2021-2022学年河北省唐山市丰南区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年河北省唐山市丰南区八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 对于任意的实数，总有意义的分式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 数据用科学记数法表为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知≌，下列结论中不正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若，则，的值分别为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D. 不存在

6. 如图，在中，，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在的正方形网格中有四个格点，，，，以其中一个点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点可能是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

9. 已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 甲、乙两人每小时一共做个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了个零件时乙做了个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，等边中，是边上的中线，且，，分别是，上的动点，则的最小值等于(    )

A.
B.
C.
D.

12. 下列分解因式正确(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 已知等腰三角形的一个角是，则它的底角是______ ．
14. 计算：______．
15. 分解因式：______．
16. 如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是______．

17. 对于实数，，，，规定一种运算，如，那么当时，则 ______ ．
18. 在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求，每周向学校配送鸡蛋个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装个鸡蛋，设每个甲型包装箱可装个鸡蛋，根据题意可列方程为______．
19. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为：______．
20. 已知，，，则______．

三、解答题（本大题共5小题，共32.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    计算：
    因式分解：
    化简：．
    解方程：．
22. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
    先化简，然后在，，，中选择一个合适的数代入并求值．
23. 本小题分
    如图所示，已知中，，、、分别在，和边上，且，，过作于．
    求证：．
     

24. 本小题分
    为了创建国家卫生城市，我县某小区购进型和型两种分类垃圾桶，购买型垃圾桶花费了元，购买型垃圾桶花费了元，且购买型垃圾桶数量是购买型垃圾桶数量的倍，已知购买一个型垃圾桶比购买一个型垃圾桶多花元．
    求购买一个型垃圾桶需多少元？
    若小区一次性购买型，型垃圾桶共个，要使总费用不超过元，最少要购买多少个型垃圾桶？
25. 本小题分
    如图，在中，，点在内，，，点在外，，．
     

求的度数；    

判断的形状并加以证明；

连接，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、当时，无意义，故此选项错误；
B、无论为何值，，则总有意义，故此选项正确；
C、当时，无意义，故此选项错误；
D、当时，无意义，故此选项错误；
故选：．
根据分式有意义的条件进行分析即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不为零时分式有意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：≌，
，，，
第四个选项是错的．
故选：．
根据全等三角形的性质判断即可得到结论．
此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，
则，，
故选：．
已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值即可．
此题考查了多项式乘多项式，以及多项式相等的条件，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
点拨：直接利用分式的值为零，则分子为零分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质解决问题即可．
本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的定义，利用了因式分解的定义．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】
解：、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、是整式的乘法，故B错误；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：原点可能是点．
故选：．
直接利用已知网格结合三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，可得出原点位置．
此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确建立坐标系是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
原式




．
故选：．
先把原式进行因式分解，再把代入进行计算即可．
本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把代入进行计算．
 

10.【答案】 

【解析】解：设甲每小时能做个零件，根据题意可得：，
故选：．
关键描述语为：“甲做个零件所用的时间和乙做个零件所用的时间相同”；等量关系为：甲的工效乙的工效．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

等边中，是边上的中线，
，
是的垂直平分线，
点、关于对称，
，
根据垂线段最短得，
，
是等边三角形，
，
，
，
即的最小值等于，
故选：．
过点作于，根据等腰三角形三线合一性质推出，根据垂线段最短得，，再通过等面积法即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，正确作出辅助线，将的最小值转化为求的长是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
先提公因式，再运用公式法继续分解，逐一判断即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

13.【答案】或 

【解析】

【分析】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】
解：当的角为等腰三角形的顶角时，底角；
当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角的度数是或．
故答案为或．  

14.【答案】 

【解析】解：原式．
分别根据乘方，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了乘方，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非数的次幂等于．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式“”进行因式分解即可。
【解答】解：原式
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】解：过作于点，

平分，于点，
，
的面积，
故答案为：．
根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
；
故答案为：．
由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出的值．
此题考查学生理解新定义及灵活运用新定义的能力，同时也考查了学生会进行整式的混合运算及会利用平方差公式来化简运算，是一道中档题．
 

18.【答案】 

【解析】解：每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装个鸡蛋，且每个甲型包装箱可装个鸡蛋，
每个乙型包装箱可装个鸡蛋．
根据题意得：．
故答案为：．
根据两种不同规格的包装箱可装鸡蛋数量间的关系，可得出每个乙型包装箱可装个鸡蛋，根据“某配送公司每周向学校配送鸡蛋个，单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用个”，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解，注意到是解决本题的关键．首先去分母化成整式方程，求得的值，然后根据方程的解大于，且即可求得的范围．

【解答】
解：去分母，得，
去括号，得，
解得：，
根据题意得：且，
解得：且．
故答案是且．
 

20.【答案】 

【解析】解：，
即．



．
故答案为：．
先计算，再逆运用同底数幂的乘除法法则，代入求值即可．
本题考查了同底数幂的乘除法法则及幂的乘方法则，熟练掌握同底数幂的乘除法法则及逆运用，是解决本题的关键．
 

21.【答案】解：


；



；



；
，
方程两边同时乘得，
，
，
解得，
检验：当时，
是原方程的解． 

【解析】运用完全平方公式和平方差公式化简整式即可；
先提取公因式，然后再套用平方差公式进行因式分解即可；
根据同分母分式加减法的法则计算即可；
根据解分式方程的步骤解答即可：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论．
本题综合考查了整式混合运算、因式分解、分式的加减以及解分式方程，解题的关键是掌握相关的运算法则并灵活运用．
 

22.【答案】解：


，
当，时，
原式

；



，
，，
，，
当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接、，如右图所示，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是等腰的中线，
． 

【解析】先连接、，然后根据题目中的条件可以证明≌，从而可以得到，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论成立．
本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】解：设购买一个型垃圾桶需元，则购买一个型垃圾桶需元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
则，
答：购买一个型垃圾桶需元，一个型垃圾桶需元．
设小区一次性购买个型垃圾桶，则购买个型垃圾桶，
由题意得：，
解得：．
答：最少要购买个型垃圾桶． 

【解析】设一个型垃圾桶需元，则一个型垃圾桶需元，根据购买型垃圾桶数量是购买品牌足球数量的倍列出方程解答即可．
设小区一次性购买个型垃圾桶，则购买个型垃圾桶，根据“总费用不超过元”列出一元一次不等式并解答即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：，，
是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
，
．

解：结论：是等边三角形．
理由：，
，
在和中，

≌，
，
，
是等边三角形．

解：连接．
，，
，
，，
，
，
≌已证，
． 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
首先证明是等边三角形，推出，再证明≌，推出即可解决问题．
结论：是等边三角形．只要证明≌即可．
首先证明是含有度角的直角三角形，求出的长，理由全等三角形的性质即可解决问题．