2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省唐山市古冶区八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共14小题，共28.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面的剪纸作品是轴对称图形的是(    )

A. ． B. ．
C.  D. ．

2. 要使二次根式有意义，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列图形中，具有稳定性的是(    )

A. 三角形 B. 梯形 C. 四边形 D. 五边形

4. 若分式的值为零，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知直角三角形中角所对的直角边为，则斜边的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式中计算结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，，，是边上的高，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，，，，的度数为(    )
    

A.  B.  C.  D.

10. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

11. 如图，直线，相交于点，为这两直线外一点，且若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 下列各式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

13. 由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是(    )

A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，

14. 如图，是等边三角形，为的中点，，垂足为点，，，下列结论错误的是(    )
     

A.
B.
C. 的周长为
D. 的周长为

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

15. ______．
16. 分解因式：______．
17. 用科学记数法表示为______．
18. 如图，中，是的平分线，若，那么与有怎样的数量关系？小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
    
    如图，延长到，使，连接由，可得又因为是的平分线，可得≌，进一步分析就可以得到与的数量关系．
    判定与全等的依据是______；
    与的数量关系为：______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：
    ；
    ．
20. 本小题分
    解方程：．
21. 本小题分
    如图，在中，，点为外一点，平分交于点，且，
    求的度数；
    若，求的度数．

22. 本小题分
    先化简，再求值：，其中．
23. 本小题分
    观察下列因式分解的过程：
    
    先加入，再减去
    运用完全平方公式
    运用平方差公示
    ．
    像上面这样通过加减项配出完全平方式，把二次三项式分解因式的方法，叫做配方法．
    请你用配方法分解因式：．
24. 本小题分
    年元旦将至，某超市用元购进“红富士苹果”销售，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该种苹果，但这次的进价比第一次的进价提高了，购进苹果的数量是第一次的倍还多千克．
    该超市购进苹果的第一次进价是每千克多少元？
    如果超市按每千克元的价格出售，当大部分苹果售出后，余下的千克苹果打折销售，全部苹果销售完后总利润不低于元，则余下的苹果至少打几折出售？
25. 本小题分
    如图所示，点是线段的中点，，．
    如图，若，求证是等边三角形；
    如图，在的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度；
    如图，在的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、三角形具有稳定性，本选项符合题意；
B、梯形不具有稳定性，本选项不符合题意；
C、四边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
D、五边形不具有稳定性，本选项不符合题意；
故选：．
利用三角形的稳定性解答即可．
此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
根据分式值为零的条件可得，且，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

5.【答案】 

【解析】解：直角三角形中角所对的直角边为，
斜边的长为．
故选：．
根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题主要考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，不能合并计算，它是一个多项式，因此选项不符合题意；
同理选项B不符合题意；
，因此选项C符合题意；
，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项、同底数幂乘除法的性质进行计算即可．
本题考查同底数幂的乘除法的计算法则，同类项、合并同类项的法则，掌握运算性质是正确计算的前提．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．
根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得的度数．
【解答】
解：，，

是边上的高，
，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接若，，则的周长为．
【解答】
解：垂直平分，
，
的周长．
故选：．
本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质等知识点，属于基础题．
由题中条件易证得，可得，由三角形外角的性质可得，即可得的度数．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
．
故选D．  

10.【答案】 

【解析】解：．，故选项A不符合题意；
B.，故选项B不符合题意；
C.，故选项C不符合题意；
D.，故选项D符合题意；
故选：．
分别把各选项根据分式的基本性质和分式的运算法则计算得到结果即可作出判断．
本题主要考查了分式的基本性质和分式的运算法则，熟练掌握基本性质和运算法则是解答本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，，，
点关于直线，的对称点分别是点，，
，，
，
，

故选：．
由对称得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
本题考查线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形边长的关系．
 

12.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.

，故本选项不符合题意；
D.，，故本选项不符合题意；
故选：．
根据因式分解的意义和因式分解的方法逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法平方差公式和完全平方公式，十字相乘法等．
 

13.【答案】 

【解析】解：选项，当时，分式无意义，故该选项不符合题意；
选项，当时，，故该选项不符合题意；
选项，；
，
，，
，
，
，故该选项符合题意；
选项，当时，
的正负无法确定，
与的大小就无法确定，故该选项不符合题意；
故选：．
将和分别代入中计算求值即可判断出选项A，的对错；当和时计算的正负，即可判断出选项C，的对错．
本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，

，
，故选项A，B正确，
，
，
的周长为，故选项C错误．
，
，，
是等边三角形，
的周长，故选项D正确，
故选：．
解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：
直接进行平方的运算即可．
此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
本题主要考查平方差公式分解因式，熟记平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
 

17.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
根据已知条件即可得到结论；
根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：；
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：，．  

19.【答案】解：原式

；

原式

． 

【解析】根据二次根式的乘法运算即可求得；
根据二次根式的乘法运算即可求得．
本题考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，熟练运用运算法则是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：方程两边同时乘以，得：
解得：．
检验：当时，，
原分式方程的解是． 

【解析】首先把分式方程去分母转化为整式方程，再求出整式方程的解，得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】解：平分，，
，
为的外角，
，
又，
，
；
，
，
． 

【解析】利用角平分线的定义和三角形外角的性质计算角的和差，可得结果；
由等腰三角形等边对等角的性质，再由三角形内角和为，即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质；掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键．
 

22.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算可得结果．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

23.【答案】解：



． 

【解析】直接利用配方法以及平方差公式分解因式得出即可．
本题考查了因式分解的应用．要运用配方法，只要二次项系数为，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式，掌握和灵活运用配方法是解决本题的关键．
 

24.【答案】解：设该超市购进苹果的第一次进价是每千克元，
由题意可知：，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：该超市购进苹果的的第一次进价是每千克元；
设余下的苹果打折出售，
由得：千克，，
则，
解得：，
答：余下的苹果至少打折出售． 

【解析】设该超市购进苹果的第一次进价是每千克元，根据题意列出方程即可求出答案．
根据题意列出不等式，解不等式即可求出答案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的数量关系，列出方程或不等式．
 

25.【答案】解：，，
，
是线段中点，，
，又，
是等边三角形；
和为等边三角形，
，，，，
，
在和中，
，
≌
，
，
，
，
，
；
取的中点，连接，连接，

则，
为等边三角形，
，，
当在上时，，，
，
在和中，
，
≌，
，
当点与点重合时，
在和中，

≌
，
，即、、在同一条直线上，
，
点从起点到作直线运动，且路径长为，
当在上时，为等边三角形，

在和中，

≌，
，
当点与点重合时，

是等边三角形，
，，
点从点到终点作直线运动，且路径长为
综上所述，的路径长度为：． 

【解析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明结论；
证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据含的直角三角形的性质计算即可；
取的中点，连接，连接，分在上、在上两种情况，根据等边三角形的性质解答即可．