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黑龙江省鹤岗市东山区新华中学2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)
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这是一份黑龙江省鹤岗市东山区新华中学2022-2023学年九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）(解析版)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省鹤岗市东山区新华中学九年级第一学期第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
3．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
6．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
9．函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 ．
12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 ．
13．若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 ．
14．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 ．
15．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 平方单位．
16．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高 元．
17．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．
18．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为 ．
三、解答题（共60分）
20．先化简，再求值÷（x+2﹣），x2+3x﹣1＝0．
21．如图所示，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．
22．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
24．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）S△ABD＝ ．（直接写出结果）
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α（α＜90°），在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由．
探究二：当α的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
26．某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多少？
27．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 ；B点坐标是 ；
（2）直线BC的解析式是： ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，错误；
C、原方程可化为﹣7x＝0，是一元一次方程，错误；
D、方程二次项系数可能为0，错误．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
4．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
【分析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．
解：二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程．
解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】A、将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出y＝﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；
B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；
C、将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；
D、利用二次函数的增减性即可判断．
解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
又∵a＝1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∴∠A′B′C＝∠1+∠CAA′＝20°+45°＝65°，
由旋转的性质得∠B＝∠A′B′C＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：∵函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限
∴a＞0，b＞0，
∵a＞0时，抛物线开口向上，排除D；
∵a＞0，b＞0时，对称轴x＝﹣＜0，排除A、C．
故选：B．
【点评】解决此类问题时，可先根据a、b的正负画出一次函数的草图，然后再确定二次函数图象的位置．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 1 ．
【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出m的值．
解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m+2的顶点在x轴上，
∴Δ＝22﹣4×（﹣m+2）＝0，即﹣4+4m＝0，
解得m＝1．
故答案是：1．
【点评】此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：Δ＞0时，图象与x轴有两个交点；Δ＝0，图象与x轴有一个交点；Δ＜0，图象与x轴无交点．
12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 100（1﹣x）2＝64 ．
【分析】关系式为：药品原价×（1﹣降低的百分比）2＝下调后的价格，即可得出答案．
解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出：
100（1﹣x）2＝64．
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
13．若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 （1，0） ．
【分析】由抛物线对称轴可得m的值，从而可得抛物线顶点式，进而求解．
解：∵y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝﹣1，
∴y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 50° ．
【分析】已知旋转角为80°，即∠DOB＝80°，欲求∠α的度数，必须先求出∠AOB的度数，利用三角形内角和定理求解即可．
解：由旋转的性质知：∠A＝∠C＝110°，∠D＝∠B＝40°；
根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°﹣110°﹣40°＝30°；
已知旋转角∠DOB＝80°，则∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及到三角形内角和定理的运用，难度不大．
15．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 （） 平方单位．
【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．
解：设CD、B′C′相交于点M，DM＝x，
∴∠MAD＝30°，AM＝2x，
∴x2+3＝4x2，解得x＝±1（负值舍去），
∴SADMB′＝，
∴图中阴影部分面积为（3﹣）平方单位．
故答案为：（3﹣）．
【点评】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．
16．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高 6 元．
【分析】设每床每日应提高x元，每日获利为y元，则可得出y与x之间的函数关系式，根据顶点式直接解答即可．
解：设每床每日应提高x元，每日获利为y元，
则y＝（10+x）（100﹣•10）＝﹣5（x﹣5）2+1125（0≤x＜20）
∵a＝﹣5＜0，
∴函数图象知：开口向下，二次函数有最大值，
∴为了投资少而获利大，当x＝6时，每日获利y最大．
故填6元．
【点评】根据每日获利＝每床每日实际收费×实际租出床位数，建立二次函数关系式，求获利大，就要把函数关系式写成顶点式，才能得出结论．
17．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 36 秒．
【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
解：
法一：设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8＝18秒．
∴从O到C需要2×18＝36秒．
法二：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，
则由对称性可知OA＝BC，
故从B到C也花10秒，
故从O到C一共花26+10＝36（秒），
故答案是：36．
【点评】本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．
18．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4） ．
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为 ．
【分析】连接MC，M'C，先利用勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM＝AB，然后连接CM、CM′，再根据旋转的性质求出∠MCM′＝90°，CM＝CM′，再利用勾股定理列式求解即可．
解：如图，连接MC，M'C，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∵M是AB的中点，
∴CM＝AB＝，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′＝∠ACM，
∵∠ACM+∠MCB＝90°，
∴∠MCB+∠BCM′＝90°，
又∵CM＝C′M′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴MM′＝CM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算．
三、解答题（共60分）
20．先化简，再求值÷（x+2﹣），x2+3x﹣1＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：由x2+3x﹣1＝0，可得：x2+3x＝1，
＝
＝
＝，
把x2+3x＝1代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．如图所示，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．
【分析】（1）分别将A、B、C三点向下平移5个单位，得点A1、B1、C1，顺次连接这三点即可得所求作的三角形．
（2）把握好旋转的三个要点，按要求作图即可；旋转中心：点O，旋转方向：逆时针方向，旋转角度：90°．
（3）分别作A、B、C关于原的对称点A3、B3、C3，然后顺次连接这三点即可．
解：如图所示：
【点评】此题考查的是平移、旋转变换、中心对称的作图方法，熟练掌握各种几何变换的特点是解答此类问题的关键．
22．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
0
﹣5
…
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
24．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）S△ABD＝ 4 ．（直接写出结果）
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α（α＜90°），在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由．
探究二：当α的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AD⊥BC得BD＝CD，则S△ABD＝S△ABC＝4；
（2）①在△ABC中，根据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，易得∠BAD＝∠DAC＝45°，BD＝AD，再利用等角的余角相等得到∠BDP＝∠ADQ，于是可判断△BPD≌△AQD，所以S四边形APDQ＝S△APD+S△AQD＝S△APD+S△BPD＝S△ABD＝4，即可判断四边形APDQ的面积不会随旋转而变化；
②由于∠PAQ＝90°，则当DP⊥AB时，四边形APDQ为矩形，加上PA＝PD，于是可判断四边形APDQ是正方形，此时∠BDP＝45°，即α＝45°．
解：（1）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ABC＝•AC•BC＝•×4×4＝4；
故答案为4；
（2）①四边形APDQ的面积不会随旋转而变化．理由如下：
在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∴∠B＝∠DAQ＝∠BAD＝45°，BD＝AD，
又∵∠BDP+∠ADP＝90°，∠ADQ+∠ADP＝∠PDQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（ASA），
∴S四边形APDQ＝S△APD+S△AQD＝S△APD+S△BPD＝S△ABD＝4；
②α＝45°时，四边形APDQ是正方形．理由如下：
∵∠PAQ＝90°，
∴当DP⊥AB时，
而∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
∵∠PAD＝45°，
∴PA＝PD，
∴四边形APDQ是正方形，此时∠BDP＝45°，即α＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【分析】（1）BM+DN＝MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME＝MN．
（2）DN﹣BM＝MN．证明方法与（1）类似．
解：（1）BM+DN＝MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，
又∵∠NAM＝45°，
∴在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∵ME＝BE+BM＝DN+BM，
∴DN+BM＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
在线段DN上截取DQ＝BM，
在△ADQ与△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ＝∠BAM，
∴∠QAN＝∠MAN．
在△AMN和△AQN中，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN＝QN，
∴DN﹣BM＝MN．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
26．某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以求得当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品和商场获得的日盈利是多少；
（2）根据题意可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
解：（1）由题意可得，
当每件商品售价定为170元时，每天可销售的商品数为：70﹣（170﹣130）×1＝30（件），此时获得的利润为：（170﹣120）×30＝1500（元），
答：当每件商品售价定为170元时，每天可销售30件商品，此时商场获得日利润1500元；
（2）设利润为w元，销售价格为x元/件，
w＝（x﹣120）×[70﹣（x﹣130）×1]＝﹣（x﹣160）2+1600，
∴当x＝160时，w取得最大值，此时w＝1600，每件商品涨价为160﹣130＝30（元），
答：在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为30元时，商场日盈利最大，最大利润是1600元；
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
27．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 （﹣2，0） ；B点坐标是 （8，0） ；
（2）直线BC的解析式是： y＝﹣x+4 ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，
（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），PD＝﹣x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）有四种情形，利用平行四边形的性质可得点N的纵坐标的绝对值为﹣4，求出等N的坐标即可解决问题；
解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
故答案为（﹣2，0），（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
故答案为y＝﹣x+4．
（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（4）如图，
当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，
可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），
N3（3﹣，﹣4），N4（3+，﹣4），可得M3（5﹣，0），M4（5+，0），
当AC为对角线时，可得M1（﹣8，0），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程；（4）用分类讨论的思想解决问题即可；
2022-2023学年黑龙江省鹤岗市东山区新华中学九年级第一学期第一次月考数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
2．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
3．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
6．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
9．函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 ．
12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 ．
13．若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 ．
14．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 ．
15．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 平方单位．
16．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高 元．
17．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．
18．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为 ．
三、解答题（共60分）
20．先化简，再求值÷（x+2﹣），x2+3x﹣1＝0．
21．如图所示，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．
22．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
24．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）S△ABD＝ ．（直接写出结果）
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α（α＜90°），在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由．
探究二：当α的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
26．某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多少？
27．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 ；B点坐标是 ；
（2）直线BC的解析式是： ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
参考答案
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．2x2﹣y﹣1＝0
C．x2﹣x（x+7）＝0 D．ax2+bx+c＝0
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、符合一元二次方程的定义，正确；
B、方程含有两个未知数，错误；
C、原方程可化为﹣7x＝0，是一元一次方程，错误；
D、方程二次项系数可能为0，错误．
故选：A．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2．把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）
A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1
C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1
【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．
解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴y＝3（x﹣2）2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
3．下列图形中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念结合选项的图形进行判断即可．
解：A、是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项正确；
C、是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，要注意中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．
4．二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为（ ）
A．直线x＝2 B．直线x＝﹣2 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
【分析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．
解：二次函数y＝x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x＝﹣＝﹣＝﹣2．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆抛物线对称轴公式是解题关键．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10＝0时，下列变形正确的为（ ）
A．（x+3）2＝1 B．（x﹣3）2＝1 C．（x+3）2＝19 D．（x﹣3）2＝19
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断．
解：方程移项得：x2﹣6x＝10，
配方得：x2﹣6x+9＝19，即（x﹣3）2＝19，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21
C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程．
解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
7．二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A．函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3）
B．顶点坐标是（1，﹣3）
C．函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0）
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
【分析】A、将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出y＝﹣3，得出函数图象与y轴的交点坐标，即可判断；
B、将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，即可判断；
C、将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函数图象与x轴的交点坐标，即可判断；
D、利用二次函数的增减性即可判断．
解：A、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，
∴函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣3），故本选项说法正确；
B、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标是（1，﹣4），故本选项说法错误；
C、∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝3或﹣1，
∴函数图象与x轴的交点坐标是（3，0）、（﹣1，0），故本选项说法正确；
D、∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝1，
又∵a＝1＞0，开口向上，
∴x＜1时，y随x的增大而减小，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项说法正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
8．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【分析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，然后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．
解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等腰直角三角形，
∴∠CAA′＝45°，
∴∠A′B′C＝∠1+∠CAA′＝20°+45°＝65°，
由旋转的性质得∠B＝∠A′B′C＝65°．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
9．函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限，则二次函数y＝ax2+bx的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解：∵函数y＝ax+b的图象经过一、二、三象限
∴a＞0，b＞0，
∵a＞0时，抛物线开口向上，排除D；
∵a＞0，b＞0时，对称轴x＝﹣＜0，排除A、C．
故选：B．
【点评】解决此类问题时，可先根据a、b的正负画出一次函数的草图，然后再确定二次函数图象的位置．
10．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b＝0；③a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x＝1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；
③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．如果二次函数y＝x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 1 ．
【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据Δ＝0，即可求出m的值．
解：∵抛物线y＝x2+2x﹣m+2的顶点在x轴上，
∴Δ＝22﹣4×（﹣m+2）＝0，即﹣4+4m＝0，
解得m＝1．
故答案是：1．
【点评】此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：Δ＞0时，图象与x轴有两个交点；Δ＝0，图象与x轴有一个交点；Δ＜0，图象与x轴无交点．
12．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 100（1﹣x）2＝64 ．
【分析】关系式为：药品原价×（1﹣降低的百分比）2＝下调后的价格，即可得出答案．
解：设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出：
100（1﹣x）2＝64．
故答案为：100（1﹣x）2＝64．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
13．若抛物线y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，则它的顶点坐标是 （1，0） ．
【分析】由抛物线对称轴可得m的值，从而可得抛物线顶点式，进而求解．
解：∵y＝（x+m）2﹣m﹣1的对称轴是直线x＝1，
∴m＝﹣1，
∴y＝（x﹣1）2，
∴抛物线顶点坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
14．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，若∠A＝110°，∠D＝40°，则∠α的度数是 50° ．
【分析】已知旋转角为80°，即∠DOB＝80°，欲求∠α的度数，必须先求出∠AOB的度数，利用三角形内角和定理求解即可．
解：由旋转的性质知：∠A＝∠C＝110°，∠D＝∠B＝40°；
根据三角形内角和定理知：∠AOB＝180°﹣110°﹣40°＝30°；
已知旋转角∠DOB＝80°，则∠α＝∠DOB﹣∠AOB＝50°．
故答案为：50°．
【点评】此题主要考查的是旋转的性质，同时还涉及到三角形内角和定理的运用，难度不大．
15．如图，将边长为的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30°后得到正方形A′B′C′D′，则图中阴影部分面积为 （） 平方单位．
【分析】根据正边形的性质求出DM的长，再求得四边形ADMB′的面积，然后由旋转的性质求得阴影部分面积．
解：设CD、B′C′相交于点M，DM＝x，
∴∠MAD＝30°，AM＝2x，
∴x2+3＝4x2，解得x＝±1（负值舍去），
∴SADMB′＝，
∴图中阴影部分面积为（3﹣）平方单位．
故答案为：（3﹣）．
【点评】本题要把旋转的性质和正方形的性质结合求解．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，注意方程思想的运用．
16．某旅行社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高2元，则租出床位减少10张．若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张．以每提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每日应提高 6 元．
【分析】设每床每日应提高x元，每日获利为y元，则可得出y与x之间的函数关系式，根据顶点式直接解答即可．
解：设每床每日应提高x元，每日获利为y元，
则y＝（10+x）（100﹣•10）＝﹣5（x﹣5）2+1125（0≤x＜20）
∵a＝﹣5＜0，
∴函数图象知：开口向下，二次函数有最大值，
∴为了投资少而获利大，当x＝6时，每日获利y最大．
故填6元．
【点评】根据每日获利＝每床每日实际收费×实际租出床位数，建立二次函数关系式，求获利大，就要把函数关系式写成顶点式，才能得出结论．
17．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 36 秒．
【分析】10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
解：
法一：设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，
∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称．则从A到B需要16秒，则从A到D需要8秒．
∴从O到D需要10+8＝18秒．
∴从O到C需要2×18＝36秒．
法二：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，
则由对称性可知OA＝BC，
故从B到C也花10秒，
故从O到C一共花26+10＝36（秒），
故答案是：36．
【点评】本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．
18．如图，A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），C点的坐标为（5，3），D点的坐标为（3，﹣1），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是 （1，1）或（4，4） ．
【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，点M即为旋转中心．此题得解．
解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图1所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴E点的坐标为（1，1）；
②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点M，如图2所示，
∵A点的坐标为（﹣1，5），B点的坐标为（3，3），
∴M点的坐标为（4，4）．
综上所述：这个旋转中心的坐标为（1，1）或（4，4）．
故答案为：（1，1）或（4，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化中的旋转，根据给定点的坐标找出旋转中心的坐标是解题的关键．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝4，BC＝2，则线段MM′的长为 ．
【分析】连接MC，M'C，先利用勾股定理求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出CM＝AB，然后连接CM、CM′，再根据旋转的性质求出∠MCM′＝90°，CM＝CM′，再利用勾股定理列式求解即可．
解：如图，连接MC，M'C，
∵AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∵M是AB的中点，
∴CM＝AB＝，
∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，
∴∠A′CM′＝∠ACM，
∵∠ACM+∠MCB＝90°，
∴∠MCB+∠BCM′＝90°，
又∵CM＝C′M′，
∴△CMM′是等腰直角三角形，
∴MM′＝CM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理进行计算．
三、解答题（共60分）
20．先化简，再求值÷（x+2﹣），x2+3x﹣1＝0．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：由x2+3x﹣1＝0，可得：x2+3x＝1，
＝
＝
＝，
把x2+3x＝1代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．如图所示，把△ABC置于平面直角坐标系中，请你按下列要求分别画图：
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕着原点O逆时针旋转90°得到的△A2B2C2；
（3）画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3．
【分析】（1）分别将A、B、C三点向下平移5个单位，得点A1、B1、C1，顺次连接这三点即可得所求作的三角形．
（2）把握好旋转的三个要点，按要求作图即可；旋转中心：点O，旋转方向：逆时针方向，旋转角度：90°．
（3）分别作A、B、C关于原的对称点A3、B3、C3，然后顺次连接这三点即可．
解：如图所示：
【点评】此题考查的是平移、旋转变换、中心对称的作图方法，熟练掌握各种几何变换的特点是解答此类问题的关键．
22．已知二次函数y＝﹣x2+4x．
（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；
（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；
（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．
（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．
解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；
（2）列表得：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
﹣5
0
3
4
3
0
﹣5
…
描点，连线．
（3）由图象可知，
当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．
【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．
23．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）＝80，
化简，得x2﹣13x+40＝0，
解得：x1＝5，x2＝8，
当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
24．如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）S△ABD＝ 4 ．（直接写出结果）
（2）如图②，将△ABD绕点D按顺时针方向旋转得到△A′B′D，设旋转角为α（α＜90°），在旋转过程中：
探究一：四边形APDQ的面积是否随旋转而变化？说明理由．
探究二：当α的度数为多少时，四边形APDQ是正方形？说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，由AD⊥BC得BD＝CD，则S△ABD＝S△ABC＝4；
（2）①在△ABC中，根据等腰直角三角形的性质得∠B＝∠C＝45°，易得∠BAD＝∠DAC＝45°，BD＝AD，再利用等角的余角相等得到∠BDP＝∠ADQ，于是可判断△BPD≌△AQD，所以S四边形APDQ＝S△APD+S△AQD＝S△APD+S△BPD＝S△ABD＝4，即可判断四边形APDQ的面积不会随旋转而变化；
②由于∠PAQ＝90°，则当DP⊥AB时，四边形APDQ为矩形，加上PA＝PD，于是可判断四边形APDQ是正方形，此时∠BDP＝45°，即α＝45°．
解：（1）∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ABC＝•AC•BC＝•×4×4＝4；
故答案为4；
（2）①四边形APDQ的面积不会随旋转而变化．理由如下：
在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝45°，
∴∠B＝∠DAQ＝∠BAD＝45°，BD＝AD，
又∵∠BDP+∠ADP＝90°，∠ADQ+∠ADP＝∠PDQ＝90°，
∴∠BDP＝∠ADQ，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（ASA），
∴S四边形APDQ＝S△APD+S△AQD＝S△APD+S△BPD＝S△ABD＝4；
②α＝45°时，四边形APDQ是正方形．理由如下：
∵∠PAQ＝90°，
∴当DP⊥AB时，
而∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形，
∵∠PAD＝45°，
∴PA＝PD，
∴四边形APDQ是正方形，此时∠BDP＝45°，即α＝45°．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的判定．
25．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时（如图1），易证BM+DN＝MN．
（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【分析】（1）BM+DN＝MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME＝MN．
（2）DN﹣BM＝MN．证明方法与（1）类似．
解：（1）BM+DN＝MN成立．
证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，
得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．
∴∠EAM＝90°﹣∠NAM＝90°﹣45°＝45°，
又∵∠NAM＝45°，
∴在△AEM与△ANM中，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴ME＝MN，
∵ME＝BE+BM＝DN+BM，
∴DN+BM＝MN；
（2）DN﹣BM＝MN．
在线段DN上截取DQ＝BM，
在△ADQ与△ABM中，
∵，
∴△ADQ≌△ABM（SAS），
∴∠DAQ＝∠BAM，
∴∠QAN＝∠MAN．
在△AMN和△AQN中，
∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN＝QN，
∴DN﹣BM＝MN．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
26．某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？
（2）在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为多少元时，商场日盈利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意，可以求得当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品和商场获得的日盈利是多少；
（2）根据题意可以写出利润和售价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
解：（1）由题意可得，
当每件商品售价定为170元时，每天可销售的商品数为：70﹣（170﹣130）×1＝30（件），此时获得的利润为：（170﹣120）×30＝1500（元），
答：当每件商品售价定为170元时，每天可销售30件商品，此时商场获得日利润1500元；
（2）设利润为w元，销售价格为x元/件，
w＝（x﹣120）×[70﹣（x﹣130）×1]＝﹣（x﹣160）2+1600，
∴当x＝160时，w取得最大值，此时w＝1600，每件商品涨价为160﹣130＝30（元），
答：在商品销售正常的情况下，每件商品的涨价为30元时，商场日盈利最大，最大利润是1600元；
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
27．如图，已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点．
（1）A点的坐标是 （﹣2，0） ；B点坐标是 （8，0） ；
（2）直线BC的解析式是： y＝﹣x+4 ；
（3）点P是直线BC上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积，若不存在，试说明理由；
（4）若点M在x轴上，点N在抛物线上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M点坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝3，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出点A、B的坐标；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，
（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），PD＝﹣x2+2x，利用三角形的面积公式即可得出S△PBC关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（4）有四种情形，利用平行四边形的性质可得点N的纵坐标的绝对值为﹣4，求出等N的坐标即可解决问题；
解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，
∴﹣＝3，解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
当y＝0时，﹣x2+x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝8，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
故答案为（﹣2，0），（8，0）．
（2）当x＝0时，y＝4，
∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
将B（8，0）、C（0，4）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
故答案为y＝﹣x+4．
（3）假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．
∴PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，
∴S△PBC＝PD•OB＝×8•（﹣x2+2x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．
∵﹣1＜0，
∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．
∵0＜x＜8，
∴存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16．
（4）如图，
当AC为平行四边形的边时，点N的纵坐标的绝对值为4，
可得N1（N2）（6，4），M2（4，0），
N3（3﹣，﹣4），N4（3+，﹣4），可得M3（5﹣，0），M4（5+，0），
当AC为对角线时，可得M1（﹣8，0），
综上所述，满足条件的点M的坐标为（﹣8，0），（4，0），（5+，0），（5﹣，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出S△PBC关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程；（4）用分类讨论的思想解决问题即可；
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