2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙县八年级（上）期末数学试卷(含解析 )

2021-2022学年河北省秦皇岛市卢龙县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共14小题，共42分）

1. 下列实数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 由四舍五入得到的近似数万．精确到(    )

A. 十分位 B. 百分位 C. 百位 D. 十位

4. 的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 要使分式有意义，则的取值应满足(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若将四个数、、、表示在数轴上，其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 关于的叙述正确的是(    )

A. 在数轴上不存在表示的点 B.
C.  D. 与最接近的整数是

8. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

9. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边的长为，则该等腰三角形的腰长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是(    )
     

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

11. 用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设(    )

A. 在三角形中，三个内角都大于
B. 在三角形中，三个内角都小于
C. 在三角形中，至少有一个内角大于
D. 在三角形中，至少有一个内角小于

12. 几个同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为元，后来又增加了两名同学，租车价不变，若设原来参加旅游的同学共有人，结果每个同学比原来少分摊元车费(    )

A.  B.  C.  D.

13. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(    )

A.  B.  C.  D.

14. 如图，已知在中，，，，点，在边上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

15. 的立方根是______．
16. 化简的结果是______．
17. 如图，的直角边在数轴上，点表示的实数为，以为圆心，的长为半径作弧交数轴的负半轴于点若，，则点表示的实数为______．

18. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为______．

19. 若，则代数式的值是______．
20. 如右图：比长，的垂直平分线交于，交于，的周长是，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共52分）

21. 先化简后求值：
    当时，求的值．
22. 计算：
23. 作图题：
    在方格纸中画出关于点的对称图形，并在所画图中标明字母．
    
    图中的小方格都是边长为的正方形，的顶点坐标为、、
    请在图中画出关于轴对称的图形．
    
    尺规作图：
    作边的垂直平分线交于点；
    连接，作的平分线交于点；要求：保留作图痕迹，不写作法
     
24. 如图，，，，求证：≌．

25. 若，是的两边，且．
    试求，的值，并求第三边的取值范围；
    若是等腰三角形，试求此三角形的周长．
26. 如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米米、东米米的点处．
    
    求小明家离小红家的距离；
    现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是无理数，故本选项符合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
 

3.【答案】 

【解析】解：由四舍五入得到的近似数万，精确到百位，
故选：．
根据近似数的精确度进行判断．
本题考查了近似数和有效数字：“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
根据开立方的方法，求出的值，即可判断出的立方根是多少．
此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．
 

5.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
，
即的取值应满足：．
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式有意义的条件是分母不等于零．分式无意义的条件是分母等于零．分式的值为正数的条件是分子、分母同号．分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
可能被如图所示的墨迹覆盖的数是，
故选：．
根据算术平方根的概念分别估算各个实数的大小，根据题意判断．
本题考查的是实数和数轴，算术平方根，正确估算算术平方根的大小是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：数轴上的点与实数一一对应，因此在数轴上存在表示的点，因此选项A不符合题意；
B.，即，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.因为，，而，所以，又，因此最接近的整数是，因此选项D符合题意；
故选：．
根据实数与数轴上点的一一对应关系，二次根式的化简以及估算无理数的大小逐项进行判断即可．
本题考查估算无理数的大小，实数与数轴上点的一一对应关系以及二次根式的化简，掌握算术平方根的定义，实数的定义以及二次根式的化简方法是正确判断的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
D、，该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
分已知边是腰长和底边两种情况讨论求解．
【解答】
解：是腰长时，底边为，
，
、、不能组成三角形；
是底边时，腰长为，
、、能够组成三角形；
综上所述，它的腰长为．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如上图，已知，上面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是乙，
故选：．
利用全等三角形的判定方法，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于，即每个内角都小于．
故选：．
假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．
本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

12.【答案】 

【解析】解：原来参加旅游的同学共有人时，每人分摊的车费为元，
又增加了两名同学，租车价不变，则此时每人分摊的车费为
每个同学比原来少分摊元车费：
故选：．
用总车费除以人数得每人分摊的车费数，两者相减，利用分式的通分进行加减并化简即可．
本题考查了列分式并进行分式的加减计算，掌握利用通分方法进行分式的加减计算是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】
解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，则

所以
所以“数学风车”的周长是：．
故选：．  

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

，且，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，过点作于，先根据等腰三角形三线合一的性质得：，由含角的直角三角形的性质得：，由此可得答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了立方根的概念．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．利用立方根的定义即可求解．
【解答】
解：因为，
所以的立方根是．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
分子、分母约去进行约分即可．
本题主要考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
则，
点表示，
点表示的数为：，
故答案为：．
首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时考查了实数与数轴．
 

18.【答案】 

【解析】解：两个小正方形面积为和，
大正方形边长为：，
大正方形面积为，
留下的阴影部分面积和为：
故答案为：．
直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：，





，
故答案为：．
先根据完全平方公式变成得出，再代入求出答案即可．
本题考查了二次根式的化简求值，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
由题意得，，
的周长，
解得，，
故答案为：．
根据线段的垂直平分线的性质得到，根据题意和三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键．
 

21.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先根据负的减法法则斤计算，再根据分式的除法把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

22.【答案】解：原式

． 

【解析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减可得．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

23.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；

如图所示，直线即为所求；
如图所示，射线即为所求．
 

【解析】根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
根据轴对称变换的性质找出对应点即可求解；
根据垂直平分线的性质作出图形即可；
根据角平分线的性质作出图形即可．
本题考查了轴对称变换的性质，旋转变换的性质，以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，，
．
，
即．
在和中，
，
≌． 

【解析】根据证明三角形全等即可．
本题考查全等三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：，
，，
，
即；

当腰长为时，
此时三角形的三边为、、，满足三角形三边关系，周长为；
当腰长为时，
此时三角形的三边长为、、，满足三角形三边关系，周长为；
综上可知等腰三角形的周长为或； 

【解析】利用非负数的性质可求得、的值，根据三角形三边关系可求得的范围；
分腰长为或两种情况进行计算；
本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等、两底角相等是解题的关键．
 

26.【答案】解：如图，连接，

由题意知，，，
在中，
，
，

米；
如图，作点关于直线的对称点，连接交于点．

驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为，
由题意知米，，
米，
在中，
，
，
，
米，
即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为米． 

【解析】如图，连接，根据勾股定理即可得到结论；
如图，作点关于直线的对称点，连接交于点驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查轴对称最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．