广东省广州市番禺区执信中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份广东省广州市番禺区执信中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市番禺区执信中学八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每题只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．设三角形三边之长分别为6，a，2，则a的值可能为（　　）
A．6 B．4 C．8 D．3
3．若点A（x，5）与点B（2，y）关于y轴对称，则x+y的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7
4．下列计算正确的是（　　）
A．a4×a7＝a28 B．（a3）3＝a9
C．（a3b2）3＝a6b5 D．b2+b2＝b4
5．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠DEF的度数为（　　）

A．110° B．30° C．20° D．10°
6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　）

A．8cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2
7．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长等于（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
8．如图，把三角形ABC沿着DE折叠后，点A落在四边形BCED的内部A′，若∠A＝45°，则∠1+∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．135°
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
10．如图AB＝4cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当x为（　　）值时，△ACP与△BPQ全等．

A．1 B．2 C．1或2 D．1或1.5
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知am＝2，an＝3，则am+n的值为 　 　．
12．已知等腰三角形ABC的两边长a、b满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则等腰三角形ABC的周长为 　 　．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　 　．

14．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD等于　 　．

15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是　 　．
16．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②BE平分∠FEC；③AE＝AD＝EC；④S四边形ABCE＝BF×EF．其中正确的是 　 　．（只填序号）

三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE，求证：BD＝CE．

18．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ 　 　，　 　）．
（2）△ABC的面积为 　 　．
（3）在y轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 　 　，　 　）．

20．（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　 　cm．

21．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC．求∠C、∠ADE的度数．

22．如图，在△ABC中，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE和BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．
（1）求证：∠FAB＝∠FBA；
（2）求证：G为AB的中点．

23．如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）直接写出∠DOE＝　 　°；
（3）判断△CFG的形状并说明理由．

24．（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，∠A+∠C＝180°．请按要求画出图形：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN．求证：DA＝DC；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．


25．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．


参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每题只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．设三角形三边之长分别为6，a，2，则a的值可能为（　　）
A．6 B．4 C．8 D．3
【分析】已知三角形的三边长，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”列出关于a的不等式，然后解不等式即可．
解：根据题意，得6﹣2＜a＜6+2，
即4＜a＜8；
所以a的取值范围是4＜a＜8．
观察选项，只有选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系．要注意构成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
3．若点A（x，5）与点B（2，y）关于y轴对称，则x+y的值是（　　）
A．﹣7 B．﹣3 C．3 D．7
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．
解：∵点A（x，5）与点B（2，y）关于x轴对称，
∴x＝﹣2，y＝5，
则x+y＝﹣2+5＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
4．下列计算正确的是（　　）
A．a4×a7＝a28 B．（a3）3＝a9
C．（a3b2）3＝a6b5 D．b2+b2＝b4
【分析】利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则对每个选项进行分析，即可得出答案．
解：∵a4×a7＝a11≠a28，
∴选项A不符合题意；
∵（a3）3＝a9，
∴选项B符合题意；
∵（a3b2）3＝a9b6≠a6b5，
∴选项C不符合题意；
∵b2+b2＝2b2≠b4，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则是解决问题的关键．
5．如图，AB∥CD，∠ABE＝60°，∠D＝50°，则∠DEF的度数为（　　）

A．110° B．30° C．20° D．10°
【分析】根据平行线的性质求出∠CFE，根据三角形的外角性质得出∠DEF＝∠CFE﹣∠D，代入求出即可．
解：∵AB∥CD，∠ABE＝60°，
∴∠CFE＝∠ABE＝60°，
∵∠D＝50°，
∴∠DEF＝∠CFE﹣∠D＝10°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠CFE的度数，注意：两直线平行，同位角相等．
6．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，若△ABC的面积为12cm2，则△CDE的面积为（　　）

A．8cm2 B．6cm2 C．4cm2 D．3cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．
解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为12cm2，
∴△ADC的面积为：×12＝6（cm2），
∵CE是△ADC的边AD上的中线，
∴△CDE的面积为：×6＝3（cm2），
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
7．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE的周长等于（　　）

A．8 B．10 C．12 D．14
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得DA＝DB，EA＝EC，然后利用等量代换可得△ADE的周长＝BC的长，即可解答．
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∵BC＝10，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE
＝BD+DE+EC
＝BC
＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
8．如图，把三角形ABC沿着DE折叠后，点A落在四边形BCED的内部A′，若∠A＝45°，则∠1+∠2等于（　　）

A．60° B．90° C．120° D．135°
【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），再利用三角形的内角和定理进行转换，得∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
解：根据平角的定义和折叠的性质得，
∠1+∠2＝360°﹣2（∠ADE+∠AED），
又∵∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝90°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质，综合运用各定理是解答此题的关键．
9．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
10．如图AB＝4cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以xcm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当x为（　　）值时，△ACP与△BPQ全等．

A．1 B．2 C．1或2 D．1或1.5
【分析】根据题意可得：AP＝tcm，BQ＝xtcm，从而可得BP＝（4﹣t）cm，再根据已知∠A＝∠B＝60°，然后分两种情况：当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ；当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP，分别进行计算即可解答．
解：由题意得：
AP＝tcm，BQ＝xtcm，
∵AB＝4cm，
∴BP＝AB﹣AP＝（4﹣t）cm，
∵∠A＝∠B＝60°，
∴分两种情况：
当AC＝BP，AP＝BQ时，△ACP≌△BPQ，
∴4﹣t＝3，t＝xt，
∴t＝1，x＝1；
当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BQP，
∴3＝xt，t＝4﹣t，
∴t＝2，x＝；
综上所述：x为1或时，△ACP与△BPQ全等，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知am＝2，an＝3，则am+n的值为 　6　．
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可求解．
解：∵am＝2，an＝3，
∴am+n＝am•an＝2×3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
12．已知等腰三角形ABC的两边长a、b满足（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则等腰三角形ABC的周长为 　10或11　．
【分析】先利用绝对值和偶次方的非负性可得a﹣3＝0，b﹣4＝0，从而可得a＝3，b＝4，分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，然后分别进行计算即可解答．
解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
∴等腰三角形ABC的周长＝3+3+4＝10；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴等腰三角形ABC的周长＝4+4+3＝11；
综上所述：等腰三角形ABC的周长为10或11，
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，绝对值和偶次方的非负性，分两种情况进行计算是解题的关键．
13．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为 　75°　．

【分析】根据三角形外角性质求解即可．
解：如图，

∵∠2+∠3＝90°，∠2＝45°，
∴∠3＝45°，
∵∠1＝∠A+∠3，
∴∠1＝75°，
故答案为：75°．
【点评】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键．
14．如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC＝6，那么PD等于　3　．

【分析】根据角平分线的性质，角平分线上的点到两角的距离相等，因而过P作PE⊥OA于点E，则PD＝PE，因为PC∥OB，得角相等，而OP平分∠AOB，得∴∠ECP＝∠COP+∠OPC＝30°根据三角形的外角的性质得到答案．
解：过P作PE⊥OA于点E，则PD＝PE，
∵PC∥OB，∠AOB＝30°，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°
在Rt△ECP中，PE＝PC＝3
∴PD＝PE＝3．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等．
15．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是　65°或25°　．
【分析】在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，讨论：当BD在△ABC内部时，如图1，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠ACB；当BD在△ABC外部时，如图2，先计算出∠BAD＝50°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出∠ACB．
解：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，
当BD在△ABC内部时，如图1，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣50°）＝65°；
当BD在△ABC外部时，如图2，
∵BD为高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠ACB＝∠BAD＝25°，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．
故答案为：65°或25°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
16．已知：如图，△ABC中，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②BE平分∠FEC；③AE＝AD＝EC；④S四边形ABCE＝BF×EF．其中正确的是 　①③④　．（只填序号）

【分析】由“SAS”可证△ABD≌△EBC，故①正确；由三角形的内角和定理可求∠BEC≠∠BEF，故②错误；由外角的性质可证∠DCE＝∠DAE，可得AE＝EC＝AD，故③正确；证Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），得S△BEF＝S△BEG，S△AEF＝S△CEG，判断④正确，即可求解．
解：①∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBC，
在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS），故①正确；
②∵EF⊥AB，
∴∠ABE+∠BEF＝90°，
∵∠CBE+∠BEC＞0，∠ABE＝∠CBE，
∴∠BEC≠∠BEF，
∴BE不平分∠FEC，故②错误；
③∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BC，BE＝BA，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，
∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，
∴∠DCE＝∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形，
∴AE＝EC，
∵△ABD≌△EBC，
∴AD＝EC，
∴AD＝AE＝EC．故③正确；
④如图，过E作EG⊥BC于点G，
∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，EF⊥AB，EG⊥BC，
∴EF＝EG，
在Rt△BEG和Rt△BEF中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），
∴BG＝BF，S△BEF＝S△BEG，
在Rt△CEG和Rt△AEF中，
，
∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），
∴S△AEF＝S△CEG，
∴S四边形ABCE＝2S△BEF＝2×BF×EF＝BF×EF，故④正确；
故答案为：①③④．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．如图，B是线段AC的中点，AD∥BE，BD∥CE，求证：BD＝CE．

【分析】证△ABD≌△BCE（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵点B为线段AC的中点，
∴AB＝BC，
∵AD∥BE，BD∥CE，
∴∠A＝∠EBC，∠ABD＝∠C，
在△ABD与△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍,求这个多边形的边数．
【分析】根据多边形的外角和为360°，内角和公式为：（n﹣2）•180°，由题意可得到方程（n﹣2）×180°＝360°×3，解方程即可得解．
解：设这个多边形是n边形，由题意得：
（n﹣2）×180°＝360°×3，
解得：n＝8．
答：这个多边形的边数是8．
【点评】此题主要考查了多边形的外角和与内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n﹣2）•180°，外角和为360°．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：A1（ 　2　，　﹣4　）．
（2）△ABC的面积为 　　．
（3）在y轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（ 　0　，　2　）．

【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1；
（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）作点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于P，从而解决问题．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），

故答案为：2，﹣4；
（2）△ABC的面积＝2×3﹣＝，
故答案为：；
（3）如图所示，点P即为所求，P（0，2）．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，使点E到P、C两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝5cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　8　cm．

【分析】（1）连接PC作线段PC的垂直平分线交AC于点E，连接PE，点E即为所求；
（2）证明△APE的周长＝AP+AC，可得结论．
解：（1）如图，点E即为所求；

∵EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+PE+AE＝AP+CE+AE＝AP+AC＝3+5＝8（cm），
故答案为：8．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC．求∠C、∠ADE的度数．

【分析】设∠C＝x，利用等腰三角形的性质可得∠EDC＝∠C＝x，从而利用三角形的外角性质可得∠DEA＝2x，再利用等腰三角形的性质可得∠DAE＝∠DEA＝2x，从而利用三角形的外角性质可得∠ADB＝3x，再利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠ADB＝3x，然后利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝80°，从而可得3x+x＝80°，进而求出x＝20°，最后可得∠C＝∠EDC＝20°，∠DAC＝40°，∠ADB＝60°，从而利用平角定义进行计算即可解答．
解：设∠C＝x，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C＝x，
∴∠DEA＝∠C+∠EDC＝2x，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠DEA＝2x，
∴∠ADB＝∠C+∠DAE＝3x，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝3x，
∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，
∴3x+x＝80°，
∴x＝20°，
∴∠C＝∠EDC＝20°，∠DAC＝2x＝40°，∠ADB＝3x＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠EDC﹣∠ADB＝100°，
∴∠C的度数为20°，∠ADE的度数为100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC，△BDC和△ACE分别为等边三角形，AE和BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．
（1）求证：∠FAB＝∠FBA；
（2）求证：G为AB的中点．

【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质得出∠FAB＝∠FBA；
（2）判断出△AFC≌△BFC，根据全等三角形的性质得出∠ACF＝∠BCF，根据等腰三角形底边三线合一即可解题．
【解答】证明：（1）∵CA＝CB
∴∠CAB＝∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG
∴AF＝BF．
∴∠FAB＝∠FBA，
（2））∵CA＝CB
∴∠CAB＝∠CBA
∵△AEC和△BCD为等边三角形
∴∠CAE＝∠CBD，∠FAG＝∠FBG
∴AF＝BF．
在△ACF和△BCF中，
，
∴△AFC≌△BFC（SSS），
∴∠ACF＝∠BCF
∴AG＝BG（三线合一）
∴G为AB的中点
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质．
23．如图，已知△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）直接写出∠DOE＝　60　°；
（3）判断△CFG的形状并说明理由．

【分析】（1）由SAS证明△BCD≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得∠BDC＝∠AEC，即可解决问题；
（2）证明△BCF≌△ACG（ASA），得CG＝CF，即可得出结论，
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：由（1）可知，△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵∠DGO＝∠CGE，
∴∠DOE＝∠DCE＝60°，
故答案为：60；
（3）解：△CFG是等边三角形，理由如下：
∵△ACB和△DCE是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BCA＝∠ACG＝60°，
由（1）可知，△BCD≌△ACE，
∴∠CBD＝∠CAE，
在△BCF与△ACG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴CG＝CF，
∵∠FCG＝60°，
∴△CFG是等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型，
24．（1）如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分ABC，∠A+∠C＝180°．请按要求画出图形：延长BA到点N，使得BN＝BC，连接DN．求证：DA＝DC；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，当∠DAC＝60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，DA＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，请直接写出线段AB、CE、BC之间的数量关系．


【分析】（1）延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，证明△NBD≌△CBD（SAS），由全等三角形的性质得出∠BND＝∠C，ND＝CD，证出DN＝DA，则可得出结论；
（2）延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，证明△PAC≌△BAD（SAS），由全等三角形的性质得出PC＝BD，则可得出结论；
（3）连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，证明△DFA≌△DEC（AAS），由全等三角形的性质得出DF＝DE，AF＝CE，证明Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），由全等三角形的性质得出BF＝BE，则可得出结论．
解：（1）延长AB到N，使BN＝BC，连接DN，

∵BD平分∠ABC，
∴∠NBD＝∠CBD，
在△NBD和△CBD中，
，
∴△NBD≌△CBD（SAS），
∴∠BND＝∠C，ND＝CD，
∵∠NAD+∠BAD＝180°，∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BND＝∠NAD，
∴DN＝DA，
∴DA＝DC；
（2）AB，BC，BD之间的数量关系为AB+BC＝BD．
理由：延长CB到P，使BP＝BA，连接AP，

由（1）知AD＝CD，
∵∠DAC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝AD，∠ADC＝60°，
∵∠BCD+∠BAD＝180°，
∴∠ABC＝360°﹣180°﹣60°＝120°，
∴∠PBA＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵BP＝BA，
∴△ABP为等边三角形，
∴∠PAB＝60°，AB＝AP，
∵∠DAC＝60°，
∴∠PAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，
即∠PAC＝∠BAD，
在△PAC和△BAD中，
，
∴△PAC≌△BAD（SAS），
∴PC＝BD，
∵PC＝BP+BC＝AB+BC，
∴AB+BC＝BD；
（3）线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC﹣AB＝2CE．
连接BD，过点D作DF⊥AB于点F，

∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝∠C，
在△DFA和△DEC中，
，
∴△DFA≌△DEC（AAS），
∴DF＝DE，AF＝CE，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌和Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∴BC＝BE+CE＝BA+AF+CE＝BA+2CE，
∴BC﹣BA＝2CE．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．等腰Rt△ACB，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：∠BCO＝∠CAO
（2）如图2，若OA＝5，OC＝2，求B点的坐标
（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA＝18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．
【分析】（1）根据同角的余角相等得出结论即可；
（2）先过点B作BD⊥y轴于D，再判定△CDB≌△AOC（AAS），求得BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，进而得出OD＝5﹣2＝3，即可得到B点的坐标；
（3）先过N作NH∥CM，交y轴于H，再△HCN≌△QAC（ASA），得出CH＝AQ，HN＝QC，然后根据点C（0，3），S△CQA＝18，求得AQ＝12，最后判定△PNH≌△PMC（AAS），得出CP＝PH＝CH＝6，即可求得OP＝3+6＝9（定值）．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°＝∠CAO+∠ACO，
∴∠BCO＝∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB＝∠AOC＝90°，
在△CDB和△AOC中，
，
∴△CDB≌△AOC（AAS），
∴BD＝CO＝2，CD＝AO＝5，
∴OD＝5﹣2＝3，
又∵点B在第三象限，
∴B（﹣2，﹣3）；

（3）OP的长度不会发生改变．
理由：如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则
∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，3），S△CQA＝18，
∴×AQ×CO＝18，即×AQ×3＝18，
∴AQ＝12，
∴CH＝12，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
∴在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝6，
又∵CO＝3，
∴OP＝3+6＝9（定值），
即OP的长度始终是9．



【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积计算以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导计算．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．