2021-2022学年贵州省黔南州九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省黔南州九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的二次项系数为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 小明用一面放大镜观察一个三角形，则这个三角形没有发生变化的是(    )

A. 三角形的边长 B. 三角形的各内角度数
C. 三角形的面积 D. 三角形的周长

4. 如果，则下列式子正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在菱形中，对角线，相交于点，若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，连接，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 一个木匠想用一根米长的木条来围花圃，他考虑用下列一种花圃设计，以下设计不能用米长的木条围出来的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 某校九年级学生，在学习“用频率估计概率”时，五个班级的同学做抛掷一枚硬币的试验，并将所得的试验数据整理如下表：

下面有四个推断：
当抛掷次数是时，“正面向上”的次数是，所以“正面向上”的概率是；
当抛掷次数是时，“正面向上”的次数是，所以“正面向上”的概率是；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；
若再次做此试验，则当抛掷次数为时，“正面向上”的频率一定是．
其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 年的“一圈两场三改”工作标志着贵阳市民生建设迈入新阶段，某区月开放体育场馆所，预计到年月开放体育场馆达所，若设每个月开放体育场馆的平均增长率为，则所列的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知反比例函数与的部分图象如图所示，点是轴正半轴上一点，过点作轴分别交两个图象于点，若则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知一个无盖长方体盒子的底面是边长为的正方形，侧面是长为的长方形．现展开铺平，如图，依次连接点，，，得到一个正方形，将四个长方形沿虚线各剪去一个直角三角形，则剪得的这个直角三角形较短直角边长是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 关于的方程为常数的根的情况，下列结论中正确的是(    )

A. 两个正根 B. 两个负根
C. 一个正根，一个负根 D. 无实数根

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 方程的根为______．
14. 已知∽，且：：，则的周长与的周长之比是______．
15. 若反比例函数的图象在其每个象限内，随的增大而增大，则的值可以是______ 写出一个符合条件的值即可
16. 如图，在边长为的正方形中，分别是，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接，则的周长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，将一架梯子斜靠在墙上墙与地面垂直，梯子的顶端距地面的垂直距离，梯子的底端距墙的距离．
    求梯子的长度；
    如果将梯子向下滑动，使得梯子的底端向右滑动，那么此时梯子顶端下滑了多少米．

18. 本小题分
    如图，在菱形中，过分别作于，连接，为线段上一点，且．
    求证：∽；
    若，，求的长．

19. 本小题分
    如图，用四个完全相同的矩形拼成了一个大正方形，是其中一个小矩形的对角线，请在大正方形中完成下列画图，要求：仅用无刻度的直尺；保留必要的画图痕迹．
    在图中画出一个以为边的正方形；
    在图中画出一个以点或点为顶点，为一边的角，并说明理由．

20. 本小题分
    在一地面的正上方有一路灯，小明想测量路灯到地面的高度．于是他将一根长度为的标杆如图放置，使与地面平行，得到标杆在地面的影子为．
    请在图中画出路灯的位置；
    若测得标杆与地面之间的距离是，此时在地面的影长，求路灯到地面的距离．

21. 本小题分
    如图所示，矩形的对角线相交于点，为边上一点，且，．
    判断的形状并说明理由；
    求出的度数．

22. 本小题分
    小明，小颖和小凡都想去看电影长津湖，但只有一张电影票．三人决定通过抓阄来确定谁获得电影票．他们准备了三张纸片，其中一张上写了“”，另两张上写了“”，团成外观一致的三个纸团，抓中写有“”的人才能得到电影票．刚要抓阄，小明说：“我觉得先抓的人抓中的机会比别人大”你认为他的说法正确吗？用所学过的概率知识说明理由．
23. 本小题分
    某数学建模小组在综合实践课上探究面积为，周长为的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．他们在解决此问题时通常采用“代数”的方法解决，但也可以从“图形”的角度来研究它．
    构建模型
    当时，设矩形的长和宽分别为，，则，，满足要求的可以看成反比例函数的图象与一次函数在第一象限内的交点坐标．从图中观察到，交点坐标为______，即满足当矩形面积为时，周长是的矩形是存在的；
    问题探究
    根据的结论，当，时，满足要求的，可以看成反比例函数的图象与一次函数______的交点坐标，而此一次函数图象可由直线平移得到．请在图的平面直角坐标系中直接画出直线当直线平移到与反比例函数的图象有唯一交点时，周长的值为______；
    拓展应用
    写出周长的取值范围．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的二次项系数为，
故选：．
根据一元二次方程的一般形式得出选项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

2.【答案】 

【解析】解：主视图是一个“”形的组合图形．
故选：．
找到从几何体的正面看所得到的图形即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：小明用一面放大镜观察一个三角形，
看到的三角形和原三角形相似，
这个三角形没有发生变化的是三角形的各内角度数，
故选：．
根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查了相似图形，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
故A符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
故C不符合题意；
D、，
，
故D不符合题意；
故选：．
把每一个选项的比例式转化为等积式，逐一判断即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，
．
故选：．
由菱形的性质可得，，由直角三角形的性质即可求解．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，轴于点，
的面积为，
故选：．
根据反比例函数系数的几何意义，即可确定的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：通过平移可将选项A中的图形周长转化为长为米，宽为米的长方形的周长，因此选项A不符合题意；
B.如图过点作于，则米，，所以这个平行四边形的周长要大于米，因此选项B符合题意；
C.这个长方形的周长为米，因此选项C不符合题意；
D.通过平移可将选项D中的图形周长转化为长为米，宽为米的长方形的周长，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据平移的性质以及直角三角形的边长关系逐项进行判断即可．
本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质以及“周长”的定义和计算方法是正确判断的前提．
 

8.【答案】 

【解析】解：当抛掷次数是时，“正面向上”的次数是，所以“正面向上”的频率是，不是概率为，因此不符合题意；
当抛掷次数是时，“正面向上”的次数是，所以“正面向上”的频率是，不是概率为，因此不符合题意；
随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，因此符合题意；
若再次做此试验，则当抛掷次数为时，“正面向上”的频率不一定一定是，因此不符合题意；
故选：．
根据频率、概率的定义进行判断即可．
本题考查频率与概率，理解频率与概率的定义是正确解答的前提．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
利用年月开放体育馆数量年月开放体育馆数量每个月开放体育场馆的平均增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，

，
，
轴，即，
，
点在图象上，
，
，
，
而，
．
故选：．
由于轴，，则，则，根据反比例函数系数的几何意义得到，所以，然后再根据反比例函数系数的几何意义得到，由于反比例函数图象过第一象限，所以．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，由题意，剪去的直角三角形是四个全等三角形，

，，，，
，
，
∽，
，
，
故选：．
如图只要证明∽，推出，即可求得的长，由此即可解决问题．
本题考查勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于的方程为常数，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系，方程的两个根的积为，
一个正根，一个负根，
故选：．
先把方程化为，再根据可得方程有两个不相等的实数根，由即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

13.【答案】， 

【解析】

【分析】
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】

解：，
则，
解得：，．
故答案为，．
 

14.【答案】： 

【解析】解：∽，：：，
与的相似比为：，
与的周长之比为：，
故答案为：：．
根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
 

15.【答案】答案不唯一 

【解析】解：它在每个象限内，随增大而增大，
，
符合条件的的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据它在每个象限内，随增大而增大判断出的符号，选取合适的的值即可．
本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的反比例函数的解析式符合条件即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，并延长交于，

，分别是，的中点，
，，
，
是的中点，
，
，
∽，
，
，，
，
，
点是中点，点是的中点，，
，，
的周长，
故答案为：．
利用勾股定理和三角形中位线定理分别求出，，的长，即可求解．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

17.【答案】解：，，，
，
答：梯子的长度是；
设梯子顶端下滑了米，
根据勾股定理得，，
解得：或不合题意舍去．
答：梯子顶端下滑了米． 

【解析】根据勾股定理即可得到结论；
根据勾股定理列方程，即可得到答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

18.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，
又，
∽；
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】由平行线的性质可得，可得结论；
由勾股定理可求，的长，由相似三角形的性质可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图正方形即为所求；
如图，即为所求．
理由：四边形是正方形，
，，
，都是等腰直角三角形，
，，
即，即为所求． 

【解析】根据正方形的定义画出图形即可；
利用正方形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

20.【答案】解：如图，点即为所求；

标杆，与地面之间的距离是，在地面的影长，
设路灯到地面的距离为．
，
∽，
，
解得，
路灯到地面的距离为． 

【解析】根据平行投影画出路灯的位置；
根据标杆，与地面之间的距离是，在地面的影长，设路灯到地面的距离为由，对应边的比等于对应高的比即可解决问题．
本题考查了作图应用与设计作图、相似三角形的应用、平行投影、中心投影，解决本题的关键是根据题意准确画图．
 

21.【答案】解：是等边三角形，理由如下：
四边形是矩形，
，
，，
，
又，
，
是等边三角形；
是等边三角形，
，
，
，
，
． 

【解析】由矩形的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可求，可得结论；
由等腰三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

22.【答案】解：他的说法错误，先抓与后抓，抓中的机会是一样的，理由如下：
将“”记作，“”记作、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明抓中的有种结果，小颖抓中的有种结果，小凡抓中的有种结果，
所以．
所以小明的说法错误． 

【解析】将“”记作，“”记作、，画树状图，共有种等可能的结果，小明抓中的有种结果，小颖抓中的有种结果，小凡抓中的有种结果，再由概率公式求出各个概率即可．
本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性，概率相等就公平，否则不公平；正确画出树状图是解题的关键．
 

23.【答案】、     

【解析】解：根据图象可得，交点为、，
故答案为：、；
，
，
当时，，
，
解得，
反比例函数的图象与一次函数有一个交点，
，
故答案为：，；
由可得．
通过观察图象直接求解即可；
当时，，求出的值即可；
根据的结论直接求解即可．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，数形结合是解题的关键．