重庆市北碚区西南大学附中2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份重庆市北碚区西南大学附中2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（3分）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≥﹣2 C．a＞﹣2且a≠0 D．a≥﹣2且a≠0
4．（3分）估算×+的运算结果应在（　　）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
5．（3分）下列命题中，不正确的是（　　）
A．关于某条直线对称的两个三角形全等
B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线
C．等腰三角形高、中线及角平分线重合
D．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
6．（3分）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（　　）

A．45 B．63 C．84 D．108
7．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
8．（3分）如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．40°
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20
10．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1
11．（3分）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为y≤2，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．12
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB，∠BAC的平分线AE交BC于点E，交CD于G，EF⊥AB，连接GF、CF，CF交AE于点H、下列结论：①若将△EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上；②图中有8对全等三角形；③S△ADG＝S四边形DGEF；④若S△CEH＝1，则，上述结论中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（3分）（﹣1）0﹣|π﹣4|＝　 　．
14．（3分）已知等腰三角形两边的长度分别是3和4，则这个等腰三角形的周长是　 　．
15．（3分）若y＝，则5x+2y的平方根为 　 　．
16．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，BC＝3，CD＝；将该纸片沿EF折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点A′处，则折痕EF的长为 　 　．

17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝3，点P是边AB上的一个动点，点D在边AC上，且CD＝2AD，则PD+PC的最小值为 　 　．

18．（3分）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费 　 　元．
三、解答题：（本大题共9小题，共96分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）计算：
（1）2+﹣；
（2）；
（3）；
（4）．
20．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
21．（8分）解方程：
（1）3（x+1）2﹣108＝0
（2）（2x+3）3﹣54＝0．
22．（8分）先化简，再求值：，其中a．b满足．
23．（8分）如图CD∥OB，且CD与射线OA交于点C．
（1）尺规作图：作∠AOB的角平分线OE，与CD交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中的条件下，若∠AOB＝60°，OC＝4，求△COF的面积．

24．（10分）为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元．
（1）购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？
（2）该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？
25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，E是BC中点，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠B＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，CH＝2，求线段AG的长度；
（2）如图2，连接AE并延长至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在AC延长线上时，求证：2BF+CH＝BG．

26．（10分）对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为P（n）．例如：n＝134，满足1＜3，且1+3＝4，所以134是“望岳数”，P（134）＝；例如：n＝237，满足2＜3，但是2+3≠7，所以237不是“望岳数”；再如：n＝415，满足4+1＝5，但是4＞1，所以415不是“望岳数”．
（1）判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
（2）若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及P（t）的最大值．
27．（10分）已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点．

（1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系　 　．
（2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长．
（3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE＝，求BE+BD的最小值．

2022-2023学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题只有一个正确选项，请将答题卡中对应题目的正确答案标号涂黑.
1．（3分）在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析可得答案．
【解答】解：根据题意，建设银行的图标不是轴对称图形．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
2．（3分）下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（﹣）2＝2≠﹣2，故A错误；
＝2≠﹣2，故B错误；
是最简二次根式，故C错误；
×＝＝4，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法则是解题的关键．
3．（3分）要使式子有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≠0 B．a≥﹣2 C．a＞﹣2且a≠0 D．a≥﹣2且a≠0
【分析】根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意得，
a+2≥0且a≠0，
即a≥﹣2且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义，分式有意义的条件，掌握被开方数是非负数以及分母不等于0是正确解答的关键．
4．（3分）估算×+的运算结果应在（　　）
A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果．
【解答】解：×+＝3+，
∵2＜＜3，
∴5＜3＜6，
∴×+的运算结果应在5与6之间；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
5．（3分）下列命题中，不正确的是（　　）
A．关于某条直线对称的两个三角形全等
B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线
C．等腰三角形高、中线及角平分线重合
D．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形
【分析】利用轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义，等腰三角形的性质逐一判断即可．
【解答】解：A．关于某条直线对称的两个三角形可以重合，故全等，故选项A正确，不符合题意；
B．若两个图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线，正确，不符合题意；
C．利用等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线重合，对于两腰则不符合，故本选项错误，符合题意；
D．有一个外角是120°，可以求出内角的度数是60°，利用有一个角60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与线段的垂直平分线的定义解决问题．
6．（3分）如图，每个图案均是由长度相等的火柴棒按一定的规律拼接而成的，第一个图案需要3根火柴棒，第二个图案需要9根火柴棒，第三个图案需要18根火柴棒，……，依据此规律，第六个图案需要的火柴棒根数为（　　）

A．45 B．63 C．84 D．108
【分析】通过观察n＝1时，需要火柴的根数为：3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3）；
得到第n个图形需要火柴数为3×（1+2+3+…+n），按规律求解即可．
【解答】解：n＝1时，有1个三角形，需要火柴的根数为：3＝3×1；
n＝2时，需要火柴的根数为：9＝3×（1+2）；
n＝3时，需要火柴的根数为：18＝3×（1+2+3）；
……
n＝6时，需要火柴的根数为：3×（1+2+3+4+5+6）＝63．
故选B．
【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，本题的关键是每个图形的火柴总数与图形序号数的关系．
7．（3分）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）

A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出a﹣4及a﹣11的符号，再把原式进行化简即可．
【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
∴原式＝+
＝a﹣4+11﹣a＝7．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．
8．（3分）如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（　　）

A．15° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AMB的度数，再证明△MAO≌△MBO（HL），根据全等三角形的性质可得∠AMO的度数，进一步即可求出∠AOM的度数．
【解答】解：∵∠MAB＝20°，MA＝MB，
∴∠MBA＝∠MAB＝20°，
∴∠AMB＝140°，
∵MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，
∴∠MAO＝∠MBO＝90°，
在Rt△MAO和Rt△MBO中，
，
∴Rt△MAO≌Rt△MBO（HL），
∴∠AMO＝∠BMO，
∴∠AMO＝70°，
∴∠AOM＝90°﹣70°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，CD，若BC＝5，CD＝6.5，则△BCE的周长为（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据勾股定理求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，AD＝DB，
在Rt△ABC中，AD＝DB，CD＝6.5，
∴AB＝2CD＝13，
∴AC＝＝＝12，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝17，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．（3分）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（　　）

A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1
【分析】数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，则AB＝2，已知CB⊥AB于点B，且BC＝2，根据勾股定理求出AC，则AD﹣1即为点D表示的数．
【解答】解：由题意可得，
AB＝2，BC＝2，AB⊥BC，
∴AC＝＝＝2，
∴AD＝2，
∴点D表示数为：2﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（3分）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为y≤2，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．12
【分析】解分式方程，根据解是非负整数解，且不是增根，化简一元一次不等式组，根据解集为y≤2得到a的取值范围，得到a的最终范围，这个范围内能使y是整数的a确定出来求和即可．
【解答】解：分式方程两边都乘以（x﹣1）得：x+2﹣a＝3x﹣3，
解得x＝，
∵分式方程有非负整数解，且x﹣1≠0，
∴≥0且≠1，
解得：a≤5且a≠3，
解不等式组得到：，
∵不等式组的解集为y≤2，
∴2a+6≥2，
∴a≥﹣2，
∴﹣2≤a≤5且a≠3，
∴符合条件的整数a的值为：﹣1，1，5，
∴和为5．
故选：A．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解集，考虑解分式方程可能产生增根是解题的关键．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB，∠BAC的平分线AE交BC于点E，交CD于G，EF⊥AB，连接GF、CF，CF交AE于点H、下列结论：①若将△EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上；②图中有8对全等三角形；③S△ADG＝S四边形DGEF；④若S△CEH＝1，则，上述结论中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝∠CBA＝45°，由CD⊥AB，得AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，先证明△AFE≌△ACE，得AF＝AC，EF＝EC，则AE垂直平分CF，再证明△EFG≌△ECG，得∠AFG＝∠EFG＝∠ECG＝45°，若将△EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上，可判断①正确；
可证明△FGH≌△CEH，得CH＝EH，则CF垂直平分EG，可知EG与CF互相垂直平分，则GF＝EF＝GC＝EC，可列举出原图中的9对全等三角形，可判断②错误；
连接BG，则GF∥CB，得S△EFG＝S△BFG，可推导出S四边形DGEF＝S△BDG，再证明△ADG≌△BDG，则S△ADG＝S△BDG＝S四边形DGEF，可判断③正确；
作FL⊥BC于点L，则EC＝EF＝EL＝FL，由S△CEH＝1，得S△EFG＝S△ECG＝2S△CEH＝2，则SBLF＝S△ELF＝FL2＝，再证明△GDF≌△ELF，则S△GDF＝S△ELF＝，于是求得S△BDC＝3+4，则S△ABC＝2S△BDC＝6+8，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴∠FAE＝∠CAE，∠AFE＝∠ACE＝90°，
在△AFE和△ACE中，
，
∴△AFE≌△ACE（AAS），
∴AF＝AC，EF＝EC，
∴点A、点E都在CF的垂直平分线上，
∴AE垂直平分CF，
∴GF＝GC，FH＝CH，
在△EFG和△ECG中，
，
∴△EFG≌△ECG（SSS），
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠AFG＝∠EFG＝45°，
∴若将△EFG沿GF折叠，则点E一定落在AB上，
故①正确；
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠AFG＝45°，
∴∠DGF＝∠DFG＝∠BCD＝45°，
∴GF∥CE，
∴∠FGH＝∠CEH，
在△FGH和△CEH中，
，
∴△FGH≌△CEH（AAS），
∴CH＝EH，
∴CF垂直平分EG，
∴EG与CF互相垂直平分，
∴GF＝EF＝GC＝EC，
在原图中，△CHG、△FHG、△CHE、△FHE这四个三角形全等，就可组成6对全等三角形，
还有△CGF≌△CEF，再加上前面证明的△AFE≌△ACE、△EFG≌△ECG，
上述的全等三角形已达到9对，超过8对，
故②错误；
连接BG，
∵GF∥CB，
∴S△EFG＝S△BFG，
∴S四边形DGEF＝S△DFG+S△EFG＝S△DFG+S△BFG＝S△BDG，
在△ADG和△BDG中，
，
∴△ADG≌△BDG（SAS），
∴S△ADG＝S△BDG，
∴S△ADG＝S四边形DGEF，
故③正确；
作FL⊥BC于点L，则∠FLB＝∠FLE＝90°，
∵∠EFB＝90°，∠FBE＝45°，
∴∠FEB＝∠FBE＝45°，
∴FB＝FE，
∴EL＝BL，
∴FL＝EL＝BL＝BE，
∵EF2＝FL2+EL2＝2EL2，
∴EC＝EF＝EL＝FL，
∵S△CEH＝1，EG＝2EH，
∴S△EFG＝S△ECG＝2S△CEH＝2，
∴EC•FL＝2，
∴FL•FL＝2，
∴SBLF＝S△ELF＝FL2＝，
在△GDF和△ELF中，
，
∴△GDF≌△ELF（AAS），
∴S△GDF＝S△ELF＝，
∴S△BDC＝SBLF+S△ELF+S△GDF+S△EFG+S△ECG＝3+4，
∴AB＝2BD，
∴S△ABC＝2S△BDC＝6+8，
故④正确，
故选：C．

【点评】此题重点考查全等三角形的判定和性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的判定与性质、根据转化思想求多边形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线并且证明有关的三角形全等是解题的关键．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（3分）（﹣1）0﹣|π﹣4|＝　﹣3+π　．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（﹣1）0﹣|π﹣4|
＝1﹣（4﹣π）
＝1﹣4+π
＝﹣3+π，
故答案为：﹣3+π．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
14．（3分）已知等腰三角形两边的长度分别是3和4，则这个等腰三角形的周长是　10或11　．
【分析】分3是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4，
能组成三角形，周长＝3+3+4＝10，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4，
能组成三角形，周长＝3+4+4＝11，
综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11．
故答案为：10或11．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
15．（3分）若y＝，则5x+2y的平方根为 　±4　．
【分析】由二次根式有意义可得x＝2，代入得y＝3，再求出5x+2y即可得出5x+2y的平方根．
【解答】解：由二次根式有意义可得，x﹣2≥0，4﹣2x≥0，
解得x＝2，
∴y＝3，
把x＝2，y＝3代入5x+2y得，5x+2y＝16，
所以5x+2y的平方根为±4．
故答案为：±4．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件及平方根，解题的关键是利用二次根式有意义求出x＝2．
16．（3分）如图，在长方形纸片ABCD中，BC＝3，CD＝；将该纸片沿EF折叠，使点B恰好落在点D处，点A落在点A′处，则折痕EF的长为 　2　．

【分析】根据矩形的性质可得∠C＝90°，AD∥BC，设CF＝x，则BF＝BC﹣CF＝3﹣x，由翻折可得DF＝BF＝3﹣x，根据勾股定理求出x的值，然后证明△DEF是等边三角形，进而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AD∥BC，
∵BC＝3，CD＝，
设CF＝x，则BF＝BC﹣CF＝3﹣x，
由翻折可知：DF＝BF＝3﹣x，
在Rt△DCF中，根据勾股定理得：
DF2＝CF2+CD2，
∴（3﹣x）2＝x2+（）2，
解得x＝1，
∴DF＝BF＝3﹣x＝2，
∴∠FDC＝30°，
∴∠EDF＝60°，
由翻折可知：∠DFE＝∠BFE，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等边三角形，
∴EF＝DF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
17．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝3，点P是边AB上的一个动点，点D在边AC上，且CD＝2AD，则PD+PC的最小值为 　2　．

【分析】作C点关于AB的对称点E，连接AE，BE，PE，DE，过EWTEF⊥AC于点E，得PC+PD＝PE+PD≥DE，当D、P、E三点共线时，PC+PD＝DE的值最小，求出此时的DE便可．
【解答】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，BE，PE，DE，过EWTEF⊥AC于点E，

由BE＝BC＝3，PC＝PE，
∴PC+PD＝PE+PD≥DE，
当D、P、E三点共线时，PC+PD＝DE的值最小，
∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AC＝2BC＝6，
∵CD＝2AD，
∴CD＝4，
∵∠CEF＝90°﹣∠ECF＝30°，
∴CF＝CE＝3，
∴，DF＝CD﹣CF＝1，
∴DE＝，
∴PD+PC的最小值为：2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短性质，关键是用辅助线确定PD+PC的最小值为DE．
18．（3分）在新冠疫情下，口罩作为重要的防疫物资，国家投入了大量的资金和工厂进行口罩的生产，每个工厂生产的口罩型号，颜色均有差异．某商店共有a种不同型号的口罩，每种口罩都有红、白、蓝三种颜色，并且货源充足，每种型号的口罩红色的价格均为每包50元，白色的价格均为每包b元，蓝色的价格均为每包c元，且满足66≤b＜c≤74，b、c均为正整数．A、B、C三人每人都将每种型号的口罩各买一包，且对于同种型号的口罩，三人选择的颜色各不相同．结账时，A、B都花了1200元，且他们买的蓝色口罩数量不同，C花了1400元，三种颜色的口罩皆有购买，请问C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费 　1350　元．
【分析】由题意可得a（50+b+c）＝3800，再由a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，求出b+c＝140，a＝20，则满足条件的有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，分别列出方程求解讨论即可．
【解答】解：A、B、C三人将a种不同型号的口罩三种颜色的口罩各买一包，共花了1200+1200+1400＝3800（元），即a（50+b+c）＝3800，
∵a，b，c均为正整数，且66≤b＜c≤74，
∴185＝50+67+68≤50+b+c≤50+72+73＝195，
∴50+b+c＝190，a＝20，即b+c＝140，a＝20，
∴有四种情况：①b＝67，c＝73；②b＝68，c＝72；③b＝69，c＝71；④a＝66，b＝74；
设A、B购买红色型号的口罩x包，白色型号的口罩y包，蓝色型号的口罩（40﹣x﹣y）包，
①，
整理得23x+6y＝520，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
②，
整理得11x+2y＝240，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
③，
整理得21x+2y＝440，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴，
∴C只购买了白色和蓝色口罩，不符合题意；
④，
整理得3x+y＝70，
∵x≤20，y≤20，且x、y是整数，
∴或或或，
∴当x＝19，y＝13时，C用于购买白色、蓝色的口罩最多，1400﹣50＝1350（元）；
综上所述：C用于购买白色、蓝色的口罩最多一共花费1350元，
故答案为：1350．
【点评】本题考查二元二次方程的实际应用，能够理解题意，根据题意列出方程，根据所给的取值范围，求解不定方程是解题的关键．
三、解答题：（本大题共9小题，共96分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
19．（16分）计算：
（1）2+﹣；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行除法运算；
（4）先进行二次根式的乘法运算，再分母有理化和去绝对值，然后合并即可．
【解答】解；（1）原式＝4+3﹣4
＝3；
（2）原式＝﹣2××
＝﹣×
＝﹣；
（3）原式＝（6+14﹣20）÷2
＝0÷2
＝0；
（4）原式＝﹣（3+2）+﹣1
＝2﹣3﹣2+﹣1
＝﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
20．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可；
（3）利用积的乘方得到原式＝[（2+）×（2﹣）]2022×（2﹣），然后利用平方差公式计算；
（4）先变形得到原式＝[+（﹣1）][﹣（﹣1）]，然后利用平方差公式和完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4+﹣2
＝；
（2）原式＝×2a×
＝8a2；
（3）原式＝[（2+）×（2﹣）]2022×（2﹣）
＝（4﹣5）2022×（2﹣）
＝2﹣；
（4）原式＝[+（﹣1）][﹣（﹣1）]
＝（）2﹣（﹣1）2
＝3﹣（2﹣2+1）
＝2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
21．（8分）解方程：
（1）3（x+1）2﹣108＝0
（2）（2x+3）3﹣54＝0．
【分析】（1）直接利用平方根的定义求出方程的根；
（2）直接利用立方根的定义求出方程的根．
【解答】解：（1）3（x+1）2﹣108＝0
（x+1）2＝36，
故x+1＝6或x+1＝﹣6，
解得：x1＝5，x2＝﹣7；

（2）（2x+3）3﹣54＝0．
解：（2x+3）3＝54，
（2x+3）3＝216，
2x+3＝6，
则2x＝3，
解得：x＝．
【点评】此题主要考查了平方根以及立方根的定义，正确开平方、开立方是解题关键．
22．（8分）先化简，再求值：，其中a．b满足．
【分析】先计算括号内的式子，再算括号外面的除法，然后根据可以得到a、b的值，再代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：
＝[﹣]•
＝（）•
＝•
＝，
∵．
∴a﹣＝0，b+1＝0，
解得a＝，b＝﹣1，
当a＝，b＝﹣1时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
23．（8分）如图CD∥OB，且CD与射线OA交于点C．
（1）尺规作图：作∠AOB的角平分线OE，与CD交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中的条件下，若∠AOB＝60°，OC＝4，求△COF的面积．

【分析】（1）利用基本作图作∠AOB的平分线即可；
（2）过F点作FH⊥OA于H点，如图，利用OF平分∠AOB得到∠AOF＝∠BOF＝30°，再根据平行线的性质得到∠ACD＝∠AOB＝60°，∠BOF＝∠CFO＝30°，则可证明∠CFO＝∠AOF，从而得到CF＝CO＝4，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出FH，然后根据三角形的面积公式求解．
【解答】解；（1）如图，OE为所作；

（2）过F点作FH⊥OA于H点，如图，
∵OF平分∠AOB，
∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝×60°＝30°，
∵CD∥OB，
∴∠ACD＝∠AOB＝60°，∠BOF＝∠CFO＝30°，
∴∠CFO＝∠AOF，
∴CF＝CO＝4，
在Rt△CFH中，∵∠HCF＝60°，
∴CH＝CF＝2，
∴FH＝CH＝2，
∴△COF的面积＝×4×2＝4．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
24．（10分）为了迎接即将到来的元旦节，某班计划为全班同学每人准备一份精美的零食礼盒，去商店了解后发现有A，B两种类型的零食礼盒可供选择，因为想品尝到更多的品种，班级两种都订．若购买A种礼盒花费1600元，购买B种礼盒花费960元，且购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍．已知购买一个B种礼盒比购买一个A种礼盒多花8元．
（1）购买一个A种礼盒和一个B种礼盒各需多少元？
（2）该班的学生总人数有50人，购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍．设购买的A种礼盒有m个，总费用为w元，请问共有哪几种购买的方案？哪种方案的总费用最少，最少为多少元？
【分析】（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合购买A种礼盒的数量是B种礼盒的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出购买一个A种礼盒所需费用，再将其代入（x+8）中，即可求出购买一个B种礼盒所需费用；
（2）根据“购买A种礼盒的数量要求不低于B种礼盒的数量的两倍，且不超过B种礼盒的数量的三倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出各购买方案，再求出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一个A种礼盒需x元，则购买一个B种礼盒需（x+8）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：购买一个A种礼盒需40元，一个B种礼盒需48元．
（2）依题意得：，
解得：≤m≤，
又∵m为正整数，
∴m可以为34，35，36，37，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买34个A种礼盒，16个B种礼盒；
方案2：购买35个A种礼盒，15个B种礼盒；
方案3：购买36个A种礼盒，14个B种礼盒；
方案4：购买37个A种礼盒，13个B种礼盒．
选择方案1所需费用为40×34+48×16＝2128（元），
选择方案2所需费用为40×35+48×15＝2120（元），
选择方案3所需费用为40×36+48×14＝2112（元），
选择方案4所需费用为40×37+48×13＝2104（元）．
∵2128＞2120＞2112＞2104，
∴方案4的总费用最少，最少为2104元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．（10分）在△ABC中，AB＝AC，E是BC中点，G、H分别为射线BA、AC上一点，且满足∠GEH+∠BAC＝180°．
（1）如图1，若∠B＝45°，且G、H分别在线段BA、AC上，CH＝2，求线段AG的长度；
（2）如图2，连接AE并延长至点D，使DE＝AE，过点E作EF⊥BD于点F，当点G在线段BA的延长线上，点H在AC延长线上时，求证：2BF+CH＝BG．

【分析】（1）连接AE，可证△ABC是等腰直角三角形，进一步可得AE＝CE，∠C＝∠EAG＝45°，根据已知条件，可得∠CEH＝∠AEG，即可证明△CEH≌△AEG（ASA），从而求出AG；
（2）作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ，可知EI是线段BJ的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质易证△ECH≌△EJG（AAS），可得CH＝GJ，再证明△BFE≌△BIE（AAS），可得BF＝BI，即可得证．
【解答】（1）解：连接AE，如图所示：

∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵E为BC的中点，
∴AE＝CE，AE⊥BC，∠CAE＝∠BAE＝45°，
∴∠C＝∠BAE，
∵∠CAB+∠GEH＝180°，
∴∠GEH＝∠AEC＝90°，
∴∠CEH＝∠AEG，
在△CEH和△AEG中，

∴△CEH≌△AEG（ASA），
∴AG＝CH＝2；
（2）证明：作EI⊥AB于I，在BG上截取IJ＝BI，连接EJ，如图所示：

则EI是线段BJ的垂直平分线，
∴EJ＝BE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴EJ＝EC，
∵∠GEH+∠BAC＝180°，∠GAH+∠BAC＝180°，
∴∠GEH＝∠GAH，
∴∠JGE＝∠CHE，
∵EJ＝EB，AB＝AC，
∴∠EJB＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠EJG＝∠ECH，
∴△ECH≌△EJG（AAS），
∴CH＝JG，
∵AC＝AB，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，又DE＝AE，
∴BD＝AB，
∴∠ABE＝∠DBE，
∵EF⊥BD，EI⊥AB，
∴∠BIE＝∠BFE＝90°，
∵BE＝BE，
∴△BFE≌△BIE（AAS），
∴BF＝BI，
∴2BF+CH＝BG．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的性质，线段垂直平分线等，构造全等三角形是解题的关键．
26．（10分）对任意一个三位正整数n，如果n满足百位上的数字小于十位上的数字，且百位上的数字与十位上的数字之和等于个位上的数字，那么称这个数n为“望岳数”．“望岳数”n的各个数位上的数字之和的算术平方根的结果记为P（n）．例如：n＝134，满足1＜3，且1+3＝4，所以134是“望岳数”，P（134）＝；例如：n＝237，满足2＜3，但是2+3≠7，所以237不是“望岳数”；再如：n＝415，满足4+1＝5，但是4＞1，所以415不是“望岳数”．
（1）判断347和157是不是“望岳数”，并说明理由；
（2）若t是“望岳数”，且t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，求满足条件的“望岳数”t以及P（t）的最大值．
【分析】（1）根据“望岳数”的定义即可判断；
（2）将t表示出来，设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为a+b，t＝101a+11b，根据t的3倍与t中十位数字的4倍的和能被11整除，写出符合条件的数值，然后求出P（t）的最大值．
【解答】解：（1）347，
∵3＜4，且3+4＝7，
∴347是“望岳数”，
157，
∵1＜5，但1+5≠7，
∴157不是“望岳数”；
（2）设t的百位数字为a，十位数字为b，则个位数字为a+b，
则t＝100a+10b+a+b＝101a+11b，
t的3倍与t中十位数字的4倍的和为：
3（101a+11b）+4b＝303a+37b，
由题可知，a＜b，且a+b≤9，a，b均为正整数，
①当a＝1时，
∵303a+37b能被11整除，
∴b＝4，
此时t＝145，P（t）＝，
②当a＝2时，
没有b值使303a+37b能被11整除，
③当a＝3时，
没有b值使303a+37b能被11整除，
④当a＝4时，
∵303a+37b能被11整除，
∴b＝5，
此时t＝459，P（t）＝，
综上，满足条件的“望岳数”t有145，459，P（t）的最大值为．
【点评】本题是一道新定义题目，解决本题的关键是能够根据定义列出关系式，进而求解．
27．（10分）已知△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M是CE的中点．

（1）如图1，若点F与A重合，D在B，A延长线上时，直接写出BM，BD的数量关系　BD＝BM　．
（2）如图2，若点F与A重合，且点C，E，D在同一直线上，连接BE，当AB＝AE＝2，求BD的长．
（3）如图3，若等腰Rt△DEF的斜边EF在射线AC上运动时，AB＝2，DE＝，求BE+BD的最小值．
【分析】（1）连接AM，则CM＝AM，可证明△BCM≌△BAM，可得∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，则结论得证；
（2）连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，在Rt△ACD中，取AC中点P，连接DP，可证△ADP是等边三角形，得出∠ACD＝30°，进而得出△ABE是等边三角形，△BAD≌△BED，再运用勾股定理知识即可求得结论；
（3）作点B关于射线AC的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG＝DE，连接BG，EM，DG，先证明四边形ABCM是正方形，再证明四边形DEMG是平行四边形，根据BE+BD＝DG+BD，当且仅当B，D，G在同一条直线上时，DG+BD最小，即BE+BD最小，再运用勾股定理求得答案．
【解答】解：（1）BD＝BM；
如图1，连接AM，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴∠BAC＝∠EAD＝45°，
∴∠CAE＝90°，
∵M为CE中点．
∴CM＝AM，
∵BM＝BM，BC＝BA，
∴△BCM≌△BAM（SSS），
∴∠CBM＝∠MBA＝45°，
同理可得∠MDA＝45°，
∴∠BMD＝90°，
∴BD2＝BM2+DM2＝2BM2，
∴BD＝BM；
故答案为：BD＝BM；
（2）如图2，连接BD，过点C作CG⊥BD于点G，
∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝AE＝2，
∴BC＝AB＝2，AD＝DE＝AE×＝2×＝，
AC＝AB＝×2＝2，
在Rt△ACD中，取AC中点P，连接DP，
∴DP＝AP＝＝AD，
∴△ADP是等边三角形，
∴∠CAD＝60°
∴∠ACD＝30°，
∵∠AED＝∠ACD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠AED﹣∠ACD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝45°+15°＝60°，
∵AB＝AE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，
∵AD＝DE，BD＝BD，
∴△BAD≌△BED（SSS），
∴∠ABD＝∠EBD＝30°，∠ADB＝∠EDB＝45°，
∴∠CBD＝60°，∠BCG＝30°，
∵∠BGC＝∠CGD＝90°，
∴BG＝BC＝，CG＝＝＝3，
∴DG＝CG＝3，
∴BD＝BG+DG＝+3；
（3）如图，作点B关于射线AC的对称点M，连接CM并延长至点G，使MG＝DE，
连接BG，EM，DG，
∵AB＝AC＝2，∠ABC＝90°，点B与点M关于C对称，
∴四边形ABCM是正方形，EM＝BE，
∴∠BCM＝90°，BC＝CM＝AB＝2，∠ACM＝45°，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE＝，∠EDF＝90°，
∴∠DEF＝45°＝∠ACM，
∴DE∥CG，DE＝MG，
∴四边形DEMG是平行四边形，
∴DG∥EM，DG＝EM，
∴DG＝BE，
∴BE+BD＝DG+BD，当且仅当B，D，G在同一条直线上时，DG+BD最小，即BE+BD最小，
此时，BE+BD＝BG＝＝＝，
∴BE+BD的最小值为．



【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正方形判定和性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等，此题综合性比较强，培养了学生分析问题和解决问题的能力．