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湖北省武汉市东湖高新区2022-2023学年九年级上学期 期中数学试卷(含答案)
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这是一份湖北省武汉市东湖高新区2022-2023学年九年级上学期 期中数学试卷(含答案)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
3．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1
5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
6．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
8．已知点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，点A在点B左侧，c＞2，则下列选项正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
9．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝3，则△OFC的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△ADE，DE交AC于点F，则∠AFD＝ °．
13．若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
15．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为 ．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向上，且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③若点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，当t＞0时y1＜y2④若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0没有实数根，则b2﹣4ac＜4a；其中正确结论的是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，若点E是BC边上任意一点，将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，点E的对应点为点D，连接DE，求证：∠ABC＝∠DBA．
19．如图，在长为52m，宽为46m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1840m2，则道路的宽应为多少？
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，
（1）如图①，若∠CAD与∠CAB互余，求证：AC＝BC；
（2）如图②，若AB＝AE，∠EAB＝30°，BC＝2，试求直径AD的长．
21．已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
（1）在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
（2）在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（3）在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
22．武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝26﹣x，第一年除50万元外其他成本为9元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元/件？
（3）第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件．若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？
23．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A旋转，得到△AED．
（1）如图①，当∠BAC＝∠CAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；
（2）将△ADE绕点A由图①的位置开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点F．
①△ADE旋转至如图②，用等式表示∠AFD与∠BAD的数量关系，并证明你的结论；
②△ADE旋转至如图③，在①的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC＝2，＝，直接写出DH的长 ．
24．如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：3x2﹣2＝4x，
3x2﹣4x﹣2＝0，
所以二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的项和单项式的系数，一元二次方程的一般形式等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找多项式的项的系数时，带着前面的符号．
3．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据圆周角定理即可求解．
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB＝80°，
∴∠C＝＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
4．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1
【分析】把3移到方程右侧，然后把方程两边加上4，再把方程左边写成完全平方形式即可．
解：x2+4x＝﹣3，
x2+4x+4＝1，
（x+2）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
【分析】由平移的规律即可求得答案．
解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2+3，
将y＝x2+3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x+1）2+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
6．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可．
解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为m，n，
∴m+n＝3，mn＝1，
∴﹣m﹣n﹣mn＝﹣（m+n）﹣mn＝﹣3﹣1＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．
解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠EDC＝60°，
∴∠CAD＝∠EDC＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∴AB∥CD．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．
8．已知点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，点A在点B左侧，c＞2，则下列选项正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，当c＞0时，a、b、c的大小关系．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而增减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，
∵点A在点B左侧，
∴B在对称轴右侧，a＜b，
∵c＞2，
∴C也在对称轴右侧，
∵﹣2＞﹣7，当x＞1时，y随x的增大而增减小，
∴b＜c，
∴a＜b＜c，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝3，则△OFC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，OD，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，根据旋转的性质得到OA＝OD，OC＝OF，求得△AOD是等边三角形，OD⊥EF，得到AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OA，OD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，
∴∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，
∴OA＝OD，OC＝OF，
∴△AOD是等边三角形，OD⊥EF，
∴AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，
∴AC＝2AO＝6，
∴CD＝3，
∴OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO＝30°，
∴∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
∴∠OFC＝60°，OF＝CF，
∴DF垂直平分OC，
∴∠DFO＝30°，
∴DH＝OD＝，DF＝2OD＝6，
∴FH＝，
∴OC＝＝3，
∴△OFC的面积＝OC•FH＝×3×＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质．含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△ADE，DE交AC于点F，则∠AFD＝ 45 °．
【分析】由∠B＝90°，∠C＝30°，得∠BAC＝60°，根据将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AEF，可知∠BAE＝15°，∠E＝∠B＝90°，从而∠EAD＝∠BAC﹣∠BAE＝45°，于是得到结论．
【解答】证明：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AEF，
∴∠BAE＝15°，∠E＝∠B＝90°，
∴∠EAD＝∠BAC﹣∠BAE＝45°，
∴∠AFD＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查直角三角形的的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
13．若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，
∴圆O的半径为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
15．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为 ﹣1 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+2022，再用m表示m3得到m3＝2031m﹣6060，然后利用整体代入的方法计算m3+4m2﹣2019m﹣2023的值．
解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣3m+2022，
∴m3＝m（﹣3m+2022）＝﹣3m2+2022m＝﹣3（﹣3m+2022）+2022m＝2031m﹣6066，
∴m3+4m2﹣2019m﹣2023＝2031m﹣6066+4（﹣3m+2022）﹣2019m﹣2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向上，且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③若点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，当t＞0时y1＜y2④若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0没有实数根，则b2﹣4ac＜4a；其中正确结论的是 ①②③ ．
【分析】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），
∴﹣＜0，c＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，故②正确；
∵过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），
∴﹣＜﹣＜0，
∵点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，t＞0，
∴P1（t﹣1，y1）到对称轴的距离小于点P2（t+1，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③正确；
若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a，
∴b2﹣4ac＞4a，故④错误，
故选：①②③．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y＞0，下方的点对应的y＜0．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．
【分析】移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．
解：移项得，x2﹣5x＝﹣1，
配方得，x2﹣5x+（）2＝﹣1+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，若点E是BC边上任意一点，将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，点E的对应点为点D，连接DE，求证：∠ABC＝∠DBA．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由旋转的性质可得∠ACB＝∠ABD，即可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，
∴∠ACB＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBA．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．如图，在长为52m，宽为46m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1840m2，则道路的宽应为多少？
【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解：设路宽应为x米，根据等量关系列方程得：
（52﹣2x）（46﹣2x）＝1840，
解得：x＝3或46，
46不合题意，舍去，
所以x＝3，
答：道路的宽应为3米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，
（1）如图①，若∠CAD与∠CAB互余，求证：AC＝BC；
（2）如图②，若AB＝AE，∠EAB＝30°，BC＝2，试求直径AD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，根据题意得到∠CAB＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）作⊙O的直径CF，连接BF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AEB＝∠ABE＝75°，进而求出∠FCB＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∵∠CAD+∠CAB＝90°，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴AC＝BC；
（2）解：作⊙O的直径CF，连接BF，
则∠CBF＝90°，
∵AB＝AE，∠EAB＝30°，
∴∠AEB＝∠ABE＝75°，
∴∠ABF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠AOF＝2∠ABF＝30°，
∴∠FCB＝75°﹣30°＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴直径AD的长为2．
【点评】本题考查的是三角形的我就要与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
21．已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
（1）在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
（2）在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（3）在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接FO，延长FO交AD于点E，连接CE即可；
（2）作直线BD即可；
（3）连接BD交AC于点O，连接AF交BD于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点K，连接KO，延长KO交CD于点H，点H即为所求．
解：（1）如图①中，点O，线段CE即为所求；
（2）如图②中，直线BD即为所求；
（3）如图③中，点H即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，正方形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝26﹣x，第一年除50万元外其他成本为9元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元/件？
（3）第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件．若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可求出该产品第一年的售价；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题．
解：（1）根据题意得：w＝（x﹣9）（26﹣x）﹣50＝﹣x2+35x﹣284；
（2）①∵该产品第一年利润为10万元，
∴10＝﹣x2+35x﹣284，
解得：x1＝14，x2＝21（舍去），
答：该产品第一年的售价是14元/件．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过15万件，
∴，
解得11≤x≤14，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（26﹣x）﹣10＝﹣x2+32x﹣166，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝16，又11≤x≤14，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（26﹣11）﹣10＝65（万元），
答：第二年的利润至少为65万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．
23．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A旋转，得到△AED．
（1）如图①，当∠BAC＝∠CAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；
（2）将△ADE绕点A由图①的位置开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点F．
①△ADE旋转至如图②，用等式表示∠AFD与∠BAD的数量关系，并证明你的结论；
②△ADE旋转至如图③，在①的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC＝2，＝，直接写出DH的长 ．
【分析】（1）根据菱形的判定方法证明即可；
（2）①结论：∠AFD+∠BAD＝180°．利用三角形内角和定理证明即可；
②连接AH，CD，过点A作AJ⊥DE于点J，AK⊥BH于点K，设AE交BH于点O．首先证明∠BAE＝∠DAC＝90°，再利用相似三角形的性质求出CH，利用勾股定理求出DH即可．
解：（1）如图①中，四边形ABCE是菱形．
理由：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AE∥CB，
∵AE＝BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）①如图②中，结论：∠AFD+∠BAD＝180°．
理由：由旋转变换的性质可知△ADE≌△ACB．
∴∠D＝∠EAD＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠AFD+∠D+∠FAD＝180°，
∴∠AFD+∠BAC+∠FAD＝180°，
∴∠AFD+∠BAD＝180°；
②连接AH，CD，过点A作AJ⊥DE于点J，AK⊥BH于点K，设AE交BH于点O．
∵AE＝DE，DE＝EF，
∴AE＝DE＝EF，
∴∠FAD＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠F＝∠EAF，
∵∠F+∠BAD＝180°，
∴∠EAF+∠BAD＝180°，
∴∠EAF+∠EAD+∠BAE＝180°，
∴∠FAD+∠BAE＝180°，
∴∠EAB＝∠FAD＝90°，
∵∠ABO＝∠OEH，∠AOB＝∠EOH，
∴∠BAO＝∠OHE＝90°，
∴∠FHC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FHC∽△FAD，
∴＝，
∵AC＝AD＝2，∠CAD＝90°，
∴CD＝2，
∵＝，AB＝DE＝EF，
∴＝，
∴CH＝，
∴DH＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为x＝2．可得a＝﹣，把A（﹣1，0）代入抛物线即可解决问题；
（2）根据对称轴为x＝2．A（﹣1，0），可得B（5，0）求出直线BC解析式为y＝﹣x+，由第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，可得AF∥BC，然后求出直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组即可解决问题；
（3）设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，然后分三种情况讨论解答即可．
解：（1）∵对称轴为x＝2．
∴a＝﹣，
∵A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c，
解得：c＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）∵对称轴为x＝2．A（﹣1，0），
∴B（5，0），
∵直线BC过C（0，），B（5，0）点，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+，
∵在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，
∴AF∥BC，
设直线AF的解析式为y＝﹣x+﹣k，
把A（﹣1，0）代入得k＝，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得，（舍去），
∴点F的坐标为（6，﹣）；
（3）如图，设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，
∵点P是x轴上一点，
∴设P（m，0），
∵点B与点Q关于点P成中心对称，
∴BP＝QP＝5﹣m，
∴点Q坐标为（2m﹣3，0），
∴OQ＝QP+OP＝5﹣2m，
∴QT＝OQ+OT＝7﹣2m，
∴QM＝OQ﹣OM＝5﹣2m﹣（2﹣2m）＝3，
∵点E与点H关于点P成中心对称，顶点E（2，4），
∴H坐标为（2m﹣2，﹣4），N坐标为（2，﹣4），
根据勾股定理得：
QE2＝QT2+ET2＝4m2﹣28m+65，
HE2＝EN2+HN2＝4m2﹣16m+80，
QH2＝42+32＝25，
①当∠HQE＝90°时，QE2+QH2＝HE2，解得m＝，
∴P点坐标为（，0）．
②当∠QHE＝90°时，HE2+QH2＝QE2，解得m＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，0）．
③∵QH＝QP＝5，
∴∠QHP＝∠QPH＞∠QEH，
∴∠QEH≠90°，
综上所得，当P点坐标为（，0）或（﹣，0）时，以点Q，H，E为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，对称的性质，掌握二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
2022-2023学年湖北省武汉市东湖高新区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
3．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1
5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
6．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
8．已知点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，点A在点B左侧，c＞2，则下列选项正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
9．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝3，则△OFC的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： ．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△ADE，DE交AC于点F，则∠AFD＝ °．
13．若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
15．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为 ．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向上，且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③若点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，当t＞0时y1＜y2④若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0没有实数根，则b2﹣4ac＜4a；其中正确结论的是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，若点E是BC边上任意一点，将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，点E的对应点为点D，连接DE，求证：∠ABC＝∠DBA．
19．如图，在长为52m，宽为46m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1840m2，则道路的宽应为多少？
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，
（1）如图①，若∠CAD与∠CAB互余，求证：AC＝BC；
（2）如图②，若AB＝AE，∠EAB＝30°，BC＝2，试求直径AD的长．
21．已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
（1）在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
（2）在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（3）在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
22．武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝26﹣x，第一年除50万元外其他成本为9元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元/件？
（3）第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件．若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？
23．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A旋转，得到△AED．
（1）如图①，当∠BAC＝∠CAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；
（2）将△ADE绕点A由图①的位置开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点F．
①△ADE旋转至如图②，用等式表示∠AFD与∠BAD的数量关系，并证明你的结论；
②△ADE旋转至如图③，在①的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC＝2，＝，直接写出DH的长 ．
24．如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．一元二次方程3x2﹣2＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，4 B．3，0 C．3，﹣4 D．3，﹣2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
解：3x2﹣2＝4x，
3x2﹣4x﹣2＝0，
所以二次项系数和一次项系数分别是3，﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的项和单项式的系数，一元二次方程的一般形式等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找多项式的项的系数时，带着前面的符号．
3．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，若∠AOB＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据圆周角定理即可求解．
解：∵OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上，∠AOB＝80°，
∴∠C＝＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键．
4．用配方法解方程x2+4x+3＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+2）2＝1 B．（ x+2）2＝3 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝1
【分析】把3移到方程右侧，然后把方程两边加上4，再把方程左边写成完全平方形式即可．
解：x2+4x＝﹣3，
x2+4x+4＝1，
（x+2）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
5．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣1）2+3 D．y＝（x+1）2+3
【分析】由平移的规律即可求得答案．
解：将抛物线y＝x2向上平移3个单位，则函数解析式变为y＝x2+3，
将y＝x2+3向左平移1个单位，则函数解析式变为y＝（x+1）2+3，
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
6．已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别为m，n，则﹣m﹣n﹣mn的值是（ ）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣4
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系进行计算即可．
解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为m，n，
∴m+n＝3，mn＝1，
∴﹣m﹣n﹣mn＝﹣（m+n）﹣mn＝﹣3﹣1＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系式是解题关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°；将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则下列结论一定正确的是（ ）
A．CB＝CD B．DE+DC＝BC C．AB∥CD D．∠ABC＝∠ADC
【分析】由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，则可得出结论．
解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠EDC＝60°，
∴∠CAD＝∠EDC＝60°，
∴∠BAD＝60°，
∴AB∥CD．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握旋转的性质及等腰三角形的性质．
8．已知点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，点A在点B左侧，c＞2，则下列选项正确的是（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，当c＞0时，a、b、c的大小关系．
解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，当x＞1时，y随x的增大而增减小，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵点A（a，﹣2），B（b，﹣2），C（c，﹣7）都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2上，
∵点A在点B左侧，
∴B在对称轴右侧，a＜b，
∵c＞2，
∴C也在对称轴右侧，
∵﹣2＞﹣7，当x＞1时，y随x的增大而增减小，
∴b＜c，
∴a＜b＜c，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【分析】设共有x支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了45场”列一元二次方程，求解即可．
解：设共有x支队伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得x＝10或x＝﹣9（舍），
∴共有10支队伍参加比赛．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，当点D，E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD＝3，则△OFC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接OA，OD，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，根据旋转的性质得到OA＝OD，OC＝OF，求得△AOD是等边三角形，OD⊥EF，得到AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接OA，OD，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，O为BC的中点，
∴∠AOC＝90°，∠OAC＝BAC＝60°，∠B＝∠ACB＝30°，
∵将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，
∴OA＝OD，OC＝OF，
∴△AOD是等边三角形，OD⊥EF，
∴AO＝OD＝AD＝3，∠DOF＝90°，
∴AC＝2AO＝6，
∴CD＝3，
∴OD＝CD，
∴∠DOC＝∠DCO＝30°，
∴∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
∴∠OFC＝60°，OF＝CF，
∴DF垂直平分OC，
∴∠DFO＝30°，
∴DH＝OD＝，DF＝2OD＝6，
∴FH＝，
∴OC＝＝3，
∴△OFC的面积＝OC•FH＝×3×＝，
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质．含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是： （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标是（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△ADE，DE交AC于点F，则∠AFD＝ 45 °．
【分析】由∠B＝90°，∠C＝30°，得∠BAC＝60°，根据将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AEF，可知∠BAE＝15°，∠E＝∠B＝90°，从而∠EAD＝∠BAC﹣∠BAE＝45°，于是得到结论．
【解答】证明：∵∠B＝90°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到△AEF，
∴∠BAE＝15°，∠E＝∠B＝90°，
∴∠EAD＝∠BAC﹣∠BAE＝45°，
∴∠AFD＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查直角三角形的的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
13．若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝3，AC＝6，则⊙O的半径为 ．
【分析】根据圆周角定理及推论解答即可．
解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠CAB，
∴＝，
∴AD＝BC＝3，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝3，
∴圆O的半径为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及推论，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
15．已知m为方程x2+3x﹣2022＝0的根，那么m3+4m2﹣2019m﹣2023的值为 ﹣1 ．
【分析】先根据一元二次方程解的定义得到m2＝﹣3m+2022，再用m表示m3得到m3＝2031m﹣6060，然后利用整体代入的方法计算m3+4m2﹣2019m﹣2023的值．
解：∵m为方程x2+3x﹣2022＝0的一个根，
∴m2+3m﹣2022＝0，
∴m2＝﹣3m+2022，
∴m3＝m（﹣3m+2022）＝﹣3m2+2022m＝﹣3（﹣3m+2022）+2022m＝2031m﹣6066，
∴m3+4m2﹣2019m﹣2023＝2031m﹣6066+4（﹣3m+2022）﹣2019m﹣2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握整体代入的方法是解题关键．
16．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向上，且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③若点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，当t＞0时y1＜y2④若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0没有实数根，则b2﹣4ac＜4a；其中正确结论的是 ①②③ ．
【分析】根据题意得出x＝﹣2时函数值的符号和x＝1时函数的值，以及顶点的纵坐标即可得出答案．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），
∴﹣＜0，c＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
根据题意得a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
当x＝﹣2时，有4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2（﹣a﹣c）+c＜0，
∴2a+c＜0，故②正确；
∵过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），
∴﹣＜﹣＜0，
∵点P1（t﹣1，y1），P2（t+1，y2）都在抛物线上，t＞0，
∴P1（t﹣1，y1）到对称轴的距离小于点P2（t+1，y2）到对称轴的距离，
∴y1＜y2，故③正确；
若方程a（x﹣m）（x﹣1）+1＝0有两个不相等的实数根，
即a（x﹣m）（x﹣1）＝1有两个不相等的实数根，
∴顶点的纵坐标＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a，
∴b2﹣4ac＞4a，故④错误，
故选：①②③．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在理解系数对图象的影响，a决定抛物线的开口方向和大小，b联同a决定对称轴的位置，c决定图象与y轴的交点位置，还有x轴上方的点对应的y＞0，下方的点对应的y＜0．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．解方程：x2﹣5x+1＝0（配方法）．
【分析】移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可．
解：移项得，x2﹣5x＝﹣1，
配方得，x2﹣5x+（）2＝﹣1+，即（x﹣）2＝，
∴x﹣＝±，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，若点E是BC边上任意一点，将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，点E的对应点为点D，连接DE，求证：∠ABC＝∠DBA．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由旋转的性质可得∠ACB＝∠ABD，即可求解．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵将△AEC绕点A逆时针旋转得到△ADB，
∴∠ACB＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBA．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
19．如图，在长为52m，宽为46m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1840m2，则道路的宽应为多少？
【分析】要求路宽，就要设路宽应为x米，根据题意可知：矩形地面﹣所修路面积＝草坪面积，利用平移更简单，依此列出等量关系解方程即可．
解：设路宽应为x米，根据等量关系列方程得：
（52﹣2x）（46﹣2x）＝1840，
解得：x＝3或46，
46不合题意，舍去，
所以x＝3，
答：道路的宽应为3米．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，
（1）如图①，若∠CAD与∠CAB互余，求证：AC＝BC；
（2）如图②，若AB＝AE，∠EAB＝30°，BC＝2，试求直径AD的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，根据题意得到∠CAB＝∠ABC，根据等腰三角形的判定定理证明结论；
（2）作⊙O的直径CF，连接BF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AEB＝∠ABE＝75°，进而求出∠FCB＝45°，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ABC+∠CBD＝90°，
∵∠CAD+∠CAB＝90°，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴AC＝BC；
（2）解：作⊙O的直径CF，连接BF，
则∠CBF＝90°，
∵AB＝AE，∠EAB＝30°，
∴∠AEB＝∠ABE＝75°，
∴∠ABF＝90°﹣75°＝15°，
∴∠AOF＝2∠ABF＝30°，
∴∠FCB＝75°﹣30°＝45°，
∴CF＝BC＝2，
∴直径AD的长为2．
【点评】本题考查的是三角形的我就要与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．
21．已知正方形ABCD，点F是CB的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹），
（1）在图①中，画出正方形ABCD的中心O；将线段AF绕正方形ABCD中心旋转180°；
（2）在图②中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；
（3）在图③中，点F为正方形ABCD边BC上任意一点，作F关于AC的对称点H．
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接FO，延长FO交AD于点E，连接CE即可；
（2）作直线BD即可；
（3）连接BD交AC于点O，连接AF交BD于点J，连接CJ，延长CJ交AB于点K，连接KO，延长KO交CD于点H，点H即为所求．
解：（1）如图①中，点O，线段CE即为所求；
（2）如图②中，直线BD即为所求；
（3）如图③中，点H即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，正方形的性质，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．武汉市东湖高新区某企业投入50万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按订单生产并销售（生产量等于销售量），经测算，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝26﹣x，第一年除50万元外其他成本为9元/件．
（1）求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
（2）企业为实现该产品第一年利润为10万元的目标，且让更多消费者获得实惠，那么该产品第一年的售价定为多少元/件？
（3）第二年该企业为扩大生产，将第一年利润全部作为技改资金再次投入（只计入第一年成本）后，其他成本下降了3元/件．若第二年售价不高于第一年，销售量不超过15万件，则第二年利润最少是多少万元？
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量﹣投资成本，列出式子即可；
（2）构建方程即可求出该产品第一年的售价；
（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数性质即可解决问题．
解：（1）根据题意得：w＝（x﹣9）（26﹣x）﹣50＝﹣x2+35x﹣284；
（2）①∵该产品第一年利润为10万元，
∴10＝﹣x2+35x﹣284，
解得：x1＝14，x2＝21（舍去），
答：该产品第一年的售价是14元/件．
②∵第二年产品售价不超过第一年的售价，销售量不超过15万件，
∴，
解得11≤x≤14，
设第二年利润是w'万元，
w'＝（x﹣6）（26﹣x）﹣10＝﹣x2+32x﹣166，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝16，又11≤x≤14，
∴x＝11时，w'有最小值，最小值为（11﹣6）×（26﹣11）﹣10＝65（万元），
答：第二年的利润至少为65万元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或函数解决问题．
23．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A旋转，得到△AED．
（1）如图①，当∠BAC＝∠CAE时，四边形ABCE是什么四边形？并说明理由；
（2）将△ADE绕点A由图①的位置开始顺时针旋转，AC的延长线交直线DE于点F．
①△ADE旋转至如图②，用等式表示∠AFD与∠BAD的数量关系，并证明你的结论；
②△ADE旋转至如图③，在①的结论下，BC的延长线交DE于点H，E为DF的中点，且AC＝2，＝，直接写出DH的长 ．
【分析】（1）根据菱形的判定方法证明即可；
（2）①结论：∠AFD+∠BAD＝180°．利用三角形内角和定理证明即可；
②连接AH，CD，过点A作AJ⊥DE于点J，AK⊥BH于点K，设AE交BH于点O．首先证明∠BAE＝∠DAC＝90°，再利用相似三角形的性质求出CH，利用勾股定理求出DH即可．
解：（1）如图①中，四边形ABCE是菱形．
理由：∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BCA，
∴AE∥CB，
∵AE＝BC，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）①如图②中，结论：∠AFD+∠BAD＝180°．
理由：由旋转变换的性质可知△ADE≌△ACB．
∴∠D＝∠EAD＝∠BAC＝∠BCA，
∵∠AFD+∠D+∠FAD＝180°，
∴∠AFD+∠BAC+∠FAD＝180°，
∴∠AFD+∠BAD＝180°；
②连接AH，CD，过点A作AJ⊥DE于点J，AK⊥BH于点K，设AE交BH于点O．
∵AE＝DE，DE＝EF，
∴AE＝DE＝EF，
∴∠FAD＝90°，
∵EA＝EF，
∴∠F＝∠EAF，
∵∠F+∠BAD＝180°，
∴∠EAF+∠BAD＝180°，
∴∠EAF+∠EAD+∠BAE＝180°，
∴∠FAD+∠BAE＝180°，
∴∠EAB＝∠FAD＝90°，
∵∠ABO＝∠OEH，∠AOB＝∠EOH，
∴∠BAO＝∠OHE＝90°，
∴∠FHC＝∠FAD，
∵∠F＝∠F，
∴△FHC∽△FAD，
∴＝，
∵AC＝AD＝2，∠CAD＝90°，
∴CD＝2，
∵＝，AB＝DE＝EF，
∴＝，
∴CH＝，
∴DH＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
24．如图①，抛物线y＝ax2+x+c，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为（﹣1，0），对称轴为x＝2．
（1）求此抛物线解析式；
（2）在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，求点F的坐标；
（3）如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标．
【分析】（1）根据对称轴为x＝2．可得a＝﹣，把A（﹣1，0）代入抛物线即可解决问题；
（2）根据对称轴为x＝2．A（﹣1，0），可得B（5，0）求出直线BC解析式为y＝﹣x+，由第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，可得AF∥BC，然后求出直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组即可解决问题；
（3）设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，然后分三种情况讨论解答即可．
解：（1）∵对称轴为x＝2．
∴a＝﹣，
∵A（﹣1，0），
把A（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+x+c，
解得：c＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+；
（2）∵对称轴为x＝2．A（﹣1，0），
∴B（5，0），
∵直线BC过C（0，），B（5，0）点，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+，
∵在第四象限的抛物线上找一点F，使S△FBC＝S△ACB，
∴AF∥BC，
设直线AF的解析式为y＝﹣x+﹣k，
把A（﹣1，0）代入得k＝，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，
联立方程组得，
解得，（舍去），
∴点F的坐标为（6，﹣）；
（3）如图，设对称轴交x轴于点T，作HM⊥x轴于M，作HN⊥对称轴于N，
∵点P是x轴上一点，
∴设P（m，0），
∵点B与点Q关于点P成中心对称，
∴BP＝QP＝5﹣m，
∴点Q坐标为（2m﹣3，0），
∴OQ＝QP+OP＝5﹣2m，
∴QT＝OQ+OT＝7﹣2m，
∴QM＝OQ﹣OM＝5﹣2m﹣（2﹣2m）＝3，
∵点E与点H关于点P成中心对称，顶点E（2，4），
∴H坐标为（2m﹣2，﹣4），N坐标为（2，﹣4），
根据勾股定理得：
QE2＝QT2+ET2＝4m2﹣28m+65，
HE2＝EN2+HN2＝4m2﹣16m+80，
QH2＝42+32＝25，
①当∠HQE＝90°时，QE2+QH2＝HE2，解得m＝，
∴P点坐标为（，0）．
②当∠QHE＝90°时，HE2+QH2＝QE2，解得m＝﹣，
∴P点坐标为（﹣，0）．
③∵QH＝QP＝5，
∴∠QHP＝∠QPH＞∠QEH，
∴∠QEH≠90°，
综上所得，当P点坐标为（，0）或（﹣，0）时，以点Q，H，E为顶点的三角形是直角三角形．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，对称的性质，掌握二次函数的性质，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键．
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