暑期函数与导数专题进阶25讲

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1.对数平均值不等式
，
两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当时，等号成立.
只证：当时，，可设.（I）先证：……[学科
不等式
构造函数，则.
因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式成立；
不等式
构造函数，则.
例1．（2021•启东市校级开学）已知函数，．
（1）若，求函数在为自然对数的底数）上的零点个数；
（2）若方程恰有一个实根，求的取值集合；
（3）若方程有两个不同的实根，，求证：．
例2．（2016•河南模拟）已知函数，其中为常数．
（Ⅰ）若恰有一个解，求的值；
（Ⅱ）若函数，其中为常数，试判断函数的单调性；
若恰有两个零点，，求证：．
例3．（2021•浙江模拟）已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，求的取值范围；
（3）当时，若，为函数的两个零点，试证明：．
1．（2021•浙江期中）已知函数有两个不同的零点，．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【解答】解：（1）函数
，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故当时，函数取最小值，
若函数有两个不同的零点，．
则，即；
证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设，
则，且，
若证．即证，
构造函数，，
所以，
所以，，
令，则，所以单调递增，
所以（1），
所以，所以（1），
即，，
又，所以
因为在区间上单调递增，
所以，故原不等式得证．
2．（2021•汕头一模）已知函数有两个相异零点，．
（1）求的取值范围；
（2）求证：．
【解答】解：（1），
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
要使函数有两个相异零点，必有（1），，
当时，，且，函数在有一个零点
，，函数在有一个零点，
的取值范围为．
（2）由（1）知，，
，，
要证，，
故构造函数，，
则，所以在单调递减，（1）．
，，
构造函数，
，
下面证明，即证明，
构造函数，．
在上恒成立，
因此在递增，从而（1），
，在递增，
（1），
，
时，，单调递增，
，
即．