陕西省西安市新城区沣东新城高新学校2022-2023学年八年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份陕西省西安市新城区沣东新城高新学校2022-2023学年八年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市新城区沣东新城高新学校八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）
1．9的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±
2．各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，，2 D．8，15，17
3．在实数，，，，3.14中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在下列各式中正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝±5 C．﹣＝4 D．＝2
5．已知二次根式与化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．18 B．22 C．28 D．36
7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）

A．3cm B．cm C．5cm D．2cm
8．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12
二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分。）
9．的相反数是　 　．
10．比较大小：　 　．
11．的整数部分是a，的小数部分是b，则ab＝　 　．
12．如图，在数轴上点P表示的实数是　 　．

13．已知，则xy＝　 　．
三、解答题（本大题共12小题。共81分、请在指定区域内作谷解谷时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．解方程：
（1）（x﹣4）2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣9＝0．
16．先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6，其中a＝﹣．
17．在一个边长为（3+2）cm的正方形的内部挖去一个长为（3+）cm，宽为（4﹣）cm的长方形，求剩余部分的面积．
18．已知a+7的立方根是2，一个正数b的平方根分别是5x﹣2和4﹣6x，求3b+4a的平方根．
19．盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？

20．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0，判断△ABC是否构成直角三角形，并说明理由．
21．已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
22．如图，∠AOB＝90°，OA＝40m，OB＝15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？

23．实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．

24．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

25．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：．


参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）
1．9的平方根是（　　）
A．3 B．±3 C．﹣3 D．±
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．
解：9的平方根是：
±＝±3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2．各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，，2 D．8，15，17
【分析】根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．
解：A、∵62+92≠252，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵0.32+0.42＝0.52，能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵12+2＝22，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；
D、∵82+152＝172，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查勾股数，关键是根据满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答．
3．在实数，，，，3.14中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
解：，是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，注意带根号的数不一定是无理数．
4．在下列各式中正确的是（　　）
A．＝﹣3 B．＝±5 C．﹣＝4 D．＝2
【分析】根据二次根式的性质即可求解．
解：A．＝＝3，则选项A不符合题意；
B．＝5，则选项B不符合题意；
C．＝﹣4，则选项C不符合题意；
D．＝＝2，则选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
5．已知二次根式与化成最简二次根式后．被开方数相同，则符合条件的正整数a有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先将化简为2，再根据同类二次根式的定义即可求解．
解：＝2，
∵二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，
∴①当a＝30时，32﹣a＝2，即＝，
②当a＝24时，32﹣a＝8，即＝＝2，
③当a＝14时，32﹣a＝18，即＝＝3，
则符合条件的正整数a有3个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，掌握二次根式的化简方法和同类二次根式的定义是解题的关键．
6．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为16，直角三角形的面积为3，直角三角形的两直角边分别为a和b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．18 B．22 C．28 D．36
【分析】根据所求问题，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知条件得到ab的值，根据完全平方公式即可求解．
解：大正方形的面积为16，得到它的边长为4，
即得a2+b2＝42＝16，ab＝3，
由题意4×3+（a﹣b）2＝16，ab＝6，
所以（a﹣b）2＝4，
所以（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+4×6＝28，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．
7．如图所示，长方形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则AF长为（　　）

A．3cm B．cm C．5cm D．2cm
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理求AF即可．
解：设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
∵矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝D′F，
在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5（cm）．
∴AF＝5cm，
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键．
8．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（　　）
A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣12
【分析】首先分别根据绝对值的和算术平方根的定义可求出a，b的值，然后把a，b的值代入|a+b|＝a+b中，最终确定a，b的值，然后求解．
解：∵|a|＝5，
∴a＝±5，
∵＝7，
∴b＝±7，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，
当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，
所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的意义：即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．也利用了算术平方根的定义．
二、填空题（本大题共有5小题，每小题3分，共15分。）
9．的相反数是　﹣2　．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数叫做互为相反数解答．
解：2﹣的相反数是﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
10．比较大小：　＜　．
【分析】先估算出的值，再根据同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的数较大即可进行解答．
解：∵≈1.7，
∴﹣1＜1，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是实数的大小比较及估算无理数的大小，解答此题时要熟知：同分母的两个正数相比较，分母相同，分子大的较大．
11．的整数部分是a，的小数部分是b，则ab＝　﹣2　．
【分析】估算，的大小，确定a，b的值，代入计算即可．
解：∵1＜＜2，2＜＜3，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴ab＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是求出a、b的前提．
12．如图，在数轴上点P表示的实数是　2﹣　．

【分析】根据勾股定理求出斜边的长为，将2向左平移个单位即可得到点P表示的实数．
解：根据勾股定理得＝＝，
∴点P表示的实数为2﹣．
故答案为：2﹣．
【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
13．已知，则xy＝　　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
解：根据题意，得
x﹣2≥0，2﹣x≥0，
∴x＝2；
∴y＝﹣3，
∴xy＝2﹣3＝．
故答案是：．
【点评】此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
三、解答题（本大题共12小题。共81分、请在指定区域内作谷解谷时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
14．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先化简二次根式再合并即可；
（2）根据二次根式混合运算的法则计算即可；
（3）运用零指数幂、绝对值的定义先化简，然后计算加减；
（4）运用平方差公式和完全平方公式计算即可．
解：（1）
＝3﹣6+4
＝；
（2）
＝4+﹣+2
＝5+；
（3）
＝2+﹣2+﹣1
＝3﹣2；
（4）
＝3﹣2﹣5+2﹣1
＝﹣5+2．
【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则并灵活运用．
15．解方程：
（1）（x﹣4）2＝4；
（2）（x﹣1）3﹣9＝0．
【分析】（1）根据平方根的定义即可求解；
（2）根据立方根的定义即可求解；
解：（1）x﹣4＝±2，
x＝6或x＝2；
（2）＝9，
（x﹣1）3＝27，
x﹣1＝3，
x＝4．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
16．先化简，再求值：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6，其中a＝﹣．
【分析】根据平方差公式和单项式乘多项式可以将所求式子展开并化简，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：2（a+）（a﹣）﹣a（a﹣6）+6
＝2（a2﹣3）﹣a2+6a+6
＝2a2﹣6﹣a2+6a+6
＝a2+6a，
当a＝时，
原式＝＝2﹣6．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
17．在一个边长为（3+2）cm的正方形的内部挖去一个长为（3+）cm，宽为（4﹣）cm的长方形，求剩余部分的面积．
【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
解：剩余部分的面积为：（3+2）2﹣（3+）（4﹣）＝（18+24+24）﹣（12﹣3+4﹣3）＝42+24﹣9﹣＝33+23（cm2）．
【点评】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
18．已知a+7的立方根是2，一个正数b的平方根分别是5x﹣2和4﹣6x，求3b+4a的平方根．
【分析】根据立方根的定义可得a+7＝8，得a的值，根据平方根的性质得出关于x的方程，解出可得b的值，代入3b+4a可解答．
解：∵a+7的立方根是2，
∴a+7＝8，
∴a＝1，
∵一个正数b的平方根分别是5x﹣2和4﹣6x，
∴5x﹣2+4﹣6x＝0，
解得：x＝2，
∴4﹣6x＝4﹣6×2＝﹣8，
∴b＝（﹣8）2＝64，
∴3b+4a＝3×64+4×1＝196，
∴3b+4a的平方根是±14．
【点评】本题考查了立方根和平方根等知识点，能灵活运用这些知识点进行计算是解此题的关键．
19．盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做多长？

【分析】由于吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，故可先利用勾股定理求出AC的长，进而可得出结论．
解：如图；杯内的吸管部分长为AC，杯高AB＝12cm，杯底直径BC＝5cm；
Rt△ABC中，AB＝12cm，BC＝5cm；
由勾股定理得：AC＝＝13（cm）；
故吸管的长度最少要：13+4.6＝17.6（cm）．

【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
20．在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足（a﹣）2++|c﹣2|＝0，判断△ABC是否构成直角三角形，并说明理由．
【分析】根据非负数的性质求出a，b，c，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：△ABC构成直角三角形，理由如下：
∵（a﹣）2++|c﹣2|＝0，
∴a﹣＝0，b﹣4＝0，c﹣2＝0，
解得a＝，b＝4，c＝2，
∵（）2+42＝（2）2，
∴△ABC构成直角三角形．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理、非负数的性质，关键在于根据非负数的性质求出a，b，c，从而得出三角形的形状．
21．已知a＝2+，b＝2﹣，求下列式子的值：
（1）a2﹣3ab+b2；
（2）（a+1）（b+1）．
【分析】（1）利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值；
（2）将a和b的值代入原式，然后利用平方差公式进行计算．
解：（1）原式＝（a﹣b）2﹣ab，
当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝[2+﹣（2﹣）]2﹣（2+）（2﹣）
＝（2+﹣2+）2﹣（4﹣6）
＝（2）2﹣（﹣2）
＝24+2
＝26；
（2）当a＝2+，b＝2﹣时，
原式＝（2++1）（2﹣+1）
＝（3+）（3﹣）
＝9﹣6
＝3．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
22．如图，∠AOB＝90°，OA＝40m，OB＝15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？

【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC＝AC，设BC＝AC＝xm，根据勾股定理求出x的值即可．
解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC＝AC，
设BC＝AC＝xm，
则OC＝（40﹣x）m，
在Rt△BOC中，
∵OB2+OC2＝BC2，
∴152+（40﹣x）2＝x2，
解得x＝．
∴机器人行走的路程BC为m．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
23．实数a，b，c在数轴上如图所示，化简：（）2﹣+|b﹣c|+．

【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
解：由数轴可得：c＞0，a+b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0，
故原式＝c﹣（﹣a﹣b）﹣（b﹣c）+c﹣a
＝c+a+b﹣b+c+c﹣a
＝3c．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
24．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．

【分析】要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，首先要把两个点展开到一个平面内，然后分析展开图形中的数据，根据勾股定理即可求解．
解：将曲面沿AB展开，如图所示，过C作CE⊥AB于E，
在Rt△CEF中，∠CEF＝90°，EF＝18﹣1﹣1＝16（cm），CE＝×60＝30（cm），
由勾股定理，得CF＝＝34（cm）．
答：蜘蛛所走的最短路线是34cm．

【点评】由于蜘蛛与苍蝇均属于玻璃容器的外侧，因而蜘蛛不能直接到达点F，需沿侧面爬行．为此，可将曲面沿AB展开，显然蜘蛛所走的最短的路线即为线段CF，从而可构造直角三角形，用勾股定理求出CF的长．
25．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：；
方法二：；
（1）请用两种不同的方法化简：；
（2）化简：．
【分析】（1）利用分母有理化或把2化为两式乘积的形式进行化简；
（2）先把各分母提，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．
解：（1）方法一：＝＝＝＝﹣；
方法二：＝＝＝﹣；
（2）原式＝（+++•••+）
＝（﹣1+﹣+2﹣+•••+﹣）
＝×（﹣1）
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．