2023衡水中学高三上学期一调考试（一模）数学含解析

河北省衡水中学2023届上学期高三年级一调考试

数  学

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，总分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题  共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则

A．   B．   C．   D．(1，3)

2．若，，，则的大小关系为

A．   B．   C．   D．

3．设，则使成立的一个充分不必要条件是

A．   B． C．   D．

4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得，由此可知的近似值为

A．-1.519          B．-1.726            C．-1.609            D．-1.316

5．已知关于的函数图象如图所示，则实数满足的关系式可以是

A．      B．

C．       D．

6．已知函数是定义在R上的单调函数．若对任意，都有，则

A．9            B．15           C．17         D．33

7．已知函数的最大值为，最小值为，则

A．3                   B．4

C．6                   D．与值有关

8．已知正实数满足，则的最小值为

A．1              B．2                C．4             D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知集合为全集，集合均为的子集．若，，，则

A．      B．

C．      D．

10．已知定义域为的偶函数在区间上单调递增，且，使，则下列函数中符合上述条件的是

A．      B．

C．      D．

11．记的三边长分别为，且，则下列结论正确的是

A．      B．

C．      D．

12．某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限、劳累程度劳动动机相关，并建立了数学模型 已知甲、乙为该公司的员工，下列结论正确的是

A．若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长、劳累程度弱，则甲比乙工作效率高

B．若甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长、劳动动机高，则甲比乙工作效率低

C．若甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高、工作年限短，则甲比乙劳累程度弱

D．若甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高、劳动动机低，则甲比乙劳累程度强

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

三、填空题：本题共4小题．每小题5分，共20分。

13．若命题“”是假命题，则实数的最大值为      ．

14．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：， 已知，则函数的值域为        ．

15．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数，且当时，，则=       .

16．已知函数 若函数有三个零点，则实数的取值范围是      .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．

18．（12分）

已知函数

(1)判断的奇偶性，并说明理由；

(2)若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

19．（12分）

设为正实数，且. 证明：

(1)；

(2)

20．（12分）

已知函数

(1)已知的图象存在对称中心的充要条件是的图象关于原点中心对称，证明：的图象存在对称中心，并求出该对称中心的坐标；

(2)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值．

21．（12分）

经过市场调研发现，某企业生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（单位：百件）与时间第天的关系如下表所示：

未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（单位：元）与时间第天的函数关系式为，且，而后15天此商品每天每件的利润（单位：元）与时间第天的函数关系式为，且

(1)现给出以下两类函数模型：①为常数）；②为常数，，且）．分析表格中的数据，请说明应选择哪类函数模型，并求出该函数模型的解析式；

(2)若这30天内该企业此商品的日销售利润均未能超过40 000元，则考虑转型．请判断该企业是否需要考虑转型，并说明理由．

22．（12分）

已知函数

(1)当，且时，求的取值范围；

(2)是否存在正实数，使得函数在区间上的取值范围是？若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由.

数学参考答案

一、选择题

1．B 【解析】由题意得集合，，所以

2．A 【解析】因为，，，所以

3．B 【解析】对于，故A不符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，不一定能推出，故C不符合题意；对于D，，若，则，故D不符合题意．

4．C 【解析】因为，所以，所以，所以

5．A 【解析】对于A，由，得，所以，即，所以．将函数的图象向右平移1个单位长度得到题中所给图象，故A正确；对于B，取，则由，得，与题中图象不符，故B错误；由，得，其图象是将函数的图象向右平移1个单位长度得到的，如图：

与题中所给的图象不符，故C错误；由，得，该函数为偶函数，图象关于轴对称，显然与题中图象不符，故D错误．

6．C 【解析】因为是R上的单调函数，所以存在唯一的，使 由方程，得，则，所以 设，则在R上是增函数，且3，所以，所以，故

7．C 【解析】由题意可知，令，则的定义域为，，所以为奇函数，所以，故

8．B 【解析】因为，所以．令，，易知在区间上单调递增，故，即．又，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为2．

二、选择题

9．AD 【解析】如图所示：

由图可得，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D正确．

10．AC 【解析】对于A，的定义域为R，，所以为偶函数．又在区间上单调递增，故A符合；对于B，恒成立，故B不符合；对于C，的定义域为，所以为偶函数．又，在区间上单调递增，故C符合；对于D，因为的定义域为，所以为奇函数，故D不符合.

11．ABC 【解析】对于A，，在中，，，则成立，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，当时，满足，但，故D错误．

12．AC 【解析】设甲与乙的工作效率分别为，工作年限分别为，劳累程度分别为，劳动动机分别为，对于A，，，，所以，则

，所以，即甲比乙工作效率高，故A正确；对于B，，

，，所以，所以，则，所以，即甲比乙工作效率高，故B错误；对于C，，，，又，所以，所以，所以，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；对于D，，，，则，又，所以，所以1，所以，即甲比乙劳累程度弱，故D错误.

三、填空题

13． 【解析】由题知命题的否定“”是真命题．令，则解得，故实数的最大值为

14． 【解析】令，，即，故的值域为

15．1 【解析】因为是定义在R上的奇函数，所以．又为偶函数，所以，则，故是以4为周期的函数，故

16． 【解析】令，则 因为 有三个零点，所以有两个实数根，其中有两个实数根，有且仅有一个实数根.

①当时，的大致图象如图：

令，得 由，得，由图可知直线与曲线有两个交点．由，得，此时要使直线与曲线有且仅有一个交点，则解得所以；

②当时，的大致图象如图. 只有一个实数根，没有三个实数根；

③当时，的大致图象如图：

令，得， 由，得，由图可知直线与曲线有两个交点．由，得，此时要使直线与曲线有且仅有一个交点，则，解得所以

④当时，的大致图象如图．只有一个实数根，没有三个实数根.

综上，

四、解答题

17．解：(1)由，得，                                  （1分）

所以，即

解得，                                                    （3分）

所以不等式的解集为                                  （4分）

(2)由题知对任意，恒成立.

令，

当时，；                              （6分）

当时，，                             （7分）

所以的最小值为，

所以，即，                                          （9分）

所以实数的取值范围为                                   （10分）

18．解：(1)为奇函数，理由如下：

由题意得解得，即函数的定义域为（-2，2）．    （2分）

又，

故为奇函数．                                                   （4分）

(2)由，

得，

所以，

所以，

故方程有两个不同的实数根可转化为方程

在区间(-2，2)上有两个不同的实数根，

即函数与在区间（-2，2）上的图象有两个交点．  （7分）

设

则

作出函数的图象如图所示．

（9分）

当时，函数与的图象有两个交点，

即关于的方程有两个不同的实数根，

故实数的取值范围是(1，2)．                                        （12分）

19．证明：(1)

，

当且仅当时，等号成立．                                 （6分）

(2)，

，

，                            （10分）

三式相加，得，

即，

当且仅当时，等号成立．                                （12分）

20．解：(1)假设的图象存在对称中心，

则的图象关于原点中心对称．           （1分）

因为的定义域为R，所以恒成立，

即恒成立，                   （4分）

所以解得

所以的图象存在对称中心.                                  （6分）

(2)因为对任意，都存在及实数，使得，所以，即

所以，

即                                             （8分）

因为，所以

因为，所以，

所以即                                     （10分）

所以，所以

故实数的最大值为2．                                             （12分）

21．解：(1)若选择函数模型①，将(1，2)，(3，3)分别代入，

得解得 则 经验证，符合题意．        （2分）

若选择模型②，将(1，2)，(3，3)分别代入，得解得

则

当时，，故此函数模型不符合题意．             （4分）

综上，应选择函数模型①，其解析式为 （5分）

(2)该企业需要考虑转型．理由如下：

记该企业此商品的日销售利润为（单位：元），

当，且时，

，

当时，函数的图象开口向下，对称轴，故当时，取得最大值，且最大值为39 200；                                       （8分）

当，且时，

，

当时，函数单调递减，

故当时，取得最大值，且最大值为37 525，                   （11分）

所以这30天内该企业此商品的日销售利润均未能超过40 000元，该企业需要考虑转型．                                                               （12分）

22．解：(1)由题知在区间(0，1)上单调递减，在区间上单调递增，

由，且，得，         （1分）

故

令，则，函数在区间上单调递增，所以，

即的取值范围是                               （4分）

(2)存在满足条件的实数，且

①当时，在区间(0，1)上单调递减，

则 即解得

因为，故此时不存在符合条件的正实数                 （7分）

②当时，在区间上单调递增，

则 即

所以是方程的两个实数根．

所以此时存在符合条件的正实数                             （10分）

③当，时，由于，而，

故此时不存在符合条件的正实数                                  （11分）

综上，存在符合条件的正实数，且                      （12分）