2021-2022学年贵州省黔东南州九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年贵州省黔东南州九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程的解为(    )

A.  B.  C.  D. ，

2. 如图，的半径为，弦的长为，是弦上的动点，则线段长的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 若将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，可得到的抛物线是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将其中，绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么旋转角等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若函数的图象与轴只有一个公共点，则常数为(    )

A.  B.
C.  D. 或

6. 半径为的圆内接正六边形的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为号共道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了号、号题，第位选手抽中号题的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知一次函数、是常数，且的图象如图所示，则关于的方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根
B. 有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根

9. 二次函数的图象上有两点、，若，且，则(    )

A.  B.
C.  D. 、的大小不确定

10. 如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为的正三角形，粮堆母线的中点处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是(    )
     

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）

11. 点关于原点中心对称的点的坐标是______ ．
12. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为______．
13. 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．
14. 如图，在中，，分别以、、为圆心，以为半径画弧，三条弧与边所围成的阴影部分的面积是______保留
15. 抛物线的部分图象如图所示，则关于的方程的解是______．

16. 抛物线关于原点中心对称的抛物线的解析式为______．
17. 如图，若是的直径，是的弦，，则______

18. 已知：如图，等腰三角形中，，若以为直径的与相交于点，，与相交于点，则______．

19. 如图，是一个半径为，面积为的扇形纸片，现需要一个半径的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则______．

20. 如图，把抛物线平移得到抛物线，抛物线经过点和原点，它的顶点为，它的对称轴与抛物线交于点，则图中阴影部分的面积为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
22. 本小题分
    如图，两个转盘、都被分成个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘、，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形．
    
    用列表法或树状图表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果．
    小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为”的频数和频率如下表：

请你根据上表数据，估计“和为”的概率是多少？
根据，若，试求出和的值．

23. 本小题分
    如图，四边形是正方形，点是延长线上一点，连接，绕点旋转一定角度后得到，若，．
    直接写出旋转角的度数；
    求的长度；
    求证：直线．

24. 本小题分
    如图，在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，的长为半径画圆．
    求证：是的切线；
    若，求的半径．

25. 本小题分
    某水果批发商销售每箱进价为元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于元，市场调查发现，若每箱以元的价格出售，平均每天销售箱，价格每提高元，平均每天少销售箱．
    求平均每天销售量箱与销售价元箱之间的函数关系式．
    求该批发商平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式．
    当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
26. 本小题分
    已知：如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
    求该抛物线的解析式；
    求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求点坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了垂线段最短，垂径定理和勾股定理．
根据垂线段最短知，当时，有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】
解：如图，作于，根据垂线段最短知，当时，有最小值，
此时，由垂径定理知，点是的中点，则，
连接，则，
由勾股定理知，．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：原抛物线的顶点为，向左平移个单位，再向上平移个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，
，
点、、在同一条直线上，
，
旋转角等于．
故选：．
根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角．
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：当时，
二次函数的图象与轴只有一个公共点，
，且，
解得：．
当时与轴只有一个交点，
综上所述，或，
故选：．
时，函数是一次函数，与轴有一个交点；，则函数为二次函数．由抛物线与轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于，且不为，即可求出的值．
此题考查了抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点个数由根的判别式的值来确定．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图所示：
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，
，，
则是正三角形，
，
，
，
正六边形的面积
故选：．
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积．
本题考查了正多边形和圆，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：前两位选手抽走号、号题，第位选手从、、、、、、、共位中抽一个号，共有种可能，
每个数字被抽到的机会相等，所以抽中号的概率为．
故选：．
先求出题的总号数及号的个数，再根据概率公式解答即可．
考查概率的求法，关键是真正理解概率的意义，正确认识到本题是八选一的问题，不受前面叙述的影响．
 

8.【答案】 

【解析】解：由一次函数的图象可知，，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的对称轴为直线，
，
即，
点到直线的距离大于点到直线的距离，
而抛物线的开口向下，
．
故选：．
先求出抛物线的对称轴为直线，然后比较点、到对称轴的距离，从而得到与的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】分析
求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是的半圆．根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．
本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
详解
解：
圆锥的主视图是边长为的正三角形，
圆锥底面圆半径，母线长为：，
设展开图的圆心角为，则，
，即圆锥侧面展开图的圆心角是度．如图所示：


在圆锥侧面展开图中，，．
在中，．
小猫经过的最短距离是
故选：．
 

11.【答案】 

【解析】解：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，
点关于原点中心对称的点的坐标是．
故答案为：．
平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
 

12.【答案】 

【解析】解：是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得，解此方程得到．
本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．
本题逆用一元二次方程解的定义易得出的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：．
故答案为：．
由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解不等式即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是由方程有实数根得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的个数结合根的判别式得出不等式或方程是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
三条弧与边所围成的阴影部分的面积三角形的面积三个小扇形的面积．
本题的关键是理解阴影部分的面积三角形的面积三个小扇形的面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：由题意抛物线与直线的交点坐标为或，
一元一次方程的解为或，
故答案为：或，
求出抛物线与直线的交点坐标即可．
本题考查抛物线与轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：抛物线．
所以其顶点关于原点对称的点的坐标为，
所以，抛物线为，即．
故答案为：．
求出顶点坐标关于原点对称的坐标，然后利用顶点式解析式写出，再整理成一般形式即可．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质．抛物线关于原点成中心对称的抛物线的开口方向相反．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接．

是直径，
，
，
，
，
故答案为．
连接首先证明，求出即可解决问题．
本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
为直径，
，
又，
为的中点，
又，
为的中位线，
．
作出辅助线，根据半圆或直径所对的圆周角为，判断出为的中点，进而判断出为的中位线，根据中位线定理即可解答．
本题重点考查了直径所对的圆周角为直角和中位线定理．
 

19.【答案】 

【解析】解：设扇形纸片的弧长为，
则，
解得：，
，
解得：，
故答案为：．
根据扇形面积公式求出扇形弧长，根据圆的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
平移后的抛物线解析式为，
所以点坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，则点的坐标为，
由于抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，
所以图中阴影部分的面积．
故答案为：．
连接、，如图，先利用交点时写出平移后的抛物线的解析式，再用配方得到顶点式，则点坐标为，抛物线的对称轴为直线，于是可计算出点的坐标为，所以点与点关于轴对称，于是得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

21.【答案】解：，
，
则或，
则，；
，
，
则，
或，
解得，． 

【解析】利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可；
先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

22.【答案】解：列表为：

由于出现“和为”的频率稳定在附近，故出现“和为”的概率为．
“和为”的概率为，表中共九种情况，和为的情况有种，由于、；、；之和为，所以、；、；、；、；、中有一组为即可；
又由于，所以
，，，，，，
，，，，，
，，；
，，，；
，，．
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有成立，
，． 

【解析】由于是两步操作，适合用列表法或树状图法；
用“和为”的频率估计概率；
根据和为的概率估算出表中和为的数字的个数，再推出、的值．
此题考查了利用频率估计概率；解题的关键是要熟悉列表法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

23.【答案】解：由题意知，旋转角度为；
解：按顺时针方向旋转一定角度后得到，
，，
；
证明：按顺时针方向旋转一定角度后得到，

≌，
，，
，
，
，
． 

【解析】根据旋转角度的定义与正方形的性质便可得解；
根据旋转的性质可得，，然后根据计算即可得解；
根据旋转可得和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断出．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
 

24.【答案】证明：过点作于；

为的切线，
，
，
平分，，
，
与相切；
解：，，
，
与相切，与相切，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
，
．
的半径为． 

【解析】过点作于，求出等于半径，得出是的切线．
根据勾股定理求出，然后根据切线长定理可得，利用勾股定理即可求出半径．
本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等．
 

25.【答案】解：由题意得：

化简得：；

由题意得：

；


，
抛物线开口向下．
当时，有最大值．
又，随的增大而增大．
当元时，的最大值为元．
当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润． 

【解析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依据题意易得出平均每天销售量与销售价元箱之间的函数关系式为，然后根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元箱之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于、两点，
，
，
抛物线的解析式为；

，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；

如图，

，，
，
，
当时，，可得．
当时，同法可得，
当时，设的中点为，，
则有，
，
，
解得，
，，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或 

【解析】把，两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出，的值即可；
利用配方法求出抛物线的对称轴，顶点坐标；
分三种情形：是直角顶点，是直角顶点，是直角顶点，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．