专题七 复合函数的零点问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

这是一份专题七 复合函数的零点问题-最新高考数学之函数的零点问题专项突破（全国通用）

专题七 复合函数的零点问题一、确定复合函数零点的个数或方程解的个数【例题选讲】[例1]　(1)奇函数f(x)，偶函数g(x)的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f(g(x))，g(f(x))的零点个数分别为m，n，则m＋n＝(　　)A．3　　　　　　　　B．7　　　　　　　　C．10　　　　　　　　D．14答案　C　解析　由题中函数图象知f(±1)＝0，f(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))＝0，g(0)＝0，g(±2)＝1，g(±1)＝－1，所以f(g(±2))＝f(1)＝0，f(g(±1))＝f(－1)＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3,2)))))＝f(0)＝0，f(g(0))＝f(0)＝0，所以f(g(x))有7个零点，即m＝7．又g(f(0))＝g(0)＝0，g(f(±1))＝g(0)＝0，所以g(f(x))有3个零点，即n＝3．所以m＋n＝10，选择C．(2)关于x的方程(x2－1)2－3|x2－1|＋2＝0的不相同实根的个数是(　　)A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．8答案　C　解析　可将|x2－1|视为一个整体，即t＝|x2－1|，则方程变为t2－3t＋2＝0可解得，t＝1或t＝2，则只需作出t(x)＝|x2－1|的图像，然后统计与t＝1与t＝2的交点总数即可，共有5个．(3)已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lg x|，x>0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________．答案　5　解析　由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出函数y＝f(x)的图象．由图象知y＝eq \f(1,2)与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个．(4)已知定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，02，))则关于x的方程6f2(x)－f(x)－1＝0的实数根个数为(　　)A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．答案　B　解析　已知方程6f2(x)－f(x)－1＝0可解，得f1(x)＝eq \f(1,2)，f2(x)＝－eq \f(1,3)，只需统计y＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,3)与y＝f(x)的交点个数即可．由奇函数可先做出x>0的图像，x>2时，f(x)＝eq \f(1,2)f(x－2)，则x∈(2，4]的图像只需将x∈(0，2]的图像纵坐标缩为一半即可．正半轴图像完成后可再利用奇函数的性质作出负半轴图像．通过数形结合可得共有7个交点．在作图的过程中，注意确定分段函数的边界点属于哪一段区间．(5)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(　　)A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6答案　A　解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b由极值点可得，x1，x2为3x2＋2ax＋b＝0①的两根，观察到方程①与3f2(x)＋2af(x)＋b＝0结构完全相同，所以可得3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的两根为f1(x)＝x1，f2(x)＝x2，其中f1(x)＝x1，若x1 x1＝f1(x)，所以y＝f1(x)与f(x)有两个交点，而f2(x)与f(x)有一个交点，共计3个； 　　　　若x1>x2，可判断出x1是极小值点，x2是极大值点．且f2(x)＝x20时，有4个零点；当a<0时，有1个零点B．当a>0时，有3个零点；当a<0时，有2个零点C．无论a为何值，均有2个零点D．无论a为何值，均有4个零点6．已知[x]表示不超过x的最大整数，当x∈R时，称y＝[x]为取整函数，例如[1.6]＝1，[－3.3]＝－4，若f(x)＝[x]，g(x)的图象关于y轴对称，且当x≤0时，g(x)＝－x2－2x，则方程f(f(x))＝g(x)解的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．47．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3f2(x)＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数是(　　)A．3　　　　　　　　B．4　　　　　　　　C．5　　　　　　　　D．6二、已知函数零点的个数，求参数的取值范围【例题选讲】[例2](1)已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1((x－eq \f(1,2))2＋1，x＞0，,－(x＋3)2＋1，x≤0，))，则方程g[f(x)]－a＝0（a为正实数）的实数根最多有______个．答案　6　解析　先通过分析t＝f(x)，y＝g(t)的性质以便于作图，f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，从而f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单增，在(0，2)单减，且f(0)＝1，f(2)＝－3，y＝g(t)为分段函数，作出每段图像即可，如图所示，若要实数根最多，则要优先选取t＝f(x)能对应x较多的情况，由t＝f(x)图像可得，当t∈(－3，1)时，每个t可对应3个x．只需判断g(t)＝a中，t能在(－3，1)取得的值的个数即可，观察y＝g(t)图像可得，当a∈(1，eq \f(5,4))时，可以有2个t∈(－3，1)，从而能够找到6个根，即最多的根的个数．(2)已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|，若方程[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0恰有七个不相同的实根，则实数b的取值范围是(　　)A．(－2，0)　　　　　　B．(－2，－1)　　　　　　C．(0，1)　　　　　　D．(0，2) 答案　B　解析　考虑通过图像变换作出t＝f(x)的图像（如图），因为[f(x)]2＋bf(x)＋c＝0最多只能解出2个f(x)，若要出七个根，则t1＝1，t2∈(0，1)，所以－b＝t1＋t2∈(1，2)，解得b∈(－2，－1)．(3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x3－6x＋4，x≥0，))若关于x的函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　)A．(2，8)　　　　　　B．[2，eq \f(17,4))　　　　　　C．(2，eq \f(17,4)]　　　　　　D．(2，8]分析　本题应先求方程t2－bt＋1＝0的根，设为t1，t2，再根据t1＝f(x)，t2＝f(x)的解的个数确定函数y＝f2(x)－bf(x)＋1的零点个数．已知函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，先确定两个实数t的范围，再转化为一元二次方程t2－bt＋1＝0根的分布问题来解决．答案　C　解析　因为函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|lg－x|，x<0，,x3－6x＋4＝x－2x2＋2x－2，x≥0，))作出f(x)的简图，如图所示．由图象可得，f(x)在(0，4]上任意取一个值，都有四个不同的x值与之对应．再结合题中函数y＝f2(x)－bf(x)＋1有8个不同的零点，可得关于t的方程t2－bt＋1＝0有两个不同的实数根t1，t2，且00，,0<\f(b,2)<4，,0－b×0＋1>0，,42－4b＋1≥0，))解得20，另外t＝0时的函数值为正，t＝4时的函数值非负．当涉及二次方程根的分布问题时，一般结合图象从判别式、对称轴位置以及特殊点函数值的符号来讨论．(4)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a·2x，x≤0，,log\s\do9(\f(1,2))x，x>0.))若关于x的方程f(f(x))＝0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是________．答案　(－∞，0)∪(0，1)　解析　若a＝0，当x≤0时，f(x)＝0，故f(f(x))＝f(0)＝0有无数解，不符合题意，故a≠0.显然当x≤0时，a·2x≠0，故f(x)＝0的根为1，从而f(f(x))＝0有唯一根，即为f(x)＝1有唯一根，而x>0时，f(x)＝1有唯一根eq \f(1,2)，故a·2x＝1在(－∞，0]上无根．当a·2x＝1在(－∞，0]上有根时，可得a＝eq \f(1,2x)≥1，故由a·2x＝1在(－∞，0]上无根可知a<0或0 0，,g(eq \f(1,e))<0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－1> 0，,eq \f(1,e2)－eq \f(m,e)＋m－1<0，))，解得m∈(1，1＋eq \f(1,e))．本题是作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。[题后悟通]　已知复合函数零点的个数，求参数的取值范围的问题：关于已知复合函数y＝f(g(x))零点的个数，求参数的取值范围的问题，先换元解套，令t＝g(x)，则y＝f(t)，再作出y＝f(t)与t＝g(x)的图像．由零点个数结合t＝g(x)与y＝f(t)的图象特点，从而确定t的取值范围，进而决定参数的范围．即“从内到外”．此法称为双图象法(换元法＋数形结合)．【对点训练】1．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))若关于x的方程f2(x)－af(x)＋1＝0有且只有3个不同的根，则实数a的值为(　　)A．－2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．32．已知函数f(x)＝|x＋eq \f(1,x)|－|x－eq \f(1,x)|，关于的方程f2(x)＋a|f(x)|＋b＝0(a，b∈R)恰有6个不同实数解，则a的取值范围是__________．3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx＋3，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x＜0，))若方程f(f(x))－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围是(　　)A．[0，＋∞)　　　　　B．[1，3]　　　　　C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))　　　　　D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3|x－1|，x＞0，,－x2－2x＋1，x≤0，))若关于x的方程[f(x)]2＋(a－1)f(x)－a＝0有7个不等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)A．[1，2]　　　　　　B．(1，2)　　　　　　C．(－2，－1)　　　　　　D．[－2，－1]5．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(eln x,x)，x>0，,－2 019x，x≤0))(其中e为自然对数的底数)，函数g(x)＝f2(x)－(2m－1)f(x)＋2，若函数g(x)恰有4个零点，则实数m的取值范围是(　　)A．m>2　　　　B．m≥2　　　　C．m>eq \f(1,2)＋eq \r(2)　　　　D．m<eq \f(1,2)－eq \r(2)或m>eq \f(1,2)＋eq \r(2)