湖南省长沙市北雅中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市北雅中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北雅中学秋季学期九年级错题集中回做练习—数学学科
时间：120分钟     满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．新冠病毒的大小为0.000000125米，用科学记数法表示为（       ）
A． B． C． D．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为3cm，若BC＝3cm，则∠A的度数为（　　）

A．30° B．25° C．15° D．10°
4．已知⊙O的直径是8，圆心O到直线a的距离是3，则直线a和⊙O的位置关系是（       ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．外切
5．如图，菱形中，对角线相交于点O，E为边中点，菱形的周长为28，则的长等于（       ）


A．3.5 B．4 C．7 D．14
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°得到△AED，若AB=4，AC=3，BC=2，则BE的长为（     ）

A．5 B．4 C．3 D．2
7．下列命题中，正确的有（       ）
①平分弦的直径垂直于弦；②三角形的三个顶点确定一个图；③圆内接四边形的对角相等；④圆的切线垂直于过切点的半径；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是（       ）
A． B． C． D．
9．如图，CD是的直径，上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且，则的度数为（       ）

A． B． C． D．
10．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．分解因式：______．
12．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于_________．

13．若实数a，b是方程的两个实数根，则______．
14．如图，在平面直角坐标系中，将点统原点O顺时针旋转得到点，则的坐标为______．

15．二次函数的图象向左移2个单位，再向下移3个单位后的解析式为______．
16．如图，在中，AB是的直径，，，M是AB上一动点，的最小值是______．

三、解答题（17至19题6分，20、21题8分，22、23题9分，24、25题10分）
17．计算：
18．解方程：
(1)
(2)
19．已知：在中，，．

(1)找到的外心，画出的外接圆（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写过程）
(2)若的外接圆的圆心O到BC边的距离为8，，请求出的面积．
20．如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）连接CD，若CD＝5，求AB的长．

21．如图，平面直角坐标系中，直线与直线都经过点A，与轴的交点分别为点，．

(1)求的面积；
(2)点是直线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，求的值．
22．列方程解应用题
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现，如果衬衫每降价5元，商场平均每天就可多售出10件．
（1）如果衬衫每降价4元，则商场平均每天可盈利多少元？
（2）若商场平均每天要想盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
23．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．

(1)如图1，求证：；
(2)当，时，求的面积；
(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．
24．阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数（，、、是常数）与（，、、是常数）满足，，，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数的旋转函数，小明是这样思考的，由函数可知，，，，根据，，，求出，，就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
(1)写出函数的旋转函数．
(2)若函数与互为旋转函数，求的值．
(3)已知函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是、、，试求证：经过点、、的二次函数与互为“旋转函数”．
25．已知抛物线过点，顶点为M，与x轴交于A，B两点，如图所示以AB为直径作圆，记作．

(1)求抛物线解析式及D点坐标；
(2)猜测直线CM与的位置关系，并证明你的猜想；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段CP绕点P顺时针旋转90°，使C点的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．

1．B
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
【分析】
根据科学记数法的表示方法：，，进行解题即可．
【详解】
解：；
故选B．
【点评】
本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，，是解题的关键．
3．A
【分析】
连接OB，OC，可得△OBC是等边三角形，根据圆周角定理即可得结论．
【详解】
解：如图，连接OB，OC，

∵BC＝3cm，半径为3cm，
∴OB＝OC＝BC＝3，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A＝∠BOC＝30°．
故选：A．
【点评】
本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理并能证得△OBC是等边三角形是解题的关键．
4．B
【分析】
根据题意可得半径r=4，根据d