2023长沙长郡中学高三上学期第三次月考数学试题含答案

英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷（三）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 记集合 ，， 则（    ）

A.  B. 或

C.  D.

2. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

3. 已知向量，点，若且，为坐标原点，则的坐标为（    ）

A.  B.

C. 或 D. 或

4. 已知平面，直线、，若，则“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 设，则（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，则（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D.

8. 已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知a，b，c为非零实数，且，则下列结论正确的有（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 如图，是一块半径为1的圆形纸板，在的左下端前去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个前掉半圆的半径）得图形，，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

12. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知i是虚数单位，如图，在复平面内，点A对应的复数为，若，则________.

14. 已知等边三角形的边长为6，点P满足，则_________．

15. 已知数列的前项和为，对任意的，且恒成立，则实数的取值范围是_______.

16. 如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：

①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；

②存在点H，使得GH⊥AE；

③三棱锥B−GHF的体积为定值；

④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．

其中正确结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－15.

（1）求等差数列{an}的通项公式；

（2）若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.

18. 在中，角所对的边分别为，其外接圆的半径为，且满足.

（1）求角；

（2）若边上的中线长为，求的面积.

19. 年月日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以的比分酣畅淋漓地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“局胜制”（即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为．

（1）如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；

（2）如果甲、乙两队约定比赛场，求两队积分相等的概率．

20. 如图，在几何体中，底面为以为斜边的等腰直角三角形.已知平面平面，平面平面平面.

（1）证明：平面；

（2）若，设为棱的中点，求当几何体的体积取最大值时与所成角的正切值.

21. 如图所示，已知椭圆与直线．点在直线上，由点引椭圆的两条切线、，、为切点，是坐标原点．

（1）若点为直线与轴的交点，求的面积；

（2）若，垂足，求证：存在定点，使得为定值.

22. 已知函数（且）的图象与x轴交于P，Q两点，且点P在点Q的左侧．

（1）求点P处的切线方程，并证明：时，．

（2）若关于x的方程（t为实数）有两个正实根，证明：．

英才大联考长郡中学2023届高三月考试卷（三）

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】C

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】D

【5题答案】

【答案】B

【6题答案】

【答案】D

【7题答案】

【答案】C

【8题答案】

【答案】D

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

【9题答案】

【答案】ABD

【10题答案】

【答案】BCD

【11题答案】

【答案】ABD

【12题答案】

【答案】AD

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】

【14题答案】

【答案】

【15题答案】

【答案】

【16题答案】

【答案】①③④

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

【17题答案】

【答案】（1）an＝－2n＋1或an＝2n－7；（2）Sn＝

【18题答案】

【答案】（1）   

（2）

【19题答案】

【答案】（1）分布列答案见解析，   

（2）

【20题答案】

【答案】（1）证明见解析   

（2）6

【21题答案】

【答案】（1）；   

（2）证明见解析.

【22题答案】

【答案】（1），证明见解析   

（2）证明见解析