河南省安阳市北关区第七中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份河南省安阳市北关区第七中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了△ABC中，AB＝4，AC＝3等内容，欢迎下载使用。

河南省安阳七中2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试卷（解析版）
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
2．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD等于（　　）

A．75° B．57° C．55° D．77°
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC等于（　　）

A．10 B．20 C．15 D．25
4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
5．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
6．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．

A．① B．② C．③ D．①和②
7．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，则图中全等的三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
8．△ABC中，AB＝4，AC＝3．若E为BC的中点，且AE＝x，x的取值范围为（　　）
A．3＜x＜4 B．1＜x＜7 C．0.5＜x＜3.5 D．1≤x≤7
9．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝50°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
10．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，∠BAC＝84°，则∠BDC＝（　　）

A．84° B．96° C．100° D．不能确定
二.填空题（每小题分3分，共21分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠ADE＝　 　°．

12．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，则它的周长为　 　cm．
13．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向 　 　平移 　 　个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
14．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD＝　 　度．

15．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则＝　 　，∠C的度数为　 　．

16．如图，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，将CD绕D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD＝3，BC＝5，则△ADE的面积是 　 　．

17．如图△ABO的边OB在x轴上，∠A＝2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC＝2，OA＝3，则点B的坐标为　 　．

三、解答题(共69分，六大题)
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．

19．（10分）如图所示，点D，E在BC上，△ABD≌△ACE，求证：△ABE≌△ACD．

20．（12分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．

21．（12分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE与CD相交于O，OB等于OC吗？说明你的理由．

22．（13分）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝　 　；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．

23．（14分）如图1，在△ACB中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），在△PAQ中，AP＝AQ，AP⊥AQ，作QE⊥AB于E．
（1）若QE＝9cm，PB＝3.5cm，求BE；
（2）连接CQ交AB于M，求证：PC＝2MB；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．



参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．6
【分析】设多边形有n条边，则内角和为180°（n﹣2），再根据内角和等于外角和的3倍可得方程180°（n﹣2）＝360°×3，再解方程即可．
【解答】解：设多边形有n条边，由题意得：
180°（n﹣2）＝360°×3，
解得：n＝8．
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握内角和为180°（n﹣2）．
2．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28°，∠E＝95°，∠EAB＝20°，则∠BAD等于（　　）

A．75° B．57° C．55° D．77°
【分析】先根据全等三角形的对应角相等得出∠B＝∠D＝28°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE＝57°，然后根据∠BAD＝∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝28°，
又∵∠D+∠E+∠DAE＝180°，∠E＝95°，
∴∠DAE＝180°﹣28°﹣95°＝57°，
∵∠EAB＝20°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝77°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，比较简单．由全等三角形的对应角相等得出∠B＝∠D＝28°是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝3：2，点D到AB的距离为6，则BC等于（　　）

A．10 B．20 C．15 D．25
【分析】先根据角平分线的性质得出CD的长，再由BD：DC＝3：2求出BD的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，
∴CD＝6．
∵BD：DC＝3：2，
∴BD＝CD＝×6＝9，
∴BC＝6+9＝15．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
【分析】根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证即可．
【解答】解：A、∠M＝∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、AB＝CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、根据条件AM＝CN，MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D、AM∥CN，得出∠MAB＝∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
5．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是（　　）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】先根据平行线的性质得∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，再加上公共边，则可利用“ASA”判断△ABC≌△CDA．
【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，∠DAC＝∠BCA，
而AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（　　）去．

A．① B．② C．③ D．①和②
【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
7．如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，则图中全等的三角形有（　　）

A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
【分析】先用ASA可得，△ABE≌△ACD，再用AAS可得△DOB≌△EOC，由SAS得△AOB≌△AOC，△AOD≌△AOE．
【解答】解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴∠ADC＝∠AEB，AB＝AC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，
即BD＝CE，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OC＝OB，
在△AOB和△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴∠BAO＝∠CAO，
在△AOD和△AOE中，
，
∴△AOD≌△AOE（SAS），
即全等三角形有4对，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8．△ABC中，AB＝4，AC＝3．若E为BC的中点，且AE＝x，x的取值范围为（　　）
A．3＜x＜4 B．1＜x＜7 C．0.5＜x＜3.5 D．1≤x≤7
【分析】连接AE并延长到点F，使AE＝EF，连接CF，可证△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，在△ACF中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围．
【解答】解：连接AE并延长到点F，使AE＝EF，连接CF，

在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（SAS），
∴AB＝CF＝4，
∵△ACF中，CF﹣AC＜AF＜AC+CF，
∴4﹣3＜2AE＜3+4，
∴1＜2AE＜7，
∴0.5＜AE＜3.5，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．
9．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（　　）
A．AB＝2，BC＝3，AC＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝50°
C．∠A＝50°，∠B＝60°，AB＝4 D．∠C＝90°，AB＝6
【分析】只有符合全等三角形的判定的条件所画的三角形才是唯一的，则根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：A．因为AB+BC＜AC，所以不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意；
C．符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的一个三角形，故本选项符合题意；
D．AB是直角边或AB为斜边两种情况，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
10．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，∠BAC＝84°，则∠BDC＝（　　）

A．84° B．96° C．100° D．不能确定
【分析】首先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案；
【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝84°，
∴∠BDC＝∠EDF＝96°，
故选：B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
二.填空题（每小题分3分，共21分）
11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠ADE＝　40　°．

【分析】根据三角形内角和定理可得∠B＝65°，再由折叠可得∠CED的度数，再根据三角形外角的性质可得∠EDA的度数．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，
∴∠EDA＝65°﹣25°＝40°，
故答案为：40．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，关键是掌握三角形内角和是180°．
12．已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，则它的周长为　29　cm．
【分析】由已知条件结合三角形任意两边之和大于第三边，判断第三边的值为12cm，从而求出它的周长．
【解答】解：∵等腰三角形的一边长为5cm，另一边长12cm，
又三角形任意两边之和大于第三边，
∴这个等腰三角形的第三边的长为12cm．
∴这个等腰三角形的周长为：5+12+12＝29（cm）．
故答案为：29cm．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质的应用以及三角形的三边关系定理．依据定理得出第三边的值是解题的关键．
13．已知A（﹣1，﹣2）和B（1，3），将点A向 　上　平移 　5　个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
【分析】熟悉：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．
【解答】解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点B关于y轴对称的点为（﹣1，3），
又点A（﹣1，﹣2），所以将点A向上平移5个单位长度后得到的点（﹣1，3）．
【点评】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
平移时坐标变化规律：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减．
14．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是高，AE是角平分线，则∠EAD＝　10　度．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝×60°＝30°，
∵AD是高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝40°﹣30°＝10°
故答案为：10．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则＝　　，∠C的度数为　30°　．

【分析】根据全等三角形的性质和三角形内角和，可以求得的值和∠C的度数．
【解答】解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，
∴AB＝EB＝EC，∠ABD＝∠EBD＝∠ECD，∠BED＝∠CED＝∠A，
∴＝＝＝，
∵∠BED+∠CED＝180°，
∴∠BED＝∠CED＝90°，
∴∠A＝90°，
∴∠ABD+∠EBD+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝30°，
故答案为：，30°．
【点评】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．如图，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，将CD绕D逆时针旋转90°至DE，连接AE，若AD＝3，BC＝5，则△ADE的面积是 　3　．

【分析】由旋转可得△DHC≌△DFE，可求得EF，可求得△ADE的面积．
【解答】解：如图，过D作DH⊥BC于点H，过E作EF⊥AD交AD的延长线于F，
则HC＝BC﹣BH＝BC﹣AD＝5﹣3＝2，
∵旋转，
∴△DHC≌△DFE，
∴EF＝HC＝2，且∠EFA＝∠DHC＝90°，
∴S△ADE＝AD•EF＝×3×2＝3，
故答案为：3．

【点评】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转图形是全等图形是解题的关键．
17．如图△ABO的边OB在x轴上，∠A＝2∠ABO，OC平分∠AOB，若AC＝2，OA＝3，则点B的坐标为　（5，0）　．

【分析】在OB上截取OE＝OA＝3，由“SAS”可证△AOC≌△EOC，可得AC＝CE＝2，∠A＝∠OEC，由∠A＝2∠ABO，可得∠ABO＝∠ECB，可得BE＝CE＝2，即可求点B坐标．
【解答】解：如图，在OB上截取OE＝OA＝3，

∵OC平分∠AOB
∴∠AOC＝∠BOC，且AO＝OE＝3，OC＝OC
∴△AOC≌△EOC（SAS）
∴AC＝CE＝2，∠A＝∠OEC
∵∠A＝2∠ABO
∴∠OEC＝2∠ABO＝∠ABO+∠ECB
∴∠ABO＝∠ECB
∴BE＝CE＝2
∴OB＝OE+BE＝5
∴点B坐标为（5，0）
故答案为：（5，0）
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题(共69分，六大题)
18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC的周长分为6与15两部分，求三角形各边长．

【分析】根据三角形的中线定义可得AD＝CD＝AC，从而可得AD＝CD＝AB，然后分两种情况：当时，当时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵DB为△ABC的中线，
∴AD＝CD＝AC，
∵AB＝AC，
∴AD＝CD＝AB，
分两种情况：
当时，
解得：，
∵4+4＝8＜13，
∴不能组成三角形；
当时，
解得：，
∴三角形各边长分别为10，10，1．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
19．（10分）如图所示，点D，E在BC上，△ABD≌△ACE，求证：△ABE≌△ACD．

【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，可证BE＝CD，根据SAS即可判定三角形的全等．
【解答】证明∵△ABD≌△ACE，
∴AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝EC，
∴BE＝CD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
20．（12分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是18cm2，AC＝8cm，DE＝2cm，求AB的长．

【分析】先依据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，然后再依据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列方程求解即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝2cm
∴DF＝DE＝2，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF，
∴×2AB+×8×2＝18，解得：AB＝10cm．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，利用面积法列出关于x的方程是解题的关键．
21．（12分）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BE与CD相交于O，OB等于OC吗？说明你的理由．

【分析】结论：OB＝OC．只要证明∠OBC＝∠OCB即可；
【解答】证明：结论：OB＝OC．
理由：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴∠ABE＝∠ACD
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22．（13分）在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝　120°　；
②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．

【分析】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；
②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；
（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝∠BAC＝×30°＝15°，∠FCA＝∠ACB＝×90°＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
故答案为：120°．
②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B），
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B，
∵∠B＝60°，
∴∠AFC＝90°+×60°＝120°；

（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴FG＝FH＝FM，
∵∠EFH+∠DFH＝120°，
∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，
∴∠EFH＝∠DFG，
在△EFH和△DFG中，，
∴△EFH≌△DFG（AAS），
∴EF＝DF．

【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
23．（14分）如图1，在△ACB中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），在△PAQ中，AP＝AQ，AP⊥AQ，作QE⊥AB于E．
（1）若QE＝9cm，PB＝3.5cm，求BE；
（2）连接CQ交AB于M，求证：PC＝2MB；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．


【分析】（1）由“AAS”可证△PAB≌△AQE，可得QE＝AB＝9cm，PB＝AE＝3.5cm，即可求解；
（2）由“AAS”可证△QEM≌△CBM，可得ME＝MB，可得结论；
（3）由“ASA”可证△AQH≌△APD，可得AH＝AD，QH＝PD，由“SAS”可证△AHF≌△ADF，可得HF＝DF，即可求解．
【解答】（1）解：∵AP⊥AQ，QE⊥AB，
∴∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，
∴∠QAE＝∠APB，
在△PAB和△AQE中，
，
∴△PAB≌△AQE（AAS）；
∴QE＝AB＝9cm，PB＝AE＝3.5cm，
∴BE＝AB﹣AE＝5.5cm；
（2）证明：∵AE＝PB，AB＝CB，QE＝AB，
∴QE＝CB，BE＝PC，
在△QEM和△CBM中，
，
∴△QEM≌△CBM（AAS），
∴ME＝MB，
∴BE＝2MB，
∴PC＝2MB；
（3）解：式子的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，
∴∠QAH＝∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
在△AQH和△APD中，
，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH＝AD，QH＝PD，
∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠HAF＝∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
∴HF＝DF，
∴＝＝＝1．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．