第12章 整式的乘除（提高卷）- 八年级数学上册拔尖题精选精练（华东师大版）

第12章 整式的乘除（提高卷）

一、单选题

1．下列计算正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

2．下列关于2300+（﹣2）301的计算结果正确的是（　　）

A．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2300﹣2×2300＝﹣2300

B．2300+（﹣2）301＝2300﹣2301＝2﹣1

C．2300+（﹣2）301＝（﹣2）300+（﹣2）301＝（﹣2）601

D．2300+（﹣2）301＝2300+2301＝2601

【答案】A

3．x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为（　　）

A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8

【答案】D

4．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　）

A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y

【答案】D

5．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（    ）

A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a

【答案】B

6．聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

7．比较与的大小：因为，，而，所以，即．据此可知、、的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

8．若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（　　）

A．205 B．250 C．502 D．520

【答案】D

9．已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是(      )

①当＝5时，方程组的解是；   

②当，的值互为相反数时，＝20；

③当＝16时，＝18；           

④不存在一个实数使得＝．

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③

【答案】C

10．中，为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

二、填空题

11．若，则__________，__________，__________．

【答案】1    -1    -12   

12．长方形的面积为，长为，则它的周长为______________．

【答案】8a﹣6b+2

13．若a＝x＋20，b＝x＋19，c＝x＋21，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝___________．

【答案】3

14．已知，，则的值为___________．

【答案】

15．已知ax＝3，ay＝4，则：（1）ax﹣y的值为 ______，（2）a2x+y的值为_____．

【答案】    36   

16．若3x＝5，3y＝4，9z＝2，则32x+y﹣4z的值为_____．

【答案】25

17．如图所示，在边长为的正方形中央剪去一个边长为 小正方形（），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该图形的面积为______________．

【答案】3a2+4a﹣4

18．如图1，若在边长为a的正方形硬纸板的四角各剪掉一个矩形（图1中阴影部分，其中有两个小正方形），将剩余部分按图中的线条折成一个有盖的长方体盒子（图2）．若剪掉的一个小正方形的边长为b，此时长方体盒子表面积是 _____．

【解】根据题意，长方体的长＝a﹣2b，宽＝，高＝b，

∴长方体的表面积＝2（a﹣2b）•+2（a﹣2b）•b+2•b

＝a2﹣4ab+4b2+2ab﹣4b2+ab﹣2b2

＝a2﹣ab﹣2b2．

故答案为：a2﹣ab﹣2b2．

19．（1）填空：

（a﹣b）（a+b）＝　　，（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　　，（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　　．

（2）猜想：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　　．（其中，n为正整数，且n≥2）

解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；

（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；

故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；

（2）由（1）的规律可得：

（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn（其中n为正整数，且n≥2）．

故答案为：an﹣bn．

20．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项，（__________）．

解：（a-b）4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4．

故答案为：-4ab3．

三、解答题

21．计算

（1）（3x﹣y）2•（3x+y）2；

（2）（2a+b﹣3）（b﹣2a+3）．

【解】（1）原式＝[（3x﹣y）（3x+y）]2

＝（9x2﹣y2）2

＝81x4﹣18x2y2+y4．

（2）原式＝[b+（2a﹣3）][b﹣（2a﹣3）]

＝b2﹣（2a﹣3）2

＝b2﹣4a2+12a﹣9．

22．因式分解：

（1）-2x3+ 2x ；                             （2）2x2y2-2xy-24．

解：（1）原式=2x()=2x(1+x)(1x)；

 （2）原式=2(x2y2xy12)= 2（xy+3）(xy4)；

23．在△ABC中，A，B，C为三边长，则化简下式（a+b）2﹣|a2+b2﹣c2﹣2ab|．

解：∵在△ABC中，a，b，c为三边长，假设，

∴，

∴即，

∴

．

24．先化简，再求值：，其中，．

【解】原式，

，

，

把，代入上式得：

原式；

25．已知，，求代数式的值．

解： ，，

26．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式      ．

（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值．

（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值．

解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：，

故答案为：；

（2）∵，

∴，

∴；

（3）由题可知，所拼图形的面积为：，

∵＝，

∴，

∴．

27．阅读材料题：

我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．

例如，求x2+6x+3的最小值问题．

解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，

又∵（x+3）2≥0，

∴（x+3）2﹣6≥﹣6，

∴x2+6x+3的最小值为﹣6．

请应用上述思想方法，解决下列问题：

（1）探究：x2﹣4x+5＝（x　　）2+　　；

（2）代数式﹣x2﹣2x有最 　　（填“大”或“小”）值为 　　；

（3）应用：比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小：

（4）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是40m，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？

解：（1）x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1，

故答案为：-2，1；

（2）∵-x2-2x=-（x2+2x）=-（x2+2x+1-1）=-（x+1）2+1，

又∵（x+1）2≥0，

∴-（x+1）2≤0，

∴-（x+1）2+1≤1，

∴-x2-2x的最大值为1，

故答案为：大，1；

（3）x2-1-（2x-3）=x2-1-2x+3=x2-2x+2=（x-1）2+1，

∵（x-1）2≥0，

∴（x-1）2+1≥1＞0，

∴x2-1＞2x-3；

（4）设矩形花圃的宽为x m，则长为（40-2x）m，

∴矩形的面积S=（40-2x）x=-2x2+40x=-2（x2-20x）=-2（x-10）2+200，

∵（x-10）2≥0，

∴-（x-10）2≤0，

∴-（x-10）2+200≤200，

∴当x=10时，S有最大值200（m2），此时，40-2x=20（m），

∴当花圃的宽为10m，长为20m时花圃面积最大，最大面积为200m2．

28．阅读理解：我们一起来探究代数式x2+2x+5的值，

探究一：当x＝1时，x2+2x+5的值为　 　；当x＝2时，x2+2x+5的值为　 　，可见，代数式的值因x的取值不同而变化．

探究二：把代数式x2+2x+5进行变形，如：x2+2x+5＝x2+2x+l+4＝（x+1）2+4，可以看出代数式x2+2x+的最小值为　 　，这时相应的x＝　 　．

根据上述探究，请解答：

（1）求代数式﹣x2﹣8x+17的最大值，并写出相应x的值．

（2）把（1）中代数式记为A，代数式9y2+12y+37记为B，是否存在，x，y的值，使得A与B的值相等？若能，请求出此时x•y的值，若不能，请说明理由．

解：探究一：

当x=1时，x2+2x+5=12+2+5=8；

若x=2，x2+2x+5=22+2×2+5=13；

故答案为：8，13；

探究二：

x2+2x+5=（x2+2x+1）+4=（x+1）2+4，

∵（x+1）2是非负数，

∴这个代数式x2+2x+5的最小值是4，此时x=-1．

故答案为：4，-1；

（1）∵-x2-8x+17=-（x+4）2+33，

∴当x=-4时，代数式-x2-8x+17有最大值是33；

（2）∵A=-x2-8x+17，B=9y2+12y+37，

当A=B时，则B-A=0，

∴（9y2+12y+37）-（-x2-8x+17）=0，

9y2+12y+4+x2+8x+16=0，

（3y+2）2+（x+4）2=0，

∴3y+2=0，x+4=0，

∴x=-4，y=，

∴x•y=-4×（）=．