河北省唐山市2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

唐山市2021~2022学年度高一年级第一学期期末考试

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由集合交运算求即可.

【详解】由题设，.

故选：A.

2. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由真数大于0，二次根式下被开方数不小于0可得．

【详解】由题意，解得．

故选：C．

3. 设命题，，则为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.

【详解】因为命题，，

所以： ，.

故选：D

4. 函数对于任意的实数、都有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由指数的运算性质得到，逐一核对四个选项即可得到结论.

【详解】解：由函数，
得，
所以函数对于任意的实数、都有.
故选：B.

【点睛】本题考查了指数的运算性质，是基础题.

5. 已知，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用指数函数的单调性得到，再利用对数函数的单调性得到，从而比较出，，的大小关系．

【详解】解：，

，

，，

，

故选：A．

6. 已知，则等于（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】应用诱导公式及正余弦的齐次式，将题设等式转化为，即可求值.

【详解】，

∴，可得.

故选：B.

7. 设均为实数，则“”是“”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】因为 ，所以 ，即“”是“”的充要条件，选C.

8. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用零点存在定理即可判断.

【详解】函数的定义域为R.

因为函数均为增函数，所以为R上的增函数.

又，，

，.

由零点存在定理可得：的零点所在的区间为.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 要得到的图象，可以将函数图象上所有的点（    ）

A. 向左平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

B. 向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

C. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位

D. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位

【答案】BD

【解析】

【分析】根据函数图象变换规律，可得结论；

【详解】解：将向右平移个单位得到，再将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，故B正确，A错误；

将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，再将向右平移个单位得到，故D正确，C错误；

故选：BD

10. 已知两个不为零实数x，y满足，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】由基本不等式判断CD，由不等式的性质（举反倒判断AB）．

【详解】当时，得，A错；

当时，，B错；

，，当且仅当时，等号成立．C正确；

是实数，则，，所以，当且仅当时等号成立，D正确．

故选：CD．

11. 下列函数中，既是奇函数又在区间内是减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A：由为增函数否定结论；

对于B：由奇偶性的定义和二次函数的单调性直接判断；

对于C：由奇偶性的定义和正弦函数的单调性直接判断；

对于D：由奇偶性的定义直接判断.

【详解】对于A：因为和为增函数，所以为增函数，故A错误；

对于B：的定义域为R..记.因为，所以为奇函数.

因为.

当时，为减函数，所以在区间内是减函数.故B正确；

对于C：为奇函数.因为，所以在区间内是减函数.故C正确；

对于D：定义域为R.记，因为，所以为偶函数，故D错误.

故选：BC.

12. 已知函数的定义域为，，，且当时，，则以下结论正确的是（    ）

A.  B. 在内零点之和为6

C. 在区间内单调递减 D. 在内的值域为

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题设的周期为4且关于对称，结合区间解析式画出的部分图象，应用数形结合法及图象的对称性、周期性判断各选项的正误.

【详解】由题设，的周期为4且关于对称，

∴，A正确；

又时，可得的部分图象如下：

由图知：在内6个零点关于对称，故零点之和为6，B正确；

由图象及对称性知：在内单调递增，在内的值域为，C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ______．

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式和两角和公式即可求得.

【详解】由诱导公式可得：

.

故答案：

14. 幂函数的图象过点，则______．

【答案】64

【解析】

【分析】由幂函数的图象过点，求出，由此能求出．

【详解】幂函数的图象过点，

，解得，

，

．

故答案为64．

【点睛】本题考查幂函数概念，考查运算求解能力，是基础题．

15. 不等式的解集为______．

【答案】，

【解析】

【分析】根据正切函数性质求解、

【详解】由正切函数性质，由得，，

所以，，

故答案为：，．

16. 已知函数

①______；

②函数与函数，二者图象有______个交点．

【答案】    ①. ##-0.25    ②. 3

【解析】

【分析】①根据函数解析式，代值求解即可；

②在同一直角坐标系中画出两个函数的图象，即可数形结合求得结果.

【详解】①由题可知：；

②根据的解析式，在同一坐标系下绘制与的图象如下所示：

数形结合可知，两个函数有个交点.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 计算下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）1    （2）

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质直接计算可得；

（2）先进行切化弦，再通分后利用和差角公式和诱导公式即可求得.

【小问1详解】

原式＝lg2(lg2＋lg5)＋lg5

＝lg2＋lg5

＝1

【小问2详解】

原式＝sin40°(－)                           

＝sin40°()

＝                       

＝

＝

＝

＝－1

18. 设函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数的单调递减区间；

（3）求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的x的值．

【答案】（1）   

（2），   

（3）在内的最大值为，此时

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得＝＋根据周期公式计算即可；

（2）令＋2k≤2x－≤＋2k，，计算即可求得的单调递减区间；

（3）由0≤x≤，可得－≤2x－≤，利用正弦型函数性质即可求得最值及对应的的值．

【小问1详解】

f(x)＝sin2x－cos2x＋2cosx

＝－cos2x＋2cosx

＝－cos2x＋＋sin2x 

＝sin2x－cos2x＋ 

＝＋．
函数f(x)的最小正周期为T＝＝π．

【小问2详解】

令＋2k≤2x－≤＋2k，，

解得＋k≤x≤＋k，，

函数f(x)的单调递减间为，．

【小问3详解】

因为0≤x≤，－≤2x－≤，所以

当2x－＝时，即x＝时，f(x)有最大值为．

19. 已知关于x的不等式：．

（1）当时，解此不等式；

（2）当时，解此不等式．

【答案】（1）或   

（2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为

【解析】

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；

（2）不等式可变形为(x－3)(x－)＜0，然后分a＝、0＜a＜、a＞三种情况讨论即可.

【小问1详解】

当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0

整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，

当a＝－2时，原不等式解集为{x|x＜－或x＞3}．

【小问2详解】

当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0

整理得：(x－3)(x－)＜0，                           

当a＝时，＝3，此时不等式无解；               

当0＜a＜时，＞3，解得3＜x＜；           

当a＞时，＜3，解得＜x＜3；                   

综上：当a＝时，解集为；

当0＜a＜时，解集为{x|3＜x＜}；

当a＞时，解集为{x|＜x＜3}.

20. 某工厂以的速度生产运输某种药剂（生产条件要求边生产边运输且），每小时可以获得的利润为元．

（1）要使生产运输该药品获得的利润不低于4500元，求的取值范围；

（2）为何值时，每小时获得的利润最小？最小利润是多少？

【答案】（1）；   

（2）当为时，每小时获得的利润最小，最小利润为1300元.

【解析】

【分析】（1）由题设可得2x＋1＋≥15，结合求不等式的解集即可.

（2）应用基本不等式求y＝100(2x＋1＋)的最小值，并求出对应的值.

【小问1详解】

依题意得：3×100(2x＋1＋)≥4500，即2x＋1＋≥15，

由3＜x≤10，故＞0，可得x2－9x＋18≥0，即(x－3)(x－6)≥0，解得x≤3或x≥6，

∴x的取值范围为[6,10].

【小问2详解】

设每小时获得的利润为y.

y＝100(2x＋1＋)＝100[2(x－2)＋＋5] ≥100[2＋5]＝100(8＋5)＝1300，当2(x－2)＝时取等号，此时x＝4．

于是当生产运输速度为4kg/h，每小时获得的利润最小，最小值为1300元．

21. 已知函数是奇函数．

（1）求实数a的值；

（2）当时，

①判断的单调性（不要求证明）；

②对任意实数x，不等式恒成立，求正整数m的最小值．

【答案】（1）或   

（2）①在上单调递增②3

【解析】

【分析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；

（2）①根据复合函数的单调性判断可得；

②根据函数的单调性与奇偶性可得在上恒成立，由，即可得到不等式，解得的取值范围，即可得解；

【小问1详解】

解：因为函数是一个奇函数，
所以，即，
可得，即，           
则，得或．此时定义域为R，满足题意.

【小问2详解】

①因为，所以．函数，定义域为，

因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增．    
②对任意实数x，恒成立，，
由①知函数在上单调递增，
可得在上恒成立．                                   
因为，
所以，即．
于是正整数m的最小值为3．

22. 如图，在平面四边形中，，，，，，于点E．

（1）求四边形面积的最大值；

（2）求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）依题意可得，，再由，得到，，再根据，利用三角恒等变换化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）依题意可得，再令，则，再根据二次函数的性质计算可得；

【小问1详解】

解：因为，，，
所以，.
又因为，所以，．   

则

因为，，所以，

当时，即时，S四边形ABCD最大值为．

【小问2详解】

解：．

设，则，

所以，则.

因为，，所以．

而在单调递增，

可得的取值范围．