专题13 不等式选讲-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)

这是一份专题13 不等式选讲-2022年高考真题和模拟题数学分类汇编(解析版)，共18页。试卷主要包含了已知，已知函数，已知.，设函数，设不等式的解集为，已知函数.，函数.等内容，欢迎下载使用。
专题13  不等式选讲 1．【2022年全国甲卷】已知a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)若，则．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据，利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得，即可得到，再根据权方和不等式即可得证.(1)证明：由柯西不等式有，所以，当且仅当时，取等号，所以；(2)证明：因为，，，，由（1）得，即，所以，由权方和不等式知，当且仅当，即，时取等号，所以.2．【2022年全国乙卷】已知a，b，c都是正数，且，证明：(1)；(2)；【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．(1)证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．(2)证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））设函数．(1)求不等式的解集；(2)设a，b是两个正实数，若函数的最小值为m，且．证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）先去掉绝对值，变为分段函数，再求解不等式的解集；（2）利用第一问的分段函数得到函数图象，求出函数的最小值，也就是的值，再用柯西不等式进行证明．(1)解：由已知得：，又，所以或或，解得或或综上，不等式的解集为；(2)解：由（1）可知，所以的函数图象如下所示：所以当时取值最小值，所以，即，又、，由柯西不等式：，所以，当且仅当时取等号．2．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．(1)求的最小值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）利用柯西不等式证明即可；(1)解：，，都是正数，且，，当且仅当即时等号，即的最小值为；(2)证明：由柯西不等式得即，故不等式成立，当且仅当时等号成立；3．（2022·安徽淮南·二模（文））已知函数．(1)求不等式的解集；(2)设函数在上的最小值为m，正数a，b满足，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论和分别求解；（2）当时，易知函数的最小值为，可得，代入整理得，再利用基本不等式．(1)原不等式可化为①；②．解①得；解②得，所以原不等式的解集为．(2)当时，在上单调递增所以函数的最小值为，于是即，当且仅当时等号成立即4．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知(1)证明：；(2)已知，，求的最小值，以及取得最小值时的，的值．【答案】(1)证明见解析(2)最小值为， 或【解析】【分析】（1）利用作差法证明不等式；（2）令代入（1）中不等式可得最小值及取得最小值是值．(1)因为，所以，当且仅当时取等号．(2)由（1）可得，所以，即，当且仅当时取等号．由，解得或．综上，的最小值为，此时，的值为或．5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知函数．(1)解关于的不等式；(2)设，的最小值为，若，，，求的最小值．【答案】(1)(2)4【解析】【分析】（1）分段讨论去掉绝对值符号，解不等式组可得答案；（2）根据绝对值三角不等式性质求得，可得，，利用，可得到，解得答案.(1)由已知得，可化为或，即或，∴解集为；(2)，当时，取“=”，∴的最小值为∵，，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，当时取“=”，∴a的最小值为4．6．（2022·新疆·三模（文））已知.(1)设的最小值为m，求m的值：(2)若a，且，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)化简函数解析式，结合函数的单调性求其最小值即可；(2)化简不等式的左边的代数式，利用基本不等式完成证明.(1)当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，所以函数的最小值为2，故.(2)由(1) ，（当且仅当时等号成立），所以7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））设函数(1)当时，求不等式的解集；(2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；（2）由题知的解集为，进而得，再根据基本不等式求解即可.(1)解：当时，，所以，当时，，解得该不等式无解；当时，，解得；当时，，解得.综上，不等式的解集为(2)解：因为不等式的解集为，所以，的解集为，即的解集为如图，要使的解集为，则，解得或因为，，即.因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.       8．（2022·河南·模拟预测（文））设不等式的解集为．(1)求；(2)若、，且，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出集合；（2）计算可得，利用基本不等式可求得的最小值.(1)解：当时，则有，无解；当时，则有，解得，此时；当时，则有，该不等式恒成立，此时.综上所述，.(2)解：由已知可得，，，当且仅当时，上述不等式中的等号同时成立，故的最小值为.9．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）当时，求得函数的解析式，分段讨论，即可求解；（2）当时，化简函数的解析式，利用单调性，可得，结合题意列出不等式，即可求解.(1)当时，函数，当时，由，可得，解得；当时，由，可得，解得；当时，由，可得，此时解集为空集.综上所述：不等式的解集为：.(2)因为，所以函数，根据一次函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，由恒成立，得，即，解得，所以实数的取值范围为：.10．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））函数.(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为k，且实数a，b，c满足.求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论法即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得的最小值，进而有，又，从而利用柯西不等式即可证明.(1)解：当时，，所以原不等式即为，解得；当时，，原不等式即为，解得；当时，，原不等式即为，解得.综上，原不等式的解集为.(2)解：因为，当且仅当时取等号，所以，由柯西不等式可知，所以（当，，时等号）.11．（2022·江西赣州·二模（理））不等式对于恒成立．(1)求证：；(2)求证：【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得出，再利用基本不等式可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出，，，再结合不等式的基本性质可证得结论成立.(1)证明：因为对于恒成立，又因为，所以，由基本不等式可得，，，所以，，所以，所以.(2)证明：因为，所以，所以，同理可得：，，所以，所以.12．（2022·甘肃兰州·一模（理））已知函数．(1)当时，解关于的不等式；(2)当时，的最小值为，且正数满足．求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）分别在、和的情况下，去掉绝对值符号，解不等式可得结果；（2）利用绝对值三角不等式可求得，化简所求式子，利用基本不等式可得结果.(1)当时，；当时，，解得：；当时，，解集为；当时，，解得：；综上所述：不等式的解集为.(2)当时，（当且仅当时取等号），，即；（当且仅当时取等号），即的最小值为.13．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数的最小值为2.(1)求a的取值范围；(2)若，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据绝对值的三角不等式求解即可；（2）根据公式法解绝对值不等式即可.(1)因为，所以，又因为，当且仅当时等号成立，所以a的取值范围是.(2)，，由及得，即，即或，解得，又因为，所以a的取值范围是.14．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））已知函数(1)求不等式的解集；(2)若.不等式恒成立，求实数k的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用零点分段讨论去掉绝对值符号即可解不等式；（2）作出函数的大致图象，不等式恒成立转化为函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率，即可求出答案.(1)，当时，由得；当时，由得；当时，恒成立.因此不等式的解集为(2)作出函数的大致图象，如图所示.根据题意，函数的图象要在直线的上方，即需直线的斜率大于等于直线的斜率，且小于等于直线的斜率又，所以k的取值范围是.15．（2022·河南·西平县高级中学模拟预测（理））已知，．(1)当a＝2时，求不等式的解集；(2)若函数的最小值为4，求实数a的值．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)分别在，，条件下化简不等式，求其解集；(2)利用绝对值三角不等式求出函数的最小值的表达式，列方程求a的值．(1)当a＝2时，，当时，，此时解，得；当时，，此时解，得；当时，，此时解，得．综上，不等式的解集为．(2)，当且仅当时等号成立．由，得或．