安徽省安庆市潜山市2022年九年级上学期期末数学试题及答案

 九年级上学期期末数学试题

一、单选题

1．下列交通标识中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．已知，则＝（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

3．若点A（﹣3，2）关于x轴的对称点A′恰好在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为（　　）

A．﹣5 B．﹣1 C．6 D．﹣6

4．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在网格线的交点上，以AB为直径的⊙O经过点C，若点D在⊙O上，则tan∠ADC＝（　　）

A． B． C． D．

5．在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝4，点O是△ABC的内心，则△ABC的内切圆半径为（　　）

A．2 B．4﹣2 C．2﹣ D．2﹣2

6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝28°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D＝（　　）

A．30° B．56° C．28° D．34°

7．已知抛物线y＝（x﹣a）2+x﹣3a+1与直线y＝a（a是常数，且a≠0）有两个不同的交点，且抛物线的对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（　　）

A．a＞ B．a＞

C．＜a＜ D．﹣＜a＜﹣

8．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC＝（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：5

9．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（　　）

A． B． C．6 D．8

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠PBC＝∠PAB，则PC的最小值是（　　）

A．6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣4

二、填空题

11．sin30°+cos60°＝　     　．

12．在平面直角坐标系中有 ， ， 三点， ， ， ．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为　         　．  

13．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的解析式为y＝ax2＋bx，小强骑自行车从拱梁一端O匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶到6分钟和14分钟时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需　     　分钟.

14．如图，△ABC中，过点B作BD⊥AB，交AC于点D，且AD：CD＝4：3，∠ABC＝150°．

（1）BD：BC＝　     　；

（2）若AB＝4，则△ABC的面积是 　     　．

三、解答题

15．已知抛物线的顶点是（﹣3，2），且经过点（4，﹣5），试确定抛物线的函数表达式．

16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点O是AB的中点．

（1）若以点O为圆心，以R为半径作⊙O，且点A，B，C都在⊙O上，求R的值；

（2）若以点B为圆心，以r为半径作⊙B，且点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，求r的取值范围．

17．如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，点O是格点．

( 1 )以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC在点O的同侧，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；

( 2 )将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

18．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端分米，C为中点，D为拱门最高点，圆心O在线段上，分米，求拱门所在圆的半径．

19．如图，在高度为100米的小山上竖直建有一座铁塔，小明为测得铁塔的高度，先在山脚C处测得铁塔底部B的仰角为30°，后沿坡度i＝1：的山坡向上行走米到达点D处，在点D处测得铁塔顶部A的仰角为30°，求铁塔AB的高度．

20．如图，点A，B是平面直角坐标系中的两点，连接OA，OB，OA＝5，OB＝10，且OA⊥OB，若点A的横坐标是﹣4，反比例函数y＝的图象经过点B，反比例函数y＝的图象经过点A．

（1）求k1，k2的值；

（2）若点C在线段AB上，且S△OBC＝S△OAB，求点C的坐标．

21．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点O在AB上，OB＝2，以OB为半径作⊙O交BC于点D．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）求CD的长．

22．探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，三个内角A、B、C所对的边长分别是a，b、c，由于sinA=，sinB=(已知sin90°=1)．可以但到，即在直角三角形中，每条边和它所对角的正弦值的比值相等．

（1）拓展：如图2所示，在锐角三角形ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别是a，b、c，AD⊥BC，BH⊥AC，试说明在锐角三角形中也有相同的结论．

（2）运用：请你运用拓展中的结论，完成下题．如图3，在某海域一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里/小时的速度按北偏东32°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西76°的方向上，求此时货轮距灯塔A的距离AB．(计算结果保留一位小数)(参考数据：sin46°≈0.72，sin32°≈0.53，sin62°≈0.88，sin76°≈0.97)

23．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边向外作等边△BCD，延长AC到E，使CE＝BA，连接DE．

（1）△DCE可以由△DBA经过怎样的旋转得到，并说明理由；

（2）记BC，AD相交于点F．

①求证：∠DCF＝∠DAE；

②已知等边△BCD的边长为6，AC+AB＝8，求AF的长．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】A

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】D

6．【答案】D

7．【答案】B

8．【答案】A

9．【答案】B

10．【答案】C

11．【答案】1

12．【答案】（2，0）

13．【答案】20

14．【答案】（1）

（2）

15．【答案】解：∵抛物线的顶点是（-3，2），

∴设抛物线的表达式为：y=a（x+3）2+2，

把点（4，-5）代入y=a（x+3）2+2中得：

a（4+3）2+2=-5，

解得：a=−，

∴抛物线的表达式为：y=−（x+3）2+2．

16．【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB==10，

∵∠ACB＝90°，点A，B，C都在⊙O上，

∴AB为⊙O的直径，

∴R=AB=5．

（2）解：∵点O是AB的中点，AB=10，

∴BO=AB=5，

∴BO＜BC＜BA，

∵点O，A，C中有两个点在⊙B内，有一个点在⊙B外，

∴点O、C在⊙B内部，点A在⊙B外，

∴8＜r＜10．

17．【答案】解：⑴如图，△A1B1C1即为所求；

⑵如图，△A2B2C1即为所求．

18．【答案】解：连接

过圆心，C为中点，

，

为中点，

，

设半径为分米，则，

，

，

在中， ，

，

．

拱门所在圆的半径是15分米．

19．【答案】解：延长AB交地面于E，过D作DG⊥AE于G，作DF⊥EC于F，如图所示：

则四边形DFEG是矩形，

∴DG=EF，DF=GE，

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，

∴CE=BE=100（米），

在Rt△CDF中，DF：CF=1：2，

∴CF=2DF，

∵DF2+CF2=EF2，

∴DF2+（2DF）2=（10）2，

解得：DF=10（米），

∴CF=20（米），

∴DG=EF=CE+CF=120（米），GE=DF=10米，

在Rt△ADG中，tan∠ADG==tan30°=，

∴AG=DG=×120=120（米），

∴AB=AG+GE-BE=120+10-100=30（米），

答：铁塔AB的高度为30米．

20．【答案】（1）解：过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图

由题意知：OM=4，OA=5

由勾股定理得：

∴点A的坐标为(−4，3)

把点A坐标代入y＝中得：

∴

∵OA⊥OB，AM⊥OM，BN⊥ON

∴∠AOB=∠AMO=∠BNO=90゜

∴∠AOM+∠BON=90゜，∠AOM+∠MAO=90゜

∴∠MAO=∠BON

∵∠AMO=∠BNO=90゜

∴△AMO∽△ONB

∴

∴ON=2AM=6

在Rt△BON中，由勾股定理得：

∴B点坐标为(6，8)

把点B坐标代入y＝中得：

∴

∴k1=−12，k2=48

（2）解：∵S△OBC＝S△OAB

∴点C是AB的中点

过A点作AD⊥BN于点D，作CE∥y轴交AD于点E，如图

∵BN⊥x轴

∴BN∥y轴

∴BN∥CE  

∴△ACE∽△ABD

∴

∴AD=2AE，BD=2CE

即点E是AD的中点

∵四边形AMND是矩形

∴DN=AM=3，AD=MN=6+4=10

∴BD=BN−DN=8−3=5

设点C的坐标为(m，n)

则，

∴m=1，n=5.5

∴C(1，5.5)

21．【答案】（1）证明：过点O作OE⊥AC，垂足为E，

∵AB=5，OB=2，

∴AO=AB-OB=3，

∵∠OEA=∠C=90°，∠A=∠A，

∴△AEO∽△ACB，

∴，

∴，

∴OE=OB=2，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵∠OEA=∠C=∠OFC=90°，

∴四边形OFCE是矩形，

∴OE=CF=2，

∵BC=，

∴BF=BC-CF=，

∵OF⊥BD，

∴BD=2BF=，

∴CD=BC-BD=．

22．【答案】（1）解：在Rt△ABH中，
∵sin∠BAH=
∴BH=csin∠BAH．
在Rt△BCH中，
∵
∴csin∠BAH=asinC，
∴
同理可得

∴．
 

（2）解：如图，

BC=60×=30(海里)，

∴

而∠ACB=62°，

∴

∵

∴

∴(海里)

23．【答案】（1）解：△DCE可以由△DBA绕点D顺时针旋转60°得到．

理由：在等边△BCD中，DC＝DB，∠DBC＝∠DCB＝∠BDC＝60°，

∴∠ACB+∠DCE＝180°﹣60＝120°，

∵∠BAC＝120°，

∴∠ACB+∠ABC＝180°﹣120°＝60°，

∴∠ACB+∠ABC+∠DBC＝60°+60°＝120°，

即∠ACB+∠DBA＝120°，

∴∠DCE＝∠DBA，

又∵CE＝BA，CD＝BD，

∴△DCE≌△DBA（SAS），

∴∠EDC＝∠ADB，

∵∠ADB+∠ADC＝60°，

∴∠EDC+∠ADC＝60°，

即∠ADE＝60°，

∴△DCE可以由△DBA绕点D顺时针旋转60°得到．

（2）解：①证明：由（1）得△DCE≌△DBA，

∴DE＝DA，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠DCF＝∠DAE＝60°；

②∵CE＝BA，

∴AE＝AC+CE＝AC+BA＝8，

由①得∠DAC＝∠FCD，

∵∠CDF＝∠ADC，

∴△DCF∽△DAC，

∴，

∵等边△BCD的边长为6，

∴DC＝6，

∴，

∴DF＝4.5，

∴AF＝AD＝DF＝8﹣4.5＝3.5．