图的底层是一个小正方形，所以从正面和上面看到的平面图形不相同，故本选项不合题意．
故选：．
根据主视图和俯视图的定义判断即可．
此题主要考查了作图三视图的画法，正确把握观察角度是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，
，
．
故选：．
根据给定点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值，此题得解．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征找出关于的一元一次方程是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
设，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
即菱形的边长为，
故选：．
由菱形的性质得，设，则，得，再由勾股定理得，求出，即可求解．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意列表如下：

所有等可能的情况有种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有种，
所以该点在坐标轴上的概率；
故选：．
列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了点的坐标特征．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
则，
故选：．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，则，
是的中点，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
又，
，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义可得，由中点的定义和相似三角形的性质可得，在根据，可求出答案．
本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：∽，
，，
，，
∽，
，
，，
，
，即，
，
．
故选：．
根据∽证明∽，从而证明，在直角三角形中，利用勾股定理计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，比例的性质等知识，根据已知证明∽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，得且，
解得，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

12.【答案】 

【解析】解：混合均匀后又取了个，发现含有个做标记，
作标记的乒乓球所占的比例是，
又作标记的共有个，
乒乓球共有个．
故答案为：．
混合均匀后又取了个，发现含有个做标记，则作标记的乒乓球所占的比例是，再根据作标记的共有个，即可求得乒乓球的总数．
本题考查了用样本估计总体的思想．其中所抽取的个是样本，计算其中有标记出现的频率可以近似地估计总体中的频率．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
、为矩形的边长，
．
故填空答案：．
首先把按照多项式的乘法法则展开，把当做一个整体去乘，即可得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
 

14.【答案】 ，
：． 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
∽，
，
：：，，
：：，
，
，是正方形的对角线，
，
又，
，
故答案为：；
由得∽，且：：，
：：，
，
又：：，
：：，
，
，
，
：：，
故答案为：：．
根据正方形的性质得到，从而推出∽，利用相似三角形的性质得到，结合图形根据线段之间的和差关系推出，进而根据正方形的性质、线段之间的和差关系和比例关系求解即可；
根据相似三角形的性质推出，根据线段的比例关系推出，从而结合图形推出，进行求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应充分利用数形结合思想方法，根据正方形的性质得到判定相似三角形的条件，再利用相似三角形的性质及各图形面积之间的关系进行求解．
 

15.【答案】解：，
，
，
，
所以，． 

【解析】利用配方法解方程．
本题考查了解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

16.【答案】解：，，
，，
∽，
，
即，
解得，
树高． 

【解析】根据相似三角形的性质得到，据此可得的长，再根据线段的和差即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用，解题的关键是证得∽．
 

17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
点是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
平行四边形是矩形；
解：由得：≌，
，
，
，
，
，
，
，
矩形的面积． 

【解析】证≌，得出，即可得出结论；
证出，则，由含角的直角三角形的性质得出，则，由矩形面积公式即可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

18.【答案】； 

【解析】解：由题意，得
，

．
故答案为：，；

由题意得
，
解得：，，
因为，
所以不符合题意，舍去，故的值为米．
答：．
由总长度垂直于墙的两边的长度平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出的取值范围；
由长方形的面积公式建立方程求出其解即可．
本题考查了长方形的周长公式的运用，长方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据长方形的面积公式建立方程是关键．
 

19.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；

由知和是位似图形，且位似比为：，
∽，相似比为：，
，
． 

【解析】延长到使，延长到使，延长到使，则可得到；
利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点即可；
根据位似的性质得到∽，相似比为：，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了作图位似变换：熟练掌握画位似图形的一般步骤确定位似中心；分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解决问题的关键．也考查了平移变换．
 

20.【答案】解：若学生小玲第一次选一门课程，学生小玲选中项目的概率；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中他俩第二次同时选择书法或绘画的结果数为，
所以他俩第二次同时选择书法或绘画的概率． 

【解析】直接利用概率公式求解；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩第二次同时选择书法或绘画的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
 

21.【答案】    

【解析】解：如图中，，，
，
，
，
．
故答案为：；

如图中，过点作，分别交，于点，，

，，
四边形，为平行四边形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
故答案为：；

同法可得．
故答案为：；

结论：，证明如下：
如图中，

过点作，分别交，于点，，
，，
四边形，为平行四边形，
，
，
，
∽，
，即，
，
，即．
故答案为：．
利用图形中位线定理解决问题即可；
如图中，过点作，分别交，于点，，利用平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质求解即可；
过点作，分别交，于点，，利用平行四边形的判定和性质，相似三角形的性质求解即可；
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，平行四边形解决问题．
 

22.【答案】解：由表中数据得：，
，
是的反比例函数，
故所求函数关系式为；
由题意得：，
把代入得：，
整理的：
即：，
解得：；
经检验，是原方程的根；
答：若商场计划每天的销售利润为元，则其单价应定为元． 

【解析】由表中数据得出，即可得出结果；
由题意得出方程，解方程即可，注意检验．
本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，
∽，
故有三组三角形相似，∽，，∽；
，，
∽，
，即，
，，
∽，
，即，
则；
，
，，，四点共圆，
，，
∽，
，即，
，
，
． 

【解析】，，得，再由结合图中的公共角相等，可得，∽，，进而得∽；
由一对直角相等及一对公共角相等，得到三角形与三角形相似，由相似得比例列出关系式，同理得到三角形与三角形相似，由相似得比例列出关系式，等量代换即可得证；
由，得到，，，四点共圆，利用同弧所对的圆周角相等得到两对角相等，确定出三角形与三角形相似，由相似得比例即可得证．
此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．