初中数学人教版八年级上册14.3.2 公式法优秀教案设计

14.3.2 运用平方差公式因式分解 教学设计

一、教学目标：

1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．

2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．

二、教学重、难点：

重点：利用平方差公式分解因式.

难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.

三、教学过程：

复习回顾

填一填：

(1) (x+5)( x-5)=__________

(2) (3x+y)(3x-y)=__________

(3) (1+3a)( 1-3a)=__________

知识精讲

比一比，看谁算得快

(1) 982-22=_____
(2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____

你能说说算得快的原因吗？

把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到

运用平方差公式因式分解

a2-b2=(a+b)(a-b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

典例解析

例1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（　　）

A．        B．         C．        D．

【分析】解：A. ，故该选项不符合题意；    

B. ，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；    

C. ，故该选项不符合题意；    

D. ，故该选项不符合题意．

故选B．

辨一辨

下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？

(1) x2+y2   (     )__________________；(2) x2-y2   (     )____________________；

(3) -x2+y2  (     )__________________；(4) -x2-y2  (     )____________________.

【点睛】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: (  )2-(  )2的形式. 简单说成“两数是平方，减号在中央.”

例2.分解因式：

(1) 4x2-9           (2) (x+p)2-(x+q)2

分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；

在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2.

解：(1) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)

(2) (x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q)

【点睛】公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.

例3.分解因式：

(1) x4-y4     (2) a3b-ab 

分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.

解：(1) x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y)

(2) a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1)

【点睛】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

【针对练习】分解因式：

(1) a2-b2   (2) 9a2-4b2    (3) x2y-4y   (4) -a4+16

解：(1) a2-b2=(a+b)(a-b)

(2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)

(3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2)

(4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a)

例4.计算下列各题：

(1)1012－992；               (2)53.52×4－46.52×4.

解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；

(2)原式＝4×(53.52－46.52)

=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)

＝4×100×7=2800.

【点睛】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.

【针对练习】利用因式分解简便运算:

(1) 9982-22     (2) 1.992-2.992    (3)1.222×9-1.332×4.

解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000

(2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98

(3)原式=1.222×32-1.332×22

=(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2)

=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)

=6.32×1

=6.32

例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．

证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.

∵n为整数，

∴8n被8整除，

即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．

【点睛】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．

课堂小结

1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？

【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。

达标检测

1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）

A．a2﹣b B．a2+2b2          C．9a2﹣b2        D．﹣a2﹣b2

2．分解因式的结果为（ ）

A．         B．

C．        D．

3．已知，那么的值为（ ）

A．5          B．4    C．9         D．20

4．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）

A．        B．   C．        D．

5．因式分解：__________________．

6．分解因式：_______________．

7．若_____.

8．若，则______．

9．若a、b、c分别是三角形的3条边的长，请判断代数式的值_______0（填“大于”、“小于”或“等于”）

10．因式分解． 

(1)；                        (2)；

(3)                    (4)．

11．计算：

12．（1）观察下列式子的因式分解做法：

①                ；

②

③

......

（2）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；

（3）观察以上结果，猜想             ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）

（4）根据以上结论，试求的值．

【参考答案】

1. C
2. D
3. D
4. D
6. (7x+3y)(3x+7y)
7. -10
8. -2
9. 小于

10.（1）解：=；

（2）解：；

（3）解：

；

（4）解：.

11.解：原式＝

．

12. 解：（1）(x+1)(x-1)；

故答案为：(x+1)(x-1)；

（2）解

；

解：（3）；

（4）

．

四、教学反思：

运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征. 分析多项式的次数和项数，然后再确定公式. 如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底. 最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.