湖南省怀化市2021-2022学年高二数学上学期期末试卷（Word版附解析）

怀化市中小学课程改革教育质量监测试卷

2021年下期期末考试高二数学

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上

1. 直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据倾斜角和斜率的关系求解.

【详解】由已知得，

故直线斜率

由于倾斜的范围是，

则倾斜角为.

故选：B.

2. 在等比数列中，若，则公比（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】由题得，化简即得解.

【详解】因为，

所以，

所以，

解得.

故选：C

3. 若向量则（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先求得，然后根据空间向量模的坐标运算求得

【详解】由于向量，，所以.

故

故选：D

4. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且满足，点N为BC的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由空间向量的线性运算求解．

【详解】由题意

，又，，，

∴,

故选：B．

5. 由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出的值，可得出双曲线的渐近线方程.

【详解】由已知可得，

因此，该双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

6. 在数列中，，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】利用条件可得数列为周期数列，再借助周期性计算得解.

【详解】∵

∴，，

所以数列是以3为周期的周期数列，

∴，

故选：A.

7. 设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点.若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 4 D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】作出图形，过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，从而得出，再由、、三点共线时，取最小值得解.

【详解】

，所以在抛物线的内部，

过点作抛物线准线的垂线，由抛物线的定义得，

，

当且仅当、、三点共线时，等号成立，

因此，的最小值为.

故选：C.

8. 方程有两个不同的解，则实数k的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和表示恒过定点的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.

【详解】令，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆，

表示恒过定点的直线，方程有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图

圆心到直线的距离为，解得，

当直线经过时由得，当直线经过时由得，

所以实数k的取值范围为.

故选：C.

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9. 下列说法中，正确的是（    ）

A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是8

B. 过两点的直线方程为

C. 过点且与直线相互平行的直线方程是

D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为

【答案】AC

【解析】

【分析】由题意逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【详解】对A，直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是×4×4＝8，故A正确；

对B，当x2＝x1或y2＝y1时，式子＝无意义，故B不正确；

对C，与直线平行，所求直线设为，将点代入得，所以所求直线为，即，故C正确；

对D，经过点（1，2）且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或y＝2x，故D错误，

故选：AC．

10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点F为的中点，如图建系，则下列说法正确的有（    ）

A.  B. 向量与所成角的余弦值为

C. 平面的一个法向量是 D. 点D到直线的距离为

【答案】BCD

【解析】

【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解.

详解】，，，，所以，所以，故，A错误；

，B正确；

设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确；

，，则，所以，故点D到直线的距离为，故D正确.

故选：BCD

11. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F、准线为l，过点F的直线与抛物线交于两点P（x1，y1），Q（x2，y2），点P在l上的射影为P1，则（　　）

A. 若x1+x2＝6．则|PQ|＝8

B. 以PQ为直径的圆与准线l相切

C. 设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥

D. 过点M（0，1）与抛物线C有且只有一个公共点的直线至多有2条

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用抛物线的性质，结合抛物线的方程和选项一一判断得出结论．

【详解】若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），

由，联立解方程组k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，

，x1x2＝1，

A中，若x1+x2＝6，则k2＝1，故k＝1或﹣1，|PQ|＝＝，故A正确；

取PQ点中点M，M在l上的投影为N，Q在l上的投影为Q'，根据抛物线的定义，|PP1|＝|PM|，|QQ'|＝|QM|，

M，N为梯形的中点，故|MN|＝（|PP1|+|QQ'|）＝|PQ|，故B成立；

对于C，M（0，1），|PM|+|PP1|＝|MP|+|PF|≥|MF|＝，故C正确；

过M（0，1）相切的直线有2条，与x轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条，D错．

故选：ABC．

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

12. 已知椭圆一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的可能取值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，用表示出，，的值，再根据椭圆的定义，从而得到用表示，再分析离心率可取的值.

【详解】因为，关于原点对称，所以也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，

又因为，所以，是直角三角形斜边的中点，

所以，，，所以，

所以，由于，

所以.

故选：BC

三､填空题：本题共4.小题，每小题5分，共20分

13. 设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.

【答案】2

【解析】

【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.

【详解】因为，则其方向向量，

，解得.

故答案为：2.

14. 方程表示双曲线，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】由题可得，即求.

【详解】∵方程表示双曲线，

∴，

∴.

故答案为：.

15. 等差数列的前n项和分别为，若对任意正整数n都有，则的值为___________.

【答案】##0.68

【解析】

【分析】利用等差数列求和公式与等差中项进行求解.

【详解】由题意得：，同理可得：，所以

故答案为：

16. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数的点的轨迹是—个圆心在直线上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体中，，点E在棱上，，动点P满足，若点P在平面内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为的中点，则三棱锥体积的最小值为___________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，根据，可得对应的轨迹方程；先求的面积，其是固定值，要使体积最小，只需求点到平面的距离的最小值即可.

【详解】分别以为轴建系，设，而,,，

,.

由,有，化简得对应的轨迹方程为.所以点P对应的轨迹的面积是.

易得的三个边

即是边长为为的等边三角形，其面积为，

，设平面的一个法向量为，

则有，可取平面的一个法向量为，

根据点的轨迹，可设，

，

所以点到平面的距离，

所以

故答案为：；

四､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17. 已知数列为等差数列，是公比为2的等比数列，且满足

（1）求数列和的通项公式；

（2）令求数列的前n项和；

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到，根据通项公式的求法得到结果；

（2）分组求和即可.

【小问1详解】

设的公差为,

由已知,有解得，

所以的通项公式为, 的通项公式为.

【小问2详解】

，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到：.

18. 已知圆内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.

（1）当P为弦的中点时，求直线l的方程；

（2）若直线l与直线平行，求弦的长.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意，，求出直线l的斜率，利用点斜式即可求解；

（2）由题意，利用点斜式求出直线l的方程，然后由点到直线的距离公式求出弦心距，最后根据弦长公式即可求解.

小问1详解】

解：由题意，圆心，P为弦的中点时，由圆的性质有，又，

所以，

所以直线l的方程为，即；

【小问2详解】

解：因为直线l与直线平行，所以，

所以直线的方程为，即，

因为圆心到直线的距离，又半径，

所以由弦长公式得.

19. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面于点M连接.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见详解   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，交于点，则为中点，再由等腰三角形三线合一可知为中点，连接，利用中位线可知，根据直线与平面平行的判定定理即可证明；

（2）根据题意建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法即可求出两平面所成角的余弦值.

【小问1详解】

连接，交于点，则为中点，

因为，于，则为中点，

连接，则，

又因为平面，平面,

所以平面；

  【小问2详解】

如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则，

，

设平面的一个法向量为，

由可得，

令，得，即，

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成角为，

，

则平面与平面所成角的余弦值为.

20. 已知函数，数列的前n项和为，且对一切正整数n､点都在因数的图象上

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前n项和，求证：

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据数列中和的关系，即可解出；

（2）利用裂项相消法求出，即可进一步汽车其范围.

【小问1详解】

由题知，

当时，

，

当时，也满足上式，

综上，；

【小问2详解】

，

则，

由，得，

所以.

21. 设圆的圆心为﹐直线l过点且与x轴不重合，直线l交圆于A，B两点.过作的平行线交于点P.

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为曲线E，直线l交E于M，N两点，C在线段上运动，原点O关于C的对称点为Q，求四边形面积的取值范围；

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得，，再由，

可得的轨迹方程；

（2）设四边形的面积为，，设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理代入，整理后再利用函数单调性可得答案.

【小问1详解】

（1）圆的圆心为，因为，所以，

因为，所以，又，

且，，

所以的轨迹方程为.

【小问2详解】

设四边形面积为，则，

可设直线的方程为，

代入椭圆方程化简得，

>0恒成立.设，

则，

=，

令，则，在上单调递增，，

即四边形面积的取值范围.

22. 如图，在平面直角标系中，已知n个圆与x轴和线均相切，且任意相邻的两个圆外切，其中圆.

（1）求数列通项公式；

（2）记n个圆的面积之和为S，求证：.

【答案】（1）.   

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）由已知得，设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在从而有得，由等比数列的定义得数列是以为首项，为公比的等比数列.由此求得答案；

（2）由（1）得再由圆的面积公式和等比数列求和公式计算可得证.

【小问1详解】

解：直线的倾斜角为则圆心在直线上，，

设圆分别切轴于点，过点作，垂足为.在中，

所以即化简得，变形得，

所以是以为首项，为公比的等比数列.

，.

【小问2详解】

解：由（1）得

所以，