江苏省徐州市2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附答案）

2021～2022学年度第一学期期末抽测

高一年级数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据交集补集定义即可求出答案.

【详解】因为，

所以或，所以.

故选：D.

2. 若幂函数的图象过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】设，利用待定系数法求出函数解析式，再代入求值即可；

【详解】解：设，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以

，所以；

故选：C

3. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】“若，则”的否定为“且”

【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”

故选：C

4. 已知函数则的值为（    ）

A.  B.  C. 0 D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；

【详解】解：因为，所以，所以，

故选：D

5. 已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】令指数函数的指数为零即可求出指数型函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得；

【详解】解：因为函数（，且），令，即时，所以函数恒过定点，又角的终边经过点，所以，

故选：A

6. 设，为正数，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】将拼凑为，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.

【详解】∵，

∴，即，

∴

，当且仅当，且时，即

，时等号成立.

故选：.

7 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数以及三角函数的单调性分别判断的范围，即可比较大小.

【详解】因为，即；，即可；

，即，故.

故选：D.

8.

如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它对应的方程为（其中记为不超过的最大整数），且过点，若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则点到轴的距离为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据点在曲线上求出，然后根据即可求得的值

【详解】点在曲线上，可得：

化简可得：

可得：（）

解得：（）

若葫芦曲线上一点到轴的距离为，则等价于

则有：

可得：

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 使成立的一个充分条件可以是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】解不等式，根据充分条件的概念即可求解.

【详解】或，

故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.

故选：AB.

10. 关于函数，下列说法中正确的是（    ）

A. 其最小正周期

B. 其图象由向右平移个单位而得到

C. 其表达式可以写成

D. 其图象关于点对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A；由可判断B；利用诱导公式可判断C；令，求出对称中心可判断D

【详解】选项A，，故函数的最小正周期为，选项A正确；

选项B，函数，其图象由向右平移个单位而得到，选项B错误；

选项C，函数，故选项C正确；

选项D，令，解得，故函数图像的对称中心为，令，为，故图象关于点对称，选项D正确

故选：ACD

11. 下列说法中正确的是（    ）

A. 若是第二象限角，则点在第三象限

B. 圆心角为，半径为2的扇形面积为2

C. 利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是

D. 若，且，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据任意角的定义、扇形面积的计算公式、二分法以及之间的关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：若是第二象限角，则，

故点在第三象限，则正确；

对：根据题意，扇形面积，故正确；

对：对，当时，，当时，，

故可以取的一个区间是，则正确；

对D：，且，则，解得，

则，故D错误；

故选：ABC.

12. 规定，若函数，则（    ）

A. 是以为最小正周期的周期函数

B. 的值域是

C. 当且仅当时，

D. 当且仅当时，函数单调递增

【答案】AC

【解析】

【分析】对选项A，直接求出该分段函数就可判断；对选项B，求出该函数的最小值为；对选项C，根据正弦函数和余弦函数性质即可；对选项D，求出函数的单调区间即可；

【详解】根据题意，当（）时，；

当（）时，；

对选项A，的周期为，故正确；

对选项B，根据正弦函数和余弦函数的性质，可知的最小值在（）处取得，即有，因此值域不可能为，故错误；

对选项C，函数的特点知，当且仅当在第三象限时，函数值的为负，故正确；

对选项D，当时，函数也单调递增，因此选项遗漏了该区间，故错误；

故选：AC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. ________．

【答案】

【解析】

【分析】根据对数运算、指数运算和特殊角的三角函数值，整理化简即可.

【详解】.

故答案为：.

14. 函数的定义域为________．

【答案】

【解析】

【分析】要使得根式和对数式有意义，列出不等关系求解即可

【详解】由题意，要使得根式和对数式有意义，则

解得：

故函数的定义域为

故答案为：

15. 若函数在单调递增，则实数的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据复合函数单调性性质将问题转化为二次函数单调性问题，注意真数大于0.

【详解】令，则，因为为减函数，所以在上单调递增等价于在上单调递减，且，即，解得.

故答案为：

16. 已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________．

【答案】或

【解析】

【分析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.

【详解】令，记的零点为，

因为集合中有3个元素，所以图象与直线共有三个交点，

则，或或

当时，得，，满足题意；

当时，得，，满足题意；

当时，，解得.

综上，t的取值范围为或.

故答案为：或

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

（1）当时，求；

（2）若________，求实数的取值范围．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；

（2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；

【小问1详解】

解：由，解得，所以，当时，，所以

【小问2详解】

解：若选①，则，所以，解得，即；

若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即；

若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即；

18. 已知，．

（1）求，的值；

（2）求的值．

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；

（2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；

【小问1详解】

解：因为，，所以，又解得或，因为，所以

【小问2详解】

解：

19. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，当水车上水斗A从水中浮现时开始计算时间，点A沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒，经过秒后，水斗旋转到点，已知，设点的坐标为，其纵坐标满足．

（1）求函数的解析式；

（2）当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间．

【答案】（1）；   

（2）20秒.

【解析】

【分析】(1)根据OA求出R，根据周期T＝60求出ω，根据f(0)＝－2求出φ；

(2)问题等价于求时t的间隔.

【小问1详解】

由图可知：，

周期，

∵t＝0时，在，∴，

∴或，，

，且，则.

∴.

【小问2详解】

点到水面的距离等于时，y＝2，

故

或，即，，

∴当水车转动一圈时，求点到水面的距离不低于的持续时间20秒.

20. 已知函数，．

（1）求证：为奇函数；

（2）若恒成立，求实数的取值范围；

（3）解关于的不等式．

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）求得的定义域，计算，与比较可得；

（2）原不等式等价为对

恒成立，运用基本不等式可得最小值，进而得到所求范围；

（3）原不等式等价为，设，判断其单调性可得的不等式，即可求出.

【小问1详解】

函数，

由解得或，可得定义域，关于原点对称，

因为，

所以是奇函数；

【小问2详解】

由或，解得，

所以恒成立，即，

则，即对恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，即取值范围为；

【小问3详解】

不等式即为，

设，即，可得在上递减，

所以，则，解得，

所以不等式的解集为.

21. 已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式：

（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

①当时，求函数的值域；

②若方程在上有三个不相等的实数根，求的值．

【答案】（1）；   

（2）①；②.

【解析】

【分析】（1）由图象得A、B、，再代入点，求解可得函数的解析式；

（2）①由已知得，由求得，继而求得函数的值域；

②令，，做出函数图象，设有三个不同的实数根，有，，继而得，由此可得答案.

【小问1详解】

解：由图示得：，

又，所以，所以，所以，

又因为过点，所以，即，

所以，解得，又，所以，

所以；

【小问2详解】

解①：由已知得，当时，，

所以，所以，所以，

所以函数的值域为；

②当时，，令，则，

令，则函数的图象如下图所示，且，，，

由图象得有三个不同的实数根，则，，

所以，即，

所以，所以，

故.

22. 对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“

跃点”函数，并称是函数的1个“跃点”．

（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；

（2）若函数在上存在2个“1跃点”，求实数的取值范围；

（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存在，请求出和满足的条件；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）证明见详解   

（2）   

（3）存在，或或

【解析】

【分析】（1）将要证明问题转化为方程在上有解，构造函数转化为函数零点问题，结合零点存在性定理可证；

（2）原问题等价于方程在由两个根，然后构造二次函数，转化为零点分布问题可解；

（3）将问题转化为方程在上有2022个实数根，再转化为两个函数交点个数问题，然后可解.

【小问1详解】

因为

整理得，令，

因为，所以在区间有零点，即存在，使得，即存在，使得，

所以，函数在上是“1跃点”函数

【小问2详解】